能力拓展提升
一、选择题
11．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( )
A．5 B．3或8
C．3或5 D．20
[答案] C
[解析] 2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故答案为C.
12．(2012～2013学年度黑龙江鹤岗一中高二期末测试)设椭圆的标准方程为＋＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是( )
A．k>3 B．3
C．4[答案] C
[解析] 由题意得k－3>5－k>0，
∴413．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|＝4，则|AF1|＋|BF1|等于( )
A．12 B．10
C．9 D．16
[答案] A
[解析] ∵a＝4，∴2a＝8.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4a－(|AF2|＋|BF2|)＝16－|AB|＝12.
14．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 将方程mx2＋ny2＝1化为＋＝1，
根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，必须满足，?m>n>0.
二、填空题
15．椭圆4x2＋y2＝12的焦点坐标为________．
[答案] (0，±3)
[解析] 把已知椭圆方程化为标准方程为＋＝1，
∴椭圆的焦点在y轴上，
且c2＝a2－b2＝12－3＝9，∴c＝3.
故椭圆4x2＋y2－12＝0的焦点坐标为(0，±3)．
16．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m的值为________．
[答案] 6
[解析] 由题意知，c＝1，
∴m－5＝1，∴m＝6.
三、解答题
17．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根据椭圆定义有m＋n＝20，
又c＝＝6，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
＝××＝.
18．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．
[解析] 解法一：由9x2＋5y2＝45得＋＝1，c2＝9－5＝4，
∴焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)．
设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由点M(2，)在椭圆上，|MF1|＋|MF2|＝2a，
即2a＝＋
＝4，
∴a＝2.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
所以所求椭圆方程为＋＝1.
解法二：由解法一知，焦点为F1(0,2)，F2(0，－2)．
则设所求椭圆方程为＋＝1(λ>0)，
将M(2，)代入，得＋＝1(λ>0)，
解得λ＝8或λ＝－2(舍)．
所以所求椭圆方程为＋＝1.
[点评] (1)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(λ>－b2)；
(2)本题运用了待定系数法求解．
能力拓展提升
一、选择题
11．(2012～2013学年度山东威海市直高中高二期末测试)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题意得2a＝2b，
∴a2＝3b2，∴a2＝3(a2－c2)，
∴＝，∴e＝＝.
12．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21
C．－或21 D.或21
[答案] C
[解析] 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝即＝，得k＝－；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝21.
13．以椭圆＋＝1的短轴端点为焦点，离心率为e＝的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] ＋＝1的短轴端点为(0，－3)，(0,3)，
∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3.
又e＝＝，∴a＝6.
∴b2＝a2－c2＝36－9＝27.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
14．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为( )
A．1 B.
C．2 D．2
[答案] D
[解析] 由，得
(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0，
由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，
解得m2＝5，
∴椭圆的长轴长为2.
二、填空题
15．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝，则椭圆的方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析]
如图所示，
cos∠OF2A＝cos60°
＝，
即＝.又a－c＝，
∴a＝2，c＝，
∴b2＝(2)2－()2＝9.
∴椭圆的方程是＋＝1.
16．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．
[答案]
[解析] 由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线x＋2y－2＝0中，
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.
∴e＝＝.
三、解答题
17．已知椭圆mx2＋5y2＝5m的离心率为e＝，求m的值．
[解析] 由已知可得椭圆方程为
＋＝1(m>0且m≠5)．
当焦点在x轴上，即0依题意得＝，解得m＝3.
当焦点在y轴上，即m>5时，有a＝，b＝.
则c＝，依题意有＝.
解得m＝.即m的值为3或.
18.
如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
[解析] 解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a、b、c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，则△MF1F2为直角三角形.
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，
∴e＝.
解法二：设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，
则M(c，b)．
代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，
所以＝，即e＝.
能力拓展提升
一、选择题
11．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 由条件知P(，4)在双曲线－＝1上，∴－＝1，
又a2＋b2＝5，∴，故选B.
12．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
[答案] C
[解析] ∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.
13．k>9是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] k>9时，方程为－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(9－k)(k－4)<0，∴k<4或k>9，故选B.
14．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于( )
A. B．1 C．2 D．4
[答案] D
[解析] NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.
二、填空题
15．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
[答案] (－∞，－2)
[解析] 由题意，方程可化为－＝3，
∴，解得m<－2.
16．若双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1(a>b>0)有相同的焦点F1、F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________．
[答案] a－m
[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得
|MF1|－|MF2|＝±2，①
|MF1|＋|MF2|＝2，②
②2－①2得，4|MF1|·|MF2|＝4a－4m，
∴|MF1|·|MF2|＝a－m.
三、解答题
17．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
[解析] 椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，
由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，
又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，
又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，
又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，
所求的双曲线方程为：－＝1.
18．当0°≤α≤180°时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线如何变化？
[解析] (1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.
(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．
②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.
③当45<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.
(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．
能力拓展提升
一、选择题
11．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
[答案] D
[解析] 方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D.
12．(2013·新课标Ⅰ文，4)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得＝，即c＝a，而c2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝a2，b2＝a2，＝，所以＝，渐近线的方程为y＝±x，选C.在解答此类问题时，要充分利用a、b、c的关系．
13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
[答案] A
[解析] 由题意得＝，
∴3a2＝4b2，∴＝.
∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
14．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] D
[解析] ∵＝，∴＝＝，∴＝，
∴＝，又∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为x＝±y，即x＝±y，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
二、填空题
15．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
[答案] 1
[解析] 双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，∴＝，即b＝1.
16．已知双曲线与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x－y＝0，则双曲线的方程为________．
[答案] －＝1
[解析] 解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则另一条为x＋y＝0，可设双曲线方程为
x2－3y2＝λ(λ>0)，即－＝1
由椭圆方程＋＝1可知
c2＝a2－b2＝64－16＝48
双曲线与椭圆共焦点，则λ＋＝48
∴λ＝36.
故所求双曲线方程为－＝1.
解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为
－＝1
由渐近线方程x－y＝0可得＝
∴λ＝28
故所求双曲线方程为－＝1.
解法三：椭圆＋＝1中，c2＝64－16＝48.
设双曲线的实半轴长，虚半轴长分别为a、b，则由条件知
，∴，
∴双曲线方程为－＝1.
三、解答题
17．设双曲线－＝1(0[分析] 由截距式得直线l的方程，再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式，从而求出.
[解析] 由l过两点(a,0)、(0，b)，得
l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
162－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
由e＝有e＝.故e＝或e＝2.
因0，
所以应舍去e＝，故所求离心率e＝2.
18．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
[解析] 因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
因为双曲线过点P(4，－3)，
所以－＝1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以·＝0，即－c2＋25＝0.
所以c2＝25.②
又c2＝a2＋b2，③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．
所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
能力拓展提升
一、选择题
11．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
[答案] D
[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，
∴其方程为y2＝16x，故答案是D.
12．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
A．2 B．2
C. D．1
[答案] D
[解析] 本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.
13．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
[答案] C
[解析] 由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y2＝8x.故选C.
14．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．2 B.
C. D.
[答案] B
[解析] ∵椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(0，±)，
由条件知，＝，∴p＝.
二、填空题
15．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________．
[答案] x2＝12y
[解析] 抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－，
由题意得3－(－)＝6，∴a＝12，∴x2＝12y.
16．已知圆x2＋y2＋6x＋8＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.
[答案] 4或8
[解析] 抛物线的准线方程为：x＝－，圆心坐标为(－3,0)，半径为1，
由题意知3－＝1或－3＝1，∴p＝4或p＝8.
三、解答题
17．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.
求抛物线方程和m的值．
[解析] 解法一：∵抛物线焦点在x轴上，且过点M(－3，m)，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，
由题意知，
解得，或 .
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
解法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，准线方程x＝.
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5，
即点M到准线的距离等于5，
则3＋＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2，
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
18．一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．
[解析]
以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为(，－)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则()2＝m·(－)，
∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，
即y＝－.
欲使卡车通过隧道，应有y－(－)>3，即－>3，
由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13.
能力拓展提升
一、选择题
11．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，即k＝2.
12．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[答案] D
[解析] 设A(，y1)，B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，
又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，
∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D.
13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
[答案] C
[解析] 由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，
|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，
且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90，
故∠A1FB1＝90°.
14．(2012·四川文，9)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
[答案] B
[解析] 由抛物线定义知，＋2＝3，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.因为点M(2，y0)在此抛物线上，所以y＝8，于是|OM|＝＝2.故选B.
二、填空题
15．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是____________．
[答案] 4
[解析] 过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．
16．(2012～2013学年度重庆南开中学高二期末测试)P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为________．
[答案]
[解析] 设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝＝＝.
∴当x0＝时，dmin＝.
三、解答题
17．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．
[解析] 如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，M为AB的中心，作MM′⊥l于M′，
则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
在直角梯形BB′A′A中，|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，
即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径．
故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切．
18．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．
求证：x1x2＝，y1y2＝－p2.
[解析] 解法一：因为焦点坐标为F，当AB不垂直x轴时，可设直线AB的方程为y＝k(k≠0)．
由?ky2－2py－kp2＝0①
所以y1y2＝－p2，x1x2＝·＝＝＝，当AB⊥x轴时，直线AB方程为x＝，
则y1＝p，y2＝－p?y1y2＝－p2，
x1x2＝·＝.
解法二：设直线l的方程为x＝ky＋，
由，得y2－2pky－p2＝0，
则y1·y2＝－p2，x1x2＝ ＝2＝.
