2022-2023学年八年级数学下册北师大版 1.1.等腰三角形 同步练习(含答案）

1.1. 等腰三角形
同步练习
一、单选题
1．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
4．如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
5．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
6．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
10．如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题
11．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____．
12．如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________．
13．《庄子 天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为___________．
14．如图，为等边的BC边上的高，E、F分别为线段上的动点，且，若时，则的最小值为_____，若时，的最小值为_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
三、解答题
16．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．
17．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
18．如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求CE的长．
19．在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒．
(1)如图1，若，，求的值；
(2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
20．如图1，中，，点D在AB上，且．
(1)求的大小；
(2)如图2，于E，于F，连接EF交CD于点H．
①求证：CD垂直平分EF：
②猜想三条线段AE，DB，BF之间的数量关系，并对你的猜想进行说明．
21．如图，直线与x轴、y轴分别交于点，点P在x轴上运动，连接，将沿直线折叠，点O的对应点记为．
(1)求k、b的值；
(2)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
(3)若点恰好落在直线上，求的面积．
参考答案：
1．B2．D3．B4．A5．A6．C7．D8．A9．C10．C
11．130度
12．
13．2
14．
15．6
16．甲、乙两同学的方案都可行
17．解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中，，
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△F′BE中，，
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
18．（1）证明：∵AE//BC，
，，
为的外角平分线上的一点，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：由（1）已得：，
，
在和中，，
，
，
，
．
19．(1)3
(2)6
20．（1）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①证明：由（1）得：，，
，
，，
，
，
，
，，
∴D点、C点均在EF是垂直平分线上，
∴CD垂直平分EF；
②三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：，理由如下：
在CA上截取，连接DG，如图2所示，
∵，
，，
，
，
，，
，
，
，，
由（1）得：，，
，
，
，
，
21．(1)
(2)存在，或或或
(3)或