基础巩固强化
一、选择题
1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[答案] D
[解析] 自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.
2．已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数的增量为( )
A．1 B．2
C. D.
[答案] C
[解析] Δy＝－＝.
3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
[答案] B
[解析] 因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δ＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx，故选B.
4．已知函数y＝f(x)，下列说法错误的是( )
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫函数增量
B.＝叫函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率
C．f(x)在点x0处的导数记为y′
D．f(x)在点x0处的导数记为f′(x0)
[答案] C
[解析] f(x)在点x0处的导数应记为y′|x＝x0.
5．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( )
A．4＋4t0 B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t
[答案] C
[解析] Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0，
＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是( )
A．2 B.
C．1 D．0
[答案] D
[解析] Δy＝(Δx＋1)＋－1－1＝Δx＋，
＝1－，
＝ ＝1－1＝0，
∴函数y＝x＋在x＝1处的导数为0.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________.
[答案] 2
[解析] ∵Δy＝f(5＋Δx)－f(5)
＝[2(5＋Δx)－3]－(2×5－3)＝2Δx，
∴＝2，
∴f′(5)＝ ＝2.
8．若f′(x0)＝2，则 的值为________．
[答案] －1
[解析]
＝－
＝－f′(x0)＝－×2＝－1.
9．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t＝5时的瞬时速度为______．
[答案] 10m/s
[解析] v＝S′|t＝5＝ ＝ (10＋Δt)＝10(m/s)．
三、解答题
10．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解析] 由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，
∴＝＝－1－Δt.
∴v＝ ＝ (－1－Δt)＝－1.
∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
基础巩固强化
一、选择题
1．曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是( )
A．9 B．6
C．－3 D．－1
[答案] A
[解析] Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6Δx2＋Δx3，
＝9＋6Δx＋Δx2，
＝ (9＋6Δx＋Δx2)＝9，
由导数的几何意义可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)处的切线斜率是9.
2．(2012～2013学年度陕西西安市第一中学高二期末测试)如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x0)＝－<0，故选B.
3．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．60°
[答案] B
[解析] Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，＝1－Δx＋Δx2，
＝ (1－Δx＋Δx2)＝1，
∴曲线y＝x3－2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.
4．(2012～2013学年新疆兵团农二师华山中学高二期末测试)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
[答案] A
[解析]
∵f′(x)＝
＝
＝ (Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)
＝3x2－2，
∴f′(1)＝3－2＝1，
∴切线的方程为y＝x－1.
5．设f(x)为可导函数且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[答案] B
[解析]
＝
＝
＝f ′(1)＝－1.
6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[答案] A
[解析] 由已知点(0，b)是切点．
Δy＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－b
＝(Δx)2＋aΔx，
∴＝Δx＋a，y′|x＝0＝ ＝a.
∵切线x－y＋1＝0的斜率为1，∴a＝1.
又切点(0，b)在切线上，∴b＝1.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________.
[答案] 12
[解析] f ′(2)＝
＝
＝[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]
＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.
8．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝________.
[答案] 1
[解析] 设切点为P(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0.
由，得，即P(－1,1)，
又P(－1,1)在直线2x＋y＋m＝0上，
故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.
9．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
[答案] (2，－2)
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，
y′|x＝x0＝
＝ ＝2x0－3＝1，
故x0＝2，y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
三、解答题
10．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．
(1)求切点的坐标；
(2)求a的值．
[解析] (1)设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．
f ′(x)＝
＝
＝3x2－2x.
由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.
于是切点的坐标为或(1,1)．
(2)当切点为时，＝－＋a，a＝；
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
∴a的值为，切点坐标为(－，).
基础巩固强化
一、选择题
1．设y＝e3，则y′等于( )
A．3e2 B．e2
C．0 D．以上都不是
[答案] C
[解析] ∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.
2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y＝sinx的导数是( )
A．y＝sinx B．y＝－cosx
C．y＝cosx D．y＝－sinx
[答案] C
[解析] ∵(sinx)′＝cosx，
∴选C.
3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
[答案] B
[解析] ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．
4．若y＝cos，则y′＝( )
A．－ B．－
C．0 D.
[答案] C
[解析] 常数函数的导数为0.
5．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )
A．1 B．0
C．2 D.
[答案] D
[解析] ∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
6．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为( )
A．4 B．－4
C．1 D．－1
[答案] B
[解析] y′＝(xα)′＝αxα－1，
由条件知，y′|x＝1＝α＝－4.
二、填空题
7．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是__________．
[答案] y＝x－1
[解析] ∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)
y′|x＝1＝1，∴切线的斜率为1，
∴所求切线方程为：y＝x－1.
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝，则质点在t＝32时的速度等于____________．
[答案]
[解析] ∵s′＝()′＝(t)′＝t，
∴质点在t＝32时的速度为×32＝×(25)
＝.
9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
[答案] (2,1)
[解析] 设P(x0，y0)，
∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，
∴－8x＝－1.
∴x0＝2，y0＝1.
三、解答题
10．求证双曲线y＝上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．
[解析] 设双曲线上任意一点P(x0，y0)，
∵y′＝－，
∴点P处的切线方程y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋＝；
令y＝0，得x＝x0＋xy0＝2x0.
∴S△＝|x|·|y|＝2.
∴三角形面积为定值2.
基础巩固强化
一、选择题
1．函数y＝的导数是( )
A．－ B．－sinx
C．－ D．－
[答案] C
[解析] y′＝′＝
＝.
2．(2012～2013学年度湖北益阳市一中高二期末测试)曲线y＝－x2＋3x在点(1,2)处的切线方程为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x＋3
C．y＝x＋3 D．y＝2x
[答案] A
[解析] y′＝－2x＋3，∴曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝－2＋3＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3ax2＋6x，
∵f ′(－1)＝3a－6，
∴3a－6＝4，∴a＝.
4．曲线运动方程为s＝＋2t2，则t＝2时的速度为( )
A．4 B．8
C．10 D．12
[答案] B
[解析] s′＝′＋(2t2)′＝＋4t，
∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝＋8＝8.
5．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
[答案] C
[解析] ∵y′|x＝1＝3x2|x＝1＝3，
∴切线方程y－12＝3(x－1)，
令x＝0得y＝9.
6．函数y＝(2＋x3)2的导数为( )
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)·3x
[答案] A
[解析] ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.
二、填空题
7．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数f(x)＝x＋，则f′(x)＝________.
[答案] 1－
[解析] f(x)＝x＋，∴f′(x)＝1－.
8．(2012～2013学年度广东深圳高级中学高二期中测试)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
[答案] －2
[解析] f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(1)＝4a＋2b＝2，
f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
9．若函数f(x)＝，则f ′(π)________________．
[答案]
[解析] f ′(x)＝
＝，
∴f ′(π)＝＝.
三、解答题
10．求下列函数的导数．
(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(2)f(x)＝＋.
[解析] (1)∵f(x)＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5，
∴f ′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝＋＝＋
＝＝－2，
∴f ′(x)＝′＝＝.
基础巩固强化
一、选择题
1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A．y＝2－3x2 B．y＝lnx
C．y＝ D．y＝sinx
[答案] C
[解析] A中，y′＝－6x，当－10，当00对x∈(－1,1)恒成立，∴函数y＝sinx在(－1,1)上是增函数．
2．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在(0，)上是减函数，在(，6)上是增函数
D．在(0，)上是增函数，在(，6)上是减函数
[答案] A
[解析] ∵f ′(x)＝1＋>0，
∴函数在(0,6)上单调递增．
3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0′，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
[答案] B
[解析] 由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.
4．(2012·辽宁文，8)函数y＝x2－lnx的单调递区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] B
[解析] 本题考查利用导数求函数的单调区间．
∵y＝x2－lnx，∴y′＝x－＝(x>0)，
令，得0∴函数的单调递减区间为(0,1]．
需要熟记基本初等函数的求导公式，同时注意区间的端点．
5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
[答案] A
[解析] y′＝xcosx，当－πcosx<0，∴y′＝xcosx>0，
当－0，∴y′＝xcosx<0.
当00，∴y′＝xcosx>0.
当6．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是( )
[答案] B
[解析] 因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减，所以其导函数在(－∞，0)上大于0，在(0，＋∞)上小于0，故选B.
二、填空题
7．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________．
[答案] (－∞，－)，(1，＋∞)
[解析] ∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
∴由y′>0得，x>1或x<－.
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝________，c＝________.
[答案] －3 －9
[解析] f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由条件知，即，
解得b＝－3，c＝－9.
9．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
[答案] [3，＋∞)
[解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，
即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
三、解答题
10．讨论函数f(x)＝(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．
[解析] ∵f(x)＝(－1∴f ′(x)＝
＝＝
∵－10，(x2－1)2>0，
①当b>0时，f ′(x)<0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递减．
②当b<0时，f ′(x)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
基础巩固强化
一、选择题
1．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )
A．必有f ′(x0)＝0
B．f ′(x0)不存在
C．f ′(x0)＝0或f ′(x0)不存在
D．f ′(x0)存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f ′(0)不存在．
2．(2012～2013学年度黑龙江大庆实验中学高二期末测试)函数f(x)＝x3－3x的极大值与极小值的和为( )
A．0 B．－2
C．2 D．－1
[答案] A
[解析] f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，得x>1或x<－1，令f′(x)<0，得－1∴函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，
∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝2，当x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝－2，
∴极大值与极小值的和为0.
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 由f ′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
4．(2012～2013学年度贵州湄潭中学高二期末测试)设函数f(x)＝xex，则 ( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
[答案] D
[解析] f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
令f′(x)>0，得x>－1，
令f′(x)<0，得x<－1，
∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，
∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．
5．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
[答案] D
[解析] y′＝3ax2＋2bx由题设0和是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.
6．(2012·陕西文，9)设函数f(x)＝＋lnx，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
[答案] D
[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．
f′(x)＝－＋＝(1－)，
由f ′(x)＝0可得x＝2.
当02时，
f′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．
对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．
二、填空题
7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是________．
[答案] －1
[解析] f′(x)＝－x2＋x＋2，
令f′(x)>0得－12，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，
∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
8．函数y＝x－，x∈[1,3]的最大值为________，最小值为________．
[答案] 0
[解析] y′＝1＋>0恒成立，
∴函数y＝x－在区间[1,3]上是增函数，
∴当x＝1时，取最小值0，
当x＝3时，取最大值.
9．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．
[答案] 6
[解析] f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，
f ′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f ′(2)＝0解得c＝2或6.
当c＝2时，f ′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；
当c＝6时，f ′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)
＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．
三、解答题
10．设y＝f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x＝时，f(x)的极小值为－1，求出函数f(x)的解析式．
[解析] 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(d≠0)，因为其图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d，
∴b＝0，d＝0，即f(x)＝ax3＋cx.
由f ′(x)＝3ax2＋c，
依题意，f ′＝a＋c＝0，f＝a＋＝－1，
解之，得a＝4，c＝－3.
故所求函数的解析式为f(x)＝4x3－3x.
基础巩固强化
一、选择题
1．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
[答案] B
[解析] 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
∵函数图象过原点，∴d＝0.f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得，，即，
解得，
∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故应选B.
2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
[答案] B
[解析] 设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当40，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
[答案] A
[解析] 设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，
y′＝36x－6x2，
令y′>0，得0令y′<0，得x>6，
∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．
4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
[答案] A
[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R B．2R
C.R D.R
[答案] C
[解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，
∴V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R，
当00；当R因此当h＝R时，圆锥体积最大，故应选C.
6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
[答案] C
[解析] 瞬时变化率即为f ′(x)＝x2－2x为二次函数，且f ′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f ′(x)min＝－1.
二、填空题
7．把长为60cm的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．
[答案] 15cm 15cm
[解析] 设长为xcm，则宽为(30－x)cm，此时S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以长为15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．
[答案] 3
[解析] 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋，
∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，
∴当R＝3时，S表最小．
9．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2?1，该长方体的最大体积是________．
[答案] 3m3
[解析] 设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x (0V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，
∵0∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.
三、解答题
10．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？
[解析] 设水箱底边长为xcm，则水箱高为h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝60x2－(0V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.
当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：
x
(0,80)
80
(80,120)
V′(x)
＋
0
－
因此在x＝80处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．
将x＝80代入V(x)，得最大容积
V＝802×60－＝128 000(cm3)．
答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128 000cm3.
