2014《成才之路》高二数学（人教A版）选修1-1综合素质检测：第一章 常用逻辑用语

第一章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2012～2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期中测试)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0
[答案]　C
[解析]　全称命题的否定是特称命题，将“任意”改为“存在”，将“≤”改为“>”．
2．(2012～2013学年度吉林油田高中高二期末测试)若命题“p或q”为真命题，“非p”为真命题，则(　　)
A．p真q真 B．p假，q真
C．p真q假 D．p假q假
[答案]　B
[解析]　∵“非p”为真命题，∴p为假命题，又“p或q”为真命题，∴q为真命题．
3．(2012～2013学年度长春二中高二期末测试)设a∈R，则“a>1”是“”<1的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　a>1?<1，<1?/ a>1，故选A.
4．下列语句是命题的个数为(　　)
①空集是任何集合的真子集；
②x2－3x－4＝0；
③3x－2>0；
④把门关上；
⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　A
[解析]　①假命题．因为空集是空集的子集而不是真子集．
②③是开语句，由于不知x的取值范围，无法判断其真假，因此不是命题．
④是祈使句，不是命题．
⑤是疑问句，不是命题．
故只有①是命题，应选A.
5．有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A?B”的逆否命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　A
[解析]　“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”假；
“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”假；
若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；
“若A∪B＝A，则A?B”为假，故其逆否命题为假．
6．(2012～2013学年度甘肃兰州第五十五中学高二期末测试)命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是(　　)
A．所有奇数的立方不是奇数
B．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C．存在一个奇数，它的立方是偶数
D．不存在一个奇数，它的立方是奇数
[答案]　C
[解析]　“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数的立方不是奇数”，故选C.
7．(2012～2013学年度宁夏宁大附中高二期末测试)“a⊥α，则a垂直于α内任一条直线”是(　　)
A．全称命题 B．特称命题
C．不是命题 D．假命题
[答案]　A
[解析]　命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．
8．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．充要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，
∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；
若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.
9．“a＝－1”是方程“a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0”表示圆的(　　)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
[答案]　C
[解析]　当a＝－1时，方程为x2＋y2－2x－1＝0，
即(x－1)2＋y2＝2表示圆，
若a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则应满足
，解得a＝－1，故选C.
10．下列命题中的真命题是(　　)
A．?x∈[0，]，sinx＋cosx≥2
B．?x∈，tanx>sinx
C．?x∈R，x2＋x＝－1
D．?x∈R，x2＋2x>4x－3
[答案]　D
[解析]　∵对任意x∈R，有sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，∴A假；∵x∈(，π)时，tanx<0，sinx>0，∴B假；∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴方程x2＋x＝－1无解，∴C假；∵x2＋2x－(4x－3)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴对任意x∈R，x2＋2x－(4x－3)>0恒成立，故D真．
11．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
12．(2012～2013学年度吉林实验中学高二期末测试)下列命题错误的是(　　)
A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”
B．对于命题p：“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
[答案]　C
[解析]　若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，或p、q一真一假，故选C.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
[答案]　1
[解析]　因为命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.
14．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________．
[答案]　有的同位角不相等　若两个角不是同位角，则它们不相等
[解析]　全称命题的否定是特称命题，“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．
15．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题且p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案]　3≤m<8
[解析]　由已知得，
∴3≤m<8.
16．(2012～2013学年度山西忻州市高二期末测试)给出下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，故x>1；
③命题“若a>b>0，且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直”的充分不必要条件．
其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．
[答案]　①②③
[解析]　①中，x2＋2x>4x－3?x2－2x＋3>0?(x－1)2＋2>0，故①正确．
②中，显然x≠1且x>0若01，故②正确
③中，命题“若a>b>0，且c<0，则>”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．
④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直的充要条件，故④不正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)判断下列命题的真假：
(1)?x∈R,2x>0；
(2)?x∈Q，x2－3x－1是有理数；
(3)?x∈N,2x＝x2；
(4)?x，y∈Z，x2＋y2＝10.
[解析]　(1)真命题，对任意的x,2x>0恒成立．
(2)真命题，对于任意的有理数x，x2－3x－1都是有理数．
(3)真命题，x＝2,4时，2x＝x2成立．
(4)真命题，x＝1，y＝3时，x2＋y2＝10成立．
(1)(2)(3)(4)都是真命题．
18．(本题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”
[解析]　逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
19．(本题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4)?x0∈Z，log2x0>2.
[解析]　(1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题．
(4)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
20．(本题满分12分)对于下列命题p，写出綈p的命题形式，并判断綈p命题的真假：
(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；
(2)p：有一个素数是偶数；
(3)p：任意正整数都是质数或合数；
(4)p：一个三角形有且仅有一个外接圆．
[解析]　(1)綈p：91?A或91?B；假命题．
(2)綈p：所有素数都不是偶数；假命题．
(3)綈p：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．
(4)綈p：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．
21．(本题满分12分)(2012～2013学年度甘肃兰州第三十一中学高二期末测试)已知命题p：?x∈[1,2]，x2－m≥0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
[解析]　∵?x∈[1,2]，x2－m≥0，
∴?x∈[1,2]，m≤x2的最小值，又当x∈[1,2]时，x2的最小值为1，∴m≤1.
∴p：m≤1.
∵?x∈R，x2＋mx＋1>0，
∴m2－4<0，∴－2∴q：－2∴p∧q为真命题，
∴－222．(本题满分14分)(2012～2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期末测试)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
[解析]　由(4x－3)2≤1，得≤x≤1，
令A＝{x|≤x≤1}．
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得
a≤x≤a＋1，
令B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由綈p是綈q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A?B，
∴，∴0≤a≤.
∴实数a的取值范围是[0，]．
1．命题“?x∈R,2x＋x2≤1”的否定是(　　)
A．?x∈R,2x＋x2>1，假命题
B．?x∈R,2x＋x2>1，真命题
C．?x∈R,2x＋x2>1，假命题
D．?x∈R,2x＋x2>1，真命题
[答案]　A
[解析]　因为x＝0时，20＋02＝1≤1，故原命题为真命题，所以该命题的否定“?x∈R,2x＋x2>1”是假命题．
2．命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
[答案]　C
[解析]　“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．
3．(2012·山东枣庄期中考试)已知a、b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是(　　)
A．若a＋b≠1，则a2＋b2<
B．若a＋b＝1，则a2＋b2<
C．若a2＋b2<，则a＋b＝1
D．若a2＋b2≥，则a＋b≠1
[答案]　A
[解析]　“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，故选A.
4．“x>”是“sinx>”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　D
[解析]　当x＝π>时，sinx＝0<，又sin(－)＝1>，－<，∴“x>”是“sinx>”的既不充分也不必要条件．
5．已知a、b、c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
[答案]　A
[解析]　a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
6．以下判断正确的是(　　)
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“?x∈N，x3>x”的否定是“?x0∈N，x>x0”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
[答案]　D
[解析]　∵“负数的平方是正数”即为?x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确.
∵对全称命题“?x∈N，x3>x”的否定为“?x∈N，x≤x0”，B不正确；
∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，
当最小正周期T＝π时，有＝π，
∴|a|＝1?/ a＝1，
故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，C不正确；b＝0时f(x)＝ax2＋c是偶函数，反之也成立，D正确．
7．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　∵A＝{x∈R|x－2>0}＝{x|x>2}，B＝{x∈R|x<0}，∴A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}
C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}，
∴A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充要条件．
8．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[答案]　D
[解析]　原命题是“若p，则q”时，逆命题为“若q，则p”，故选D.
9．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间(－∞，1]上为减函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　当a＝1时，f(x)＝|x－1|＝，所以f(x)在区间(－∞，1]上是减函数；若f(x)在区间(－∞，1]上是减函数，结合图象可得a≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．
10．设命题p：∶?x∈R，x2－2x>a；命题?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.如果命题“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．
[解析]　由命题p可知x2－2x＝(x－1)2－1>a恒成立，∴a<－1.
由命题q可知方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数根，∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.
∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．
当p真q假时，有－2∴a的取值范围是(－2，－1)∪[1，＋∞)．