2022-2023学年八年级数学下册北师大版 1.4.角平分线 同步练习（含答案）

1.4. 角平分线
同步练习
一、单选题
1．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
2．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
3．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
4．的三边长分别是，其三条角平分线交于点，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．7
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④
7．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则________°．
12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=4，AC=16，则△ACD的面积是______．
13．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．
14．如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_________°．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP＋PQ的最小值为___．
三、解答题
16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
17．已知，点C在的平分线上，点B、D分别在、上，连接、．
(1)如图1，若，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．
18．如图，，，，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且，，，在同一条直线上．
(1)求∠PAD的度数；
(2)求证：P是线段CD的中点．
19．如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数．
20．已知，是一条角平分线．
【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：．
小红的解法如下：
过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，
∴______．
∴______，
又∵，
∴______．
【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．
求证：
【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______．
21．（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．
（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．
（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．
参考答案：
1．A2．C3．A4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．B
11．55°．
12．32
13．①③④
14．60
15．
16．（1）证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴CE=CF，
∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；
（2）解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，
∴S△ABC=，
∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，
∴S△ADC=，
∴=．
17．（1）∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DC=BC；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC．
18．（1）解：，
，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
；
（2）证明：过点作于点，如图，
平分，
，
平分，
，
，
是线段的中点．
19．∠DAC= 40°，∠BOA= 115°．
20．探究发现：解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，
∴
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，；；
类比探究：证明：过点D作于N，过点D作于．过点A作于点P．
∵平分，
∴．
∴，
∴
拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，
∵分别是的角平分线且相交于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴是的角平分线
由（1）知，，
设，，则，
由（1）知，
．
21．（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵ ，，
∴：=AB：AC；
（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；
（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，
∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中，
，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，
∴BE：CD=AB：AC；