2014《成才之路》高二数学（人教A版）选修1-1综合素质检测：第三章 导数及其应用

第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2　　　　　　　　　　 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
[答案]　A
[解析]　y＝sinx，y′＝cosx，
∴k1＝cos0＝1，k2＝cos＝0，
k1>k2.
2．函数y＝x2cosx的导数为(　　)
A．y′＝2xcosx＋x2sinx B．y′＝2xcosx－x2sinx
C．y′＝x2cosx－2xsinx D．y′＝xcosx－x2sinx
[答案]　B
[解析]　y＝x2cosx，y′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′
＝2xcosx－x2sinx，故选B.
3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
[答案]　A
[解析]　考查斜率与导数及直线方程基本知识．
因为y′＝4x3，由y′＝4得x＝1.而x＝1时y＝1，故l方程为4x－y－3＝0.
4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,0) D．(－1,0)
[答案]　C
[解析]　设P(x0，y0)，f′(x)＝4x3－1，
由题意得f′(x0)＝3，
∴4x－1＝3，∴x0＝1.
∴y0＝x－x0＝0，故选C.
5．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x的单调增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)
＝3(x＋1)2≥0对x∈R恒成立，
所以f(x)＝x3＋3x2＋3x在R上为增函数，故选A.
6．(2012～2013学年度河南漯河市高二期末测试)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0
C．2 D．4
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
f′(x)＝0得x＝0或2(舍去)
又f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2
∴f(x)在区间[－1,1]上的最大值为2.
7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是(　　)
A．m<0 B．m<1
C．m≤0 D．m≤1
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；
当m≠0时，由题意得m<0，
综上可知m≤0.
8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为(　　)
A．20 B．9
C．－2 D．2
[答案]　C
[解析]　由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，
∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，
又点(2，－1)在抛物线上，
∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.
9．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C. D．1
[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝excosx－exsinx，∴f ′(0)＝1.
设f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为α，则tanα＝1，
∵α∈(0，π)，∴α＝，∴cosα＝.
10．函数f(x)＝x2＋(2－a)x＋a－1是偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是(　　)
A．y＝2x B．y＝－2x＋4
C．y＝－x D．y＝－x＋2
[答案]　A
[解析]　考查利用导数确定切线方程．由f(x)为偶函数得a＝2，即f(x)＝x2＋1，从而f ′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y＝2x.
11．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f ′(x)的图象可能是下图中的(　　)
[答案]　D
[解析]　解法一：由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.
解法二：观察f(x)的图象可见f(x)的单调性为增、减、增，故f ′(x)的值为正、负、正，故选D.
12．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，7] B．(－∞，－20]
C．(－∞，0] D．[－12,7]
[答案]　B
[解析]　令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．
∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，
f(2)＝－20.
∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，
故m≤－20，综上可知应选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．曲线y＝lnx在点(1,0)处的切线的倾斜角为________．
[答案]　
[解析]　y′＝，曲线y＝lnx在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，
∴切线的倾斜角为.
14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝5，则a等于________．
[答案]　3
[解析]　∵f′(x)＝3ax2－4x，
∴f′(1)＝3a－4＝5，∴a＝3.
15．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．
[答案]　－1
[解析]　f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，即x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，e)
e
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值－1
单调递减
1－e
由于f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而f(x)max＝f(1)＝－1.
16．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
[答案]　a<－1
[解析]　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
当a≥0时，y不可能有极值点，故a<0.
由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．
∴x＝ln(－a)即为函数的极值点．
∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.
∴a<－1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知曲线y＝上两点P(2，－1)、Q(－1，)．
求：(1)曲线在点P处、点Q处的切线斜率；
(2)曲线在点P、Q处的切线方程．
[解析]　∵－1＝，∴t＝1
∴y＝，∴y′＝.
(1)当P为切点时，k1＝y′|x＝2＝1，
当Q为切点时，k2＝y′|x＝－1＝.
(2)当P为切点时，切线方程为x－y－3＝0；
当Q为切点时，切线方程为x－4y＋3＝0.
18．(本题满分12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．
[解析]　显然a≠0(否则f(x)＝b与题设矛盾)，由f ′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]得，x＝0.
(1)当a>0时，列表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f ′(x)
＋
0
－
f(x)
递增
极大值b
递减
由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，
f(x)在[0,2]上是减函数．
且当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，
∵a>0，∴f(－1)>f(2)，
从而f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当a<0时，用类似的方法可判断当x＝0时，f(x)有最小值，当x＝2时，f(x)有最大值，
从而f(0)＝b＝－29，f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.
综上，a＝2、b＝3或a＝－2、b＝－29.
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
[解析]　(1)f ′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f ′(x)<0，解得x<－1，或x>3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．
∵在(－1,3)上f ′(x)>0，
∴f(x)在(－1,2]上单调递增．
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
于是有22＋a＝20，解得a＝－2，
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.
20．(本题满分12分)(2012·安徽文，17)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a、b的值．
[解析]　(1)由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，
其中等号成立当且仅当ax＝1，
即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
(2)f ′(x)＝a－，
由题设知，f ′(1)＝a－＝，
解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．
将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1，
所以a＝2，b＝－1.
[点评]　本题考查均值不等式，导数应用，方程求解等基础内容．在应用均值不等式时保证“一定、二正、三相等”，并明确等号成立的条件．第(1)问也可用导数研究其单调性再求最小值．
21．(本题满分12分)(2012～2013学年度辽宁大连24中高二期末测试)已知函数f(x)＝ax3＋bx(x∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在点x＝3处的切线与直线24x－y＋1＝0平行，函数f(x)在x＝1处取得极值，求函数f(x)的解析式，并确定函数的单调递减区间；
(2)若a＝1，且函数f(x)在[－1,1]上是减函数，求b的取值范围．
[解析]　(1)∵f(x)＝ax3＋bx(x∈R)，
∴f′(x)＝3ax2＋b.
由题意得f′(3)＝27a＋b＝24，
且f′(1)＝3a＋b＝0，
解得a＝1，b＝－3.
经检验成立．
∴f(x)＝x3－3x.
令f′(x)＝3x2－3<0，
得－1∴函数f(x)的减区间为(－1,1)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x3＋bx(x∈R)，
又∵f(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴f′(x)＝3x2＋b≤0在区间[－1,1]上恒成立，
即b≤－3x2在区间[－1,1]上恒成立，
∴b≤(－3x2)min＝－3.
22．(本题满分14分)某商场预计2011年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N*且x≤12)．
(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
[解析]　(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；
当2≤x≤12时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)
＝－3x2＋40x(x∈N*，且2≤x≤12)．
验证x＝1符合f(x)＝－3x2＋40x，
∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*且1≤x≤12)．
(2)预计销售该商品的月利润为g(x)＝(－3x2＋40x)·(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1 400x(x∈N*,1≤x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0；
当5∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(元)．
综上5月份的月利润最大是3 125元．