基础巩固强化
一、选择题
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
[答案] C
[解析] 不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、B、D错误．
2．曲线xy＝2与直线y＝x的交点是( )
A．(，) B．(－，－)
C．(，)或(－，－) D．不存在
[答案] C
[解析] 由方程组，解得或，故选C.
3．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于( )
A．±3 B．0
C．±2 D. 一切实数
[答案] A
[解析] 两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.
4．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )
[答案] C
[解析] 由|x|·y＝1知y>0，曲线位于x轴上方，故选C.
5．已知曲线C：y2＝－2x＋1，则曲线C( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．不是轴对称图形
[答案] A
[解析] 以－y代y得(－y)2＝－2x＋1＝y2，故曲线C关于x轴对称．
6．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝1
[答案] C
[解析] 设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有＝x，＝y.
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
∵(x1，y1)在x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.
二、填空题
7．给出下列结论：
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是________．
[答案] ③
[解析] 方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，故②错；方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．
8．方程y＝所表示的图形是________．
[答案] 两条射线x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)
[解析] 原方程等价于y＝|x－1|?x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)．
三、解答题
9．画出方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线．
[解析] 方程(x＋y－1)＝0可等价变形为或x－y－2＝0.
由得∴
表示射线x＋y－1＝0(x≥)．
∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥)和直线x－y－2＝0，如下图所示．
基础巩固强化
一、选择题
1．已知A(－2,0)，B(2,0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是( )
A．一个点 B．两个点
C．一条直线 D．两条直线
[答案] D
[解析] 设顶点C到边AB的距离为d，则×4×d＝10，∴d＝5.∴顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.
2．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)
[答案] A
[解析] 由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
3．等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1)，C(0，－3)，则另一顶点A的轨迹方程是( )
A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x＋1
C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1)
[答案] D
[解析] 由题意可知另一顶点A在边BC的垂直平分线上．BC的中点为(1，－1)，边BC所在直线斜率kBC＝＝2，∴边BC的垂直平分线的斜率k＝－，垂直平分线方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋2y＋1＝0.又顶点A不在边BC上，∴x≠1，故选D.
4．方程y＝表示的曲线形状大致为( )
[答案] C
[解析] 解法1：当x>0时，y＝＝；
当x<0时，y＝＝－，
即y＝故选C.
解法2：∵y>0，∴排除A、B、D，故选C.
5．已知0≤α≤2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A. B.
C.或 D.或
[答案] C
[解析] 将点P坐标代入曲线方程为(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3.
∴cosα＝.∵0≤α≤2π，∴α＝或.
6．平行四边形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(3，－1)、(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0
C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0
[答案] A
[解析] 设AC、BD交于点O，
∵A、C分别为(3，－1)、(2，－3)，
∴O点坐标为(，－2)，设B点坐标为(x，y)，
∴D点坐标为(5－x，－4－y)，
∵D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，
即3x－y－20＝0，故选A.
二、填空题
7．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为______．
[答案] x2＋y2＝4
[解析] 设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，
∵∠APB＝60°，OP平分∠APB，∴∠OPB＝30°，
∵|OB|＝1，∠OBP为直角，∴|OP|＝2，∴x2＋y2＝4.
8．直线y＝kx＋1与y＝2kx－3(k为常数，且k≠0)交点的轨迹方程是________．
[答案] y＝5(x≠0)
[解析] 由，得k＝(x≠0)，
把k＝代入y＝kx＋1，得y＝5.
故交点的轨迹方程是y＝5(x≠0)．
三、解答题
9．已知曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程．
[解析] 设点M(x，y)是曲线上的任一点，则点M属于集合，有＝，
化简得曲线的方程为x2＋y2＋2x－3＝0.
10.
如图，已知点P(－3,0)，点Q在x轴上，点A在y轴上，且·＝0，＝2.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
[解析] 设动点M(x，y)，A(0，b)，Q(a,0)，
∵P(－3,0)，
∴＝(3，b)，＝(a，－b)，＝(x－a，y)，
∵·＝0，
∴(3，b)·(a，－b)＝0，即3a－b2＝0.①
∵＝2，
∴(x－a，y)＝2(a，－b)，即x＝3a，y＝－2b.②
由①②得y2＝4x.
∴动点M的轨迹方程为y2＝4x.
基础巩固强化
一、选择题
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
[答案] D
[解析] ∵|MF1|＋|MF2|＝6，|F1F2|＝6，
∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，
∴点M的轨迹是线段F1F2.
2．已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．3 C．5 D．7
[答案] D
[解析] 利用椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10.
∵|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.
3．椭圆ax2＋by2＋ab＝0(a
A．(±，0) B．(±，0)
C．(0，±) D．(0，±)
[答案] D
[解析] ax2＋by2＋ab＝0可化为＋＝1，
∵a－b>0，
∴焦点在y轴上，c＝＝，
∴焦点坐标为(0，±)．
4．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( )
A．5 B．3或8 C．3或5 D．20
[答案] C
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故选C.
5．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( )
A. B．3
C. D.
[答案] D
[解析] a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝.
∵△PF1F2为直角三角形．且b＝3>＝c.
∴F1或F2为直角三角形的直角顶点，
∴点P的横坐标为±，
设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝.
6．(2012·上海文，16)对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由mn>0，若m＝n>0，则方程 mx2＋ny2＝1表示圆，故mn>0方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，若mx2＋ny2＝1表示椭圆，则必有mn>0，故选B.
二、填空题
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 由题意可得∴
故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
8．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝______.
[答案] 2
[解析] 由题意S△POF2＝c2＝，∴c＝2，∴a2＝b2＋4.
∴点P坐标为(1，)，把x＝1，y＝代入椭圆方程＋＝1中得，
＋＝1，解得b2＝2.
三、解答题
9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
[解析] 当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.
10．已知点A(－，0)，B是圆F：(x－) 2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程．
[解析] 如图所示，由题意知，
|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，
∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，
∴动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，
∴a＝1，c＝，b2＝.
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1，即x2＋y2＝1.
基础巩固强化
一、选择题
1．(2012·汕头金山中学高二期末)若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A．1 B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由题意得a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m，又＝，∴＝，∴m＝.
2．将椭圆C1∶2x2＋y2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )
A．相等的短轴长 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．相等的长轴长
[答案] C
[解析] 把C1的方程化为标准方程，即
C1：＋＝1，从而得C2：＋y2＝1.
因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上．
e1＝＝e2，故离心率相等，选C.
3．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
[答案] B
[解析] 依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故选B.
4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1
[答案] C
[解析] ∵长轴长2a＝12，∴a＝6，又e＝∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝32，∵焦点不定，
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
5．(2012·江西，8)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
[答案] B
[解析] ∵A、B分别为左右顶点，F1、F2分别为左右焦点，∴|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝.
6．已知A＝{1,2,4,5}，a，b∈A，则方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] ∵a，b∈A，∴不同的方程＋＝1共有16个．
由题意a2a＝4时，b＝5，共6个，∴所求概率P＝＝.
二、填空题
7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0[答案] (2,4]
[解析] ∵b＝1，∴c2＝a2－1，
又＝＝1－≤，
∴≥，∴a2≤4，
又∵a2－1>0，∴a2>1，
∴18．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
[答案] 2 120°
[解析] 依题知a＝3，b＝，c＝，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.
又|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
三、解答题
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解析] 椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝>0，∴m>.
即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝得，＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
[解析] 解法一：设焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b)．
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2，
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理，得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2,3b＝2a.∴＝.
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
解法二：设M(c，b)，代入椭圆方程，得＋＝1，
∴＝，∴＝，即e＝.
基础巩固强化
一、选择题
1．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．以上都不对
[答案] C
[解析] 椭圆关于x轴、y轴对称，也关于坐标原点成中心对称，故选C.
2．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )
A．(±，1) B．(，±1)
C．(，1) D．(±，±1)
[答案] D
[解析] 设P(x0，y0)，∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1，
∴S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，∴y0＝±1，
∵＋＝1，
∴x0＝±.故选D.
3．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 由已知得
解得∴e＝＝，故选C.
4．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是( )
A．b2 B．bc
C．ab D．ac
[答案] B
[解析] S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，
当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.
∴△ABF面积的最大值为bc.
5．在△ABC中，BC＝24，AB＋AC＝26，则△ABC面积的最大值为( )
A．24 B．65
C．60 D．30
[答案] C
[解析] ∵AB＋AC>BC，∴A点在以B、C为焦点的椭圆上，因此当A为短轴端点时，△ABC面积取最大值Smax＝BC×5＝60，∴选C.
6．如图F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.－1
[答案] D
[解析] 连接AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，
又∵△F2AB是等边三角形，
∴∠AF2F1＝30°，
∴AF1＝c，AF2＝c，
∴e＝＝＝＝－1.故选D.
二、填空题
7．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________．
[答案] x＋2y－4＝0
[解析] 设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，＝－，
∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
[答案] (－1,1)
[解析] 由正弦定理及＝，得
＝＝.
在△PF1F2中，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2a－x.
则上式为＝，即cx＋ax＝2a2，x＝.
又a－c由a－c<，得a2>－c2，显然恒成立．
由c2＋2ac－a2>0，即e2＋2e－1>0，
解得e>－1＋或e<－1－(舍)．
又0所以e的取值范围为(－1,1)．
三、解答题
9．(2013·安徽理，18)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某条定直线上．
[解析] (1)因为焦距为1，
所以2a2－1＝，解得a2＝.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中c＝.由题设知x0≠c，
则直线F1P的斜率kF1P＝.
直线F2P的斜率kF2P＝.
故直线F2P的方程为y＝(x－c)．
当x＝0时，y＝，即点Q坐标为(0，)．
因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.
由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.
化简得y＝x(2a2－1)．①
将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上.
基础巩固强化
一、选择题
1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
[答案] D
[解析] 方程mx2－my2＝n可化为：－＝1，
∵mn<0，∴－>0，
∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
2．设θ∈(，π)，则关于x、y的方程－＝1 所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
[答案] C
[解析] 方程即是＋＝1，因θ∈(，π)，
∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示焦点在y轴上的椭圆，故选C.
3．k>9是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] k>9时，方程为－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(k－9)(k－4)<0，∴k<4或k>9，故选B.
4．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．22或2 B．7
C．22 D．2
[答案] A
[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2.
5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是( )
A．±1 B．1
C．－1 D．不存在
[答案] A
[解析] 验证法：当m＝±1时，m2＝1，
对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，
故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，
故4－m2＝m2＋2.
∴m2＝1，即m＝±1.
6．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
[答案] D
[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a
＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5
＝26.
二、填空题
7．(2012·山东冠县武训中学高二测试)双曲线2x2－y2＝m的一个焦点是(0，)，则m的值是________．
[答案] －2
[解析] 双曲线的标准方程为－＝1，
由题意得a2＝－m，b2＝－，∴c2＝－m＝3，
∴m＝－2.
8．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为________．
[答案]
[解析] ∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，
该直线方程为x＝，
由得y2＝，
∴|y|＝，弦长为.
三、解答题
9．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
[解析] 椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.
由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)、B(－，4)，
由点A在双曲线上知，－＝1.
解方程组得
∴所求曲线的方程为－＝1.
10．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有
|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3.
∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，且a＝，c＝5.∴b2＝c2－a2＝.
∴双曲线方程为－＝1(x≤－)．
基础巩固强化
一、选择题
1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A．y＝±3x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] C
[解析] 双曲线的渐近线方程为3x2－y2＝0，即y＝±x，故选C.
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ B．－4
C．4 D.
[答案] A
[解析] 双曲线方程化为标准形式：y2－＝1，
则有：a2＝1，b2＝－，
由题设条件知，2＝，
∴m＝－.
3．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B．2 C. D．2
[答案] A
[解析] ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又两渐近线互相垂直，所以a＝b，c＝＝a，e＝＝.
4．经过点M(2，－2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] C
[解析] 设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，把点M(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－＝－2，
∴双曲线方程为：－＝1.
5．(2013·北京文，7)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
[答案] C
[解析] 双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C.
6．若0A．相同的实轴 B．相同的虚轴
C．相同的焦点 D．相同的渐近线
[答案] C
[解析] ∵00.
∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.
二、填空题
7．若双曲线＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是____________．
[答案] (，0)(－，0)
[解析] 由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝－3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标(，0)(－，0)．
8．(2013·陕西理，11)双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
[答案] 9
[解析] 由a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，则e＝＝＝，∴m＝9.
三、解答题
9．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程．
[解析] ∵点A与圆心O连线的斜率为－，
∴过A的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x.
设双曲线方程为x2－＝λ.
∵点A(4，－1)在双曲线上，∴16－＝λ，λ＝.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知动圆与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
则|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，
∴|MC1|－|MC2|＝r＋3－r＋1＝4<|C1C2|＝6，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，
双曲线的方程为：－＝1(x≥2).
基础巩固强化
一、选择题
1．(2013·惠州一调)已知实数4，m,9构成一个等比数列，m为等比中项，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为( )
A. B.
C.或 D.或7
[答案] C
[解析] ∵4，m,9成等比数列，∴m2＝36，∴m＝±6.当m＝6时，圆锥曲线方程为＋y2＝1，其离心率为；当m＝－6时，圆锥曲线方程为y2－＝1，其离心率为，故选C.
2．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．a＝1 B．0C．a>1 D．a≥1
[答案] D
[解析] 等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.
3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是( )
A．(－，) B．(0，)
C．(－，0) D．(－，－1)
[答案] D
[分析] 直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线与双曲线消去y得到的方程组应有两正根，从而Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，二次项系数≠0.
[解析] 由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
由题意，得
解得－4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
[答案] C
[解析] 方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a，b一致．应选C.
5．(2013·湖北理，5)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
[答案] D
[解析] ∵双曲线C的离心率
e1＝＝＝，
而双曲线C2的离心率
e2＝＝＝
＝＝＝，
∴e1＝e2，故选D.
6．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6 C．7 D．9
[答案] C
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，
∴＝，∵b＝3，∴a＝2.
又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，
∴|3－|PF2||＝4.
∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．
二、填空题
7．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A、B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．
[答案] ±1
[解析] 由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，∴线段AB的中点坐标为(m,2m)，又∵点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，∴5m2＝5，∴m＝±1.
8．双曲线－＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为__________．
[答案] 3.2
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，∴a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义知，m－n＝2a＝6，
又PF1⊥PF2.
∴△PF1F2为直角三角形．
即m2＋n2＝(2c)2＝100.
由m－n＝6，得m2＋n2－2mn＝36，
∴2mn＝m2＋n2－36＝64，mn＝32.
设点P到x轴的距离为d，
S△PF1F2＝d|F1F2|＝|PF1|·|PF2|，
即d·2c＝mn.∴d＝＝＝3.2，
即点P到x轴的距离为3.2.
三、解答题
9．(2013·新课标Ⅱ文，20)在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
[解析] (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.
∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得C＝±1.
∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.
与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．
即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.
基础巩固强化
一、选择题
1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．圆 D．双曲线
[答案] A
[解析] ∵点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．
2．抛物线x2＝4ay的准线方程为( )
A．x＝－a B．x＝a
C．y＝－a D．y＝a
[答案] C
3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] 解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝4，
∴A(4,4)，焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为＝＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
4．(2012·厦门市质检)抛物线y2＝mx的焦点为F，点P(2,2)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为( )
A．1 B.
C．2 D.
[答案] D
[解析] ∵点P(2,2)在抛物线上，∴(2)2＝2m，
∴m＝4，P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，
∴M到抛物线准线的距离为d＝＝.
5．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
[答案] D
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)．
∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
6．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
[答案] C
[解析] 由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．
二、填空题
7．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________．
[答案] －
[解析] 抛物线方程化为标准形式为x2＝y，由题意得a<0，∴2p＝－，∴p＝－，
∴准线方程为y＝＝－＝2，∴a＝－.
8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．
[答案] x＝－2
[解析] 由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.
三、解答题
9．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝6x；
(2)2x2－5y＝0.
[分析] 先根据抛物线的标准方程形式，求出p，再根据开口方向，写出焦点坐标和准线方程．
[解析] (1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右．
则焦点坐标是(，0)，准线方程为x＝－.
(2)将2x2－5y＝0变形为x2＝y.
∴2p＝，p＝，开口向上．
∴焦点为(0，)，准线方程为y＝－.
[点评] 根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，即可写出焦点坐标和准线方程．
10．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．
[解析] ∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为(x,6)．
又∵点M到准线的距离为10，
∴解得或
故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.
当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.
基础巩固强化
一、选择题
1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1) 、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么，|AB|等于( )
A．8 B．10 C．6 D．4
[答案] A
[解析] 由题意，|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝6＋2＝8，选A.
2．(2013·新课标Ⅰ文，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.
3．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于( )
A．4 B．4或－4
C．－2 D．－2或2
[答案] B
[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，又点P在抛物线上，则k2＝4p，
∵|PF|＝4∴＋2＝4，即p＝4，∴k＝±4.
4．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
[答案] B
[解析] ∵圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．
5．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
[答案] C
[解析] 设抛物线方为y2＝2px(p>0)．
如图，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.
又AA1∥Ox∥B1B，
∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，
∴∠A1FB1＝∠AFB＝90°.
二、填空题
6．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝________.
[答案] ±2
[解析] 设正三角形边长为x.
36＝x2sin60°，∴x＝12.
当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2，
当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，
故a＝±2.
7．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．
[答案] (0,0)
[解析] 设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．
三、解答题
8．(2013·福建文，20)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.
(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；
(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．
[解析] (1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.
由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，
所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝.
所以|MN|＝2＝2＝2.
(2)设C(，y0)，则圆C的方程为(x－)2＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.
由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，
设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则
由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，
所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为(，)或(，－)，
从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.
9．定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标．
[分析] 如图所示，线段AB 中点到y轴距离取最小值时，其横坐标取最小值，因此，只要A、B两点的横坐标之和取最小即可．
[解析] 如图，设F是抛物线y2＝x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)，
根据抛物线定义得|AC|＝|AF|，|BD|＝| BF|，
∴|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥＝.
设M点的横坐标为x，则|MN|＝x＋，
∴x＝|MN|－≥－＝，
等号成立的条件是弦AB过点F，
由于|AB|>2p＝1，
∴AB过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是，即AB的中点横坐标为.
当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、 y2，则y1y2＝－p2＝－，从而
(y1＋y1)2＝y＋y＋2y1y2＝2×－＝2，
∴y1＋y2＝±，
∴M点的坐标为(，±)时，M到y轴距离的最小值为.
[点评] 本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中，再结合抛物线的定义和方程求解，这样解答简捷准确．
基础巩固强化
一、选择题
1．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 B．56 C．64 D．72
[答案] A
[解析] 由消去y得，
x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，
∴或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2或者|BQ|＝10，|AP|＝2，|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，选A.
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[答案] D
[解析] 设A(，y1)，B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，
∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D.
3．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
[答案] B
[解析] 由定义|AB|＝5＋2＝7，
∵|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是( )
A．1 B．2
C. D.
[答案] D
[解析] 如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2，又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.
5．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，即k＝2.
6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于( )
A．9 B．6 C．4 D．3
[答案] B
[解析] 设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为＋＋＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.
二、填空题
7．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时，量得水面宽8 m，当水面升高1米后，水面宽度是________m.
[答案] 4
[解析] 设抛物线拱桥的方程为x2＝－2py，当顶点距水面2 m时，量得水面宽8 m，
即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p，
∴p＝4，则抛物线方程是x2＝－8y，
水面升高1 m时，即y＝－1时，x＝±2.
则水面宽为4m.
8．已知抛物线y2＝4x的一条过焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴交点坐标(0,2)，则＋＝________.
[答案]
[解析] 弦AB是过焦点F(1,0)的弦，
又过点(0,2)，∴其方程为x＋＝1，
2x＋y－2＝0与y2＝4x联立得
y2＋2y－4＝0，y1＋y2＝－2，y1y2＝－4，
＋＝＝＝.
三、解答题
9．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.
[解析] 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(，0)，
所以经过点F的直线AB的方程设为：x＝my＋代入抛物线方程得：y2－2pmy－p2＝0
若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2
因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，
所以点C的坐标为(－，y2)，
故直线CO的斜率为：k＝＝＝，
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点．
10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
[解析] (1)如图所示，由消去x得，ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－.
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2.
∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝.
∵S△OAB＝，
∴＝，解得k＝±.
