能力拓展提升
一、选择题
11．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1的瞬时速度为3，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．7
[答案] A
[解析] Δs＝2(1＋Δt)2＋a(1＋Δt)＋1－(2＋a＋1)＝Δt2＋(4＋a)Δt，
由条件知 ＝ (Δt＋4＋a)＝4＋a＝3，
∴a＝－1.
12．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f ′(x)＝a B．f ′(x)＝b
C．f ′(x0)＝a D．f ′(x0)＝b
[答案] C
[解析] ∵f ′(x0)＝
＝ ＝ (a＋bΔx)＝a.
∴f ′(x0)＝a.
13．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt D．12
[答案] C
[解析] ＝
＝12＋2Δt.
14．f(x)在x＝a处可导，则 等于( )
A．f ′(a) B.f ′(a)
C．4f ′(a) D．2f ′(a)
[答案] D
[解析]
＝
＝ ＋
＝f ′(a)＋f ′(a)＝2f ′(a)．
二、填空题
15．若f ′(x)＝3，则 ＝________.
[答案] 6
[解析]
＝2·
＝2 ＝2f ′(x)＝6.
16．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．
[答案]
[解析] ∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
三、解答题
17．一物体的运动方程如下：(单位：m，时间：s)s＝.
求：(1)物体在t∈[3,5]时的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]时的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]时的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]时的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝
＝3Δ－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速率为－12m/s.
18．求导数f(x)＝3x－在x＝1处的导数．
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－－1
＝2＋3Δx－＝3Δx＋，
＝＝3＋，
∴ ＝ (3＋)＝5，
∴f′(1)＝5.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)若f(x)＝3x2＋x，则f′(0)＝( )
A．0 B．2
C．1 D．－1
[答案] C
[解析] ∵f′(x)＝
＝
＝ (3Δx＋6x＋1)＝6x＋1，
∴f′(0)＝1.
12．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
[答案] A
[解析] ∵y′|x＝1＝
＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
13．曲线y＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则切线方程为( )
A．y＝4x B．y＝4x－4
C．y＝4x－8 D．y＝4x或y＝4x－4
[答案] D
[解析] y′＝
＝
＝ (Δx2＋3xΔx＋3x2＋1)
＝3x2＋1.
由条件知，3x2＋1＝4，∴x＝±1，
当x＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y＝4(x－1)，
即y＝4x－4.
当x＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y＋4＝4(x＋1)，
即y＝4x.
14．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] D
[解析] 由导数的定义可得y′＝3x2，
∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，
由条件知，3×＝－1，∴＝－.
二、填空题
15．已知曲线y＝3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为________．
[答案] 6x－y－3＝0
[解析] ∵＝
＝6x＋3Δx，
∴y′|x＝1＝ (6＋3Δx)＝6.
通过验证得点A(1,3)在曲线y＝3x2上．
∴曲线在点A(1,3)处的线切斜率为6.
∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，
即6x－y－3＝0.
16．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝________.
[答案] 2
[解析] 由条件知，f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，∴f(5)＋f ′(5)＝2.
三、解答题
17．已知曲线y＝x2，求过点P(2,1)的切线方程．
[分析] 点P(2,1)不在曲线y＝x2上，所以点P不是切点，应先求出切点坐标，再求切线方程．
[解析] 设切点为Q(x0，y0)，
∵y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴斜率k＝2x0＝＝，
解得x0＝2＋或x0＝2－，
∴切线方程为y－1＝2x0(x－2)，
即2(2＋)x－y－7－4＝0，
或2(2－)x－y－7＋4＝0.
18．求过点(，6)与抛物线y＝x2相切的直线方程．
[解析] 显然点(，6)不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x)．则切线的斜率为
f ′(x0)＝li
＝li (2x0＋Δx)＝2x0.
又因为此切线过点和点(x0，x)，其斜率应满足＝2x0，
因此x0应满足x－5x0＋6＝0.
解得x0＝2,3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)，所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．
化简得y＝4x－4，y＝6x－9，
此即所求的切线方程．
能力拓展提升
一、选择题
11．已知函数f(x)＝x，则[f()]′＝( )
A．0 B.
C．1 D．－
[答案] A
[解析] ∵f()是常数，∴[f()]′＝0.
12．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②y＝，则y′＝；
③y＝log2x，则y′＝；
④y＝cosx，则y′＝sinx.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] y＝＝x－3，y′＝－3x－4＝－，故①正确；y＝＝x，y′＝x＝，故②不正确；y＝log2x，y′＝；故③不正确；y＝cosx，y′＝－sinx，故④不正确．
13．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析] y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.
14．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为( )
A．(，)
B．(－，－)或(，)
C．(2kπ＋，)
D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)
[答案] D
[解析] 设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝，
∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.
二、填空题
15．y＝10x在(1,10)处切线的斜率为________．
[答案] 10ln10
[解析] y′＝10xln10，
∴y′|x＝1＝10ln10.
16．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为________．
[答案]
[解析] ∵y＝x2，∴y′＝2x，而抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线只有一条，即2x＝1，这个切点坐标为(，)，该点到直线的距离为d＝＝＝.
三、解答题
17．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；
(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
[解析] (1)∵y′＝3x2，
∴切线斜率k＝3，
∴切线方程y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，
∴(x－1)2(x＋2)＝0，
∴x1＝1，x2＝－2.
∴公共点为(1,1)及(－2，－8)．
18．已知函数y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，试求函数在原点处的切线方程．
[解析] ∵y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，
∴，解得.
∴y＝sinx.
又∵y′＝cosx，∴y′|x＝0＝1.
∴切线方程为y＝x.
能力拓展提升
一、选择题
11．f ′(x)是f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝x2＋2，∴f ′(－1)＝3.
12．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为( )
A. B．π2
C．2π2 D.(2＋π)2
[答案] A
[解析] ∵y′＝sinx＋xcosx，∴y′|x＝－＝－1，∴曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为.故选A.
13．若函数f(x)＝f′(1)x3－2x2＋3，则f′(1)的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[答案] D
[解析] ∵f′(x)＝3f′(1)x2－4x，
∴f′(1)＝3f′(1)－4，∴f′(1)＝2.
14．已知曲线y＝x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．4 B．3 C．2 D.
[答案] C
[解析] k＝y′＝x＝，∴x＝2.
二、填空题
15．(2012～2013学年度浙江金华十校联合高二期末测试)直线y＝4x＋b是曲线y＝x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
[答案] －
[解析] 设切点为(x0，y0)，则y′＝x2＋2，∴x＋2＝4，∴x0＝.
∴切点(，)在直线y＝4x＋b上，
∴b＝－.
16．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f ′(x)，若f ′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．
[答案] y＝－3x
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f ′(－x)＝f ′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)
对任意x∈R都成立，
所以a＝0，f ′(x)＝3x2－3，f ′(0)＝－3，
曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.
三、解答题
17．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f ′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
[解析] 题设中有四个参数a、b、c、d，为确定它们的值需要四个方程．
由f(2x＋1)＝4g(x)，得4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.
于是有
由f ′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
∴由①③可得a＝c＝2.
代入④得b＝－5，再由②得d＝－.
∴g(x)＝x2＋2x－.故g(4)＝16＋8－＝.
18．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.求b，c的值
[解析] 由f(x)＝x3－x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b，又由曲线y＝f(x)在点p(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0，故b＝0，c＝1.
能力拓展提升
一、选择题
11．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
[答案] A
[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．
∵导函数f ′(x)是增函数，
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，
故选A.
12．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≥3 B．a>3
C．a≤3 D．a<3
[答案] A
[解析] ∵f′(x)＝3x2－a，
又f(x)在(－1,1)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．
∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，
又0≤3x2<3，∴a≥3，
经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
13．函数f(x)＝－(a
A．f(a)＝f(b)
B．f(a)C．f(a)>f(b)
D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定
[答案] C
[解析] f ′(x)＝()′
＝
＝.
当x<1时，f ′(x)<0，∴f(x)为减函数，
∵af(b)．
14．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)≤0，在(－∞，0)上f ′(x)≥0，故选D.
二、填空题
15．函数f(x)＝xlnx的单调减区间为________．
[答案] (0，)
[解析] 函数f(x)定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1.
解f′(x)<0得x<，又x>0，
∴f(x)的减区间为(0，)．
16．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
[答案] (－∞，)
[解析] f′(x)＝＝，
由题意得x<－2时，f′(x)≤0恒成立，
∴2a－1≤0，∴a≤.
又当a＝时，f(x)＝＝，
此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，
∴a≠.
综上可知，a的取值范围为(－∞，)．
三、解答题
17．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
因为f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即，解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－1故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
18．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
(2)f′(x)＝ex－a.
若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数?ex－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立?a≥(ex)max.
当x∈(－∞，0]时，ex∈(0,1]，
∴a≥1.①
若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数
?ex－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立?a≤(ex)min.
当x∈[0，＋∞)时，
ex∈[1，＋∞)，∴a≤1.②
由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．
能力拓展提升
一、选择题
11．(2012～2013学年度贵州遵义四中高二期末测试)函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
[答案] C
[解析] y′＝3x2－6x－9，
∵－2∴令y′>0得－2得－1∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无极小值．
12．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]，
∵f＝，f(0)＝f(1)＝0.
∴f(x)max＝.
13．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
[答案] A
[解析] f ′(x)＝3x2－2px－q，
由f ′(1)＝0，f(1)＝0得，
，解得，∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f ′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得当x＝时f(x)取极大值.
当x＝1时f(x)取极小值0.
14．(2012～2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期末测试)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，
∴f ′(x)＝0有两不等实根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
二、填空题
15．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.
[答案] －
[解析] f ′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得，
∴a＝－.
16．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
[答案] (－2,2)
[解析] f ′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，当x<－1，或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调增；当－1∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图象有相异的三个公共点，应有－2三、解答题
17．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数的递减区间；
(2)求函数的极值．
[解析] f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f ′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
1
(3，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值f(－1)
减
极小值f(3)
增
(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.
18．(2012～2013学年度甘肃临夏县土桥中学高二期末测试)已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c，在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值．
(1)求a、b、c的值；
(2)求出f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，
由已知得，
解得a＝，b＝，c＝.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－2x＋，
f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗?
6
↘?
↗?
由上表可知，当x＝3时，f(x)取得最大值，当x＝1时，f(x)取得最小值.
能力拓展提升
一、选择题
11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
[答案] D
[解析] 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000,0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x≤300时，p′(x)>0；当30012．三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为( )
A．4 B．8
C. D.
[答案] C
[解析] V＝×·y＝＝＝(0V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
∴x＝2时，V最大为.
13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
[答案] D
[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为，
其体积为V＝πx(400－x2) (0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0
所以当x＝时，V取最大值．
14．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
[答案] A
[解析] 设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π.
令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·
＝4π·r·r＝2πr2.
二、填空题
15．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．
[答案] 4
[解析] 设底面边长为x，则高为h＝，其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，则当高h＝＝4时S取得最小值．
16．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．
[答案] 25
[解析] 设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知a＝.总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
三、解答题
17．已知某厂生产x件产品的成本为c＝25 000＋200x＋x2(元)．
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
[解析] (1)设平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋(x>0)，
y′＝′＝－＋.
令y′＝0，得x1＝1 000，x2＝－1 000(舍去)．
当在x＝1 000附近左侧时，y′<0；
在x＝1 000附近右侧时，y′>0；
故当x＝1 000时，y取得极小值．
由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)利润函数为L＝500x－(25 000＋200x＋)
＝300x－25 000－.
∴L′＝300－.
令L′＝0，得x＝6 000，当x在6 000附近左侧时，L′>0；当x在6 000附近右侧时，L′<0，故当x＝6 000时，L取得极大值．
由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．
18．已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．
[分析] 将容积V表达为高h或底半径r的函数，运用导数求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数．
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，
S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝，
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，V′＝，
令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
