基础巩固强化
一、选择题
1．下列命题中，正确的有( )
(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(2)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(3)向量a、b相等的充要条件是；
(4)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
(5)＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] (1)正确．∵＝，
∴||＝||且∥.
又∵A、B、C、D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，在?ABCD中，＝.
(2)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.
(3)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．
(4)正确．a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|?/ a＝b.
(5)不正确．由＝，知||＝||，且与同向．故选C.
2．设A、B、C是空间任意三点，下列结论错误的是( )
A.＋＝ B.＋＋＝0
C.－＝ D.＝－
[答案] B
[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0.
3．已知空间向量、、、，则下列结论正确的是( )
A.＝＋ B.－＋＝
C.＝＋＋ D.＝－
[答案] B
[解析] 根据向量加减法运算可得B正确．
4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.－＝
D.－＝
[答案] D
[解析] －＝＝，故选D.
5．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量相等的向量(不含)的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 利用向量相等的定义求解．
6．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
[答案] A
[解析] ＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝－a＋b＋c.∴应选A.
二、填空题
7．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
[答案] b－c－a
[解析] ＝－＝－(＋)＝b－(a＋c)＝b－c－a.
8．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋＝0，那么＝________.
[答案]
[解析] ∵D为BC中点，
∴＋＝2，
又＋＝－2，
∴＝－即＝.
三、解答题
9.
如图所示的是平行六面体ABCD—A1B1C1D1，化简下列各式．
(1)＋＋；
(2)－＋.
[解析] (1)＋＋＝＋＋＝.
(2)－＋＝－(－)＝－＝.
10.
如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．
(1)＋－＋－；
(2)－＋－.
[解析] (1)原式＝＋＋－－＝.
(2)原式＝＋－＝.
基础巩固强化
一、选择题
1．设M是△ABC的重心，记a＝，b＝，c＝，则为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] M为△ABC重心，
则＝＝(＋)＝(c－b)．
2．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为( )
A.＋2＋2 B.－3－2
C.＋3－2 D.＋2－3
[答案] C
[解析] 根据A，B，C，P四点共面的条件可知＝x＋y.由图知x＝3，y＝－2，∴＝＋3－2，故选C.
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
[答案] D
[解析] ＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝.
4．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i不平行j，则k与i，j共面?存在惟一的一对实数x，y使k＝xi＋yj.故选C.
5．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是( )
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝－＋＋
D．以上皆错
[答案] B
[解析] 解法一：∵＋＋＝1，∴选B.
解法二：∵＝＋＋，
∴3＝＋＋，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋，
∴＝－－，∴P、A、B、C共面．
二、填空题
6．化简(a＋2b－3c)＋5(a－b＋c)－3(a－2b＋c)＝________.
[答案] a＋b－c
[解析] 原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b－c.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1A，B1B的中点，O为BD1的中点．设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示下列向量：
(1)＝________；
(2)＝________.
[答案] (1)a－b－c (2)－a－c
[解析] (1)＝a－b－c.
(2)＝－a－c.
三、解答题
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN:NC＝2:1，求证：与、共面．
[解析] ＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)．
∴＝－＝(＋)－
＝(－)＋(－)
＝＋.
∴与，共面．
9．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AE:EC′＝1:2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值．
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z；
(3)＝x＋y＋z.
[解析] (1)∵AE:EC′＝1:2，
∴＝
＝(＋＋)＝(＋＋)
＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
(2)∵F为B′D′的中点，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(2＋＋)＝＋＋，
∴x＝1，y＝，z＝.
(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点，
∴＝，∴x＝，y＝0，z＝0.
10．已知i、j、k是不共面向量，a＝i－2j＋k，b＝－i＋3j＋2k，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面．
[解析] 设a＝λb＋μc，则i－2j＋k＝(－λ－3μ)i＋(3λ＋7μ)j＋2λk，
∵i，j，k不共面，∴∴
故存在实数λ＝，μ＝－，使a＝λb＋μc，
故a，b，c共面.
基础巩固强化
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
[答案] D
[解析] 根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D.
2．已知向量a、b是与平面α平行的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.
3．如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么( )
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
[答案] C
[解析] ∵·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)＝0，
·＝(＋)·
＝·(－)＋·
＝||·||·cos120°－||·||cos120°＋||·||cos120°<0.
∴·>·.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
[答案] B
[解析] 根据数量积的定义知：①②正确，与的夹角为120°，∴③不正确，故选D.
5．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m，n既不平行也不垂直
D．以上三种情况都可能
[答案] B
[解析] ∵m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，∴m⊥n.
6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|( )
A. B. C. D．4
[答案] C
[解析] |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝|a|2＋6|a||b|cos
＋9|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝.
二、填空题
7．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________.
[答案] 0°
[解析] ∵(2m＋n)⊥(m－3n)，
∴(2m＋n)·(m－3n)＝0，化简得m·n＝－2.
又∵|a|＝＝＝＝6，
|b|＝＝＝＝3，
a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝28|m|2－2|n|2＋m·n＝18，
所以cos〈a，b〉＝＝＝1，〈a，b〉＝0°.
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
[答案] a2
[解析] ·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝a×a×cos60°＝a2.
三、解答题
9．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．
[解析] (a＋3b)·(7a－5b)
＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
解之得，|b|2＝2a·b＝|a|2，
∴cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°.
10．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．
[解析] ∵点F是BC的中点，
∴＝(＋)．
∴＝－＝(＋)－＝(＋－)．
又||＝||＝|－|，
∴2＝2－2·＋2①
同理2＝2＝2－2·＋2.②
由①代入②可得
2＝2－2·＋2－2·＋2，
∴22－2·(＋)＝0，
∴·(＋－)＝0.
∴·(＋－)＝0.
∴·＝0.∴⊥.
同理可得⊥.∴EF是AD与BC的公垂线.
基础巩固强化
一、选择题
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[答案] B
[解析] a·b＝0?a⊥b，|a|2＝|b|2?(a＋b)·(a－b)＝0?(a＋b)⊥(a－b)；
a·b＝a·c?a⊥(b－c)；故A、C、D均错．
2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
[答案] B
[解析] 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝( )
A．i＋j＋k B.i＋j＋k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
[答案] C
[解析] ＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k.
4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
[答案] A
[解析]
＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＋
＝－a＋b＋c.
5．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] D
[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由、、共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
∴c与a、b共面与条件矛盾．
∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．
6．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由题意a＋b＝－c，两边平方得，
|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，
即19＝4＋9＋2×2×3cos〈a，b〉，
所以cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝60°.
二、填空题
7．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
[答案] x＝y＝z＝0
[解析] 若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．
由{a，b，c}是空间向量的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
8．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．
[答案] (，，－1) (1,1,1)
[解析] 由条件p＝2a＋b－c.
设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
∵a、b、c不共面，
∴，∴.
即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(，，－1)，
同理可求p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．
三、解答题
9．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，分别取向量、、为基底，若
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z，试确定x，y，z的值．
[解析] (1)∵＝＋＝＋＋
＝－＋＋，又＝x＋y＋z，
∴x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝，y＝，z＝1.
基础巩固强化
一、选择题
1．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若＝，则C的坐标是( )
A．(2，－，) B．(－2，，－)
C．(2，－，－) D．(－2，－，)
[答案] B
[解析] ∵＝(－3,7，－5)，
∴＝(－3,7，－5)＝.
故选B.
2．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( )
A．4 B．1 C．10 D．11
[答案] D
[解析] ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)，
∵A、B、C、D共面，∴、、共面，
∴存在λ、μ，使＝λ＋μ，
即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，
∴∴
3．下列各组向量中共面的组数为( )
①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)
②a＝(1,2，－1)，b＝(0,2，－4)，c＝(0，－1,2)
③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1)
④a＝(1,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①设a＝xb＋yc，则
解得
故存在实数x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c，
∴a，b，c共面．
②中b＝－2c，③中c＝a－b.
故②③中三个向量共面．
4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点．若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－6,21) B．(－2,7)
C．(6，－21) D．(2，－7)
[答案] A
[解析] ＝2＝2(－)＝(－6,4)，
＝＋＝(－2,7)，
＝3＝(－6,21)．
5．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
6．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<－4 B．－4C．04
[答案] A
[解析] ∵a、b的夹角为钝角，∴a·b<0，
即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x<0.
∴x<－4.
又当夹角为π时，存在λ<0，使b＝λa，
∴此方程组无解，因此选A.
二、填空题
7．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝________.
[答案] 或
[解析] 设n＝(x，y，z)，由条件得
∴x＝y＝z＝或－.
8．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是____________．
[答案] 120°
[解析] ＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
·＝－7，||＝，||＝，
∴cosθ＝＝－，
∴θ＝120°.
三、解答题
9．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使与＋x垂直？
[解析] ＝(6，－5,5)，＝(1，－3,6)，
＋x＝(6＋x，－5－3x,5＋6x)，
∵⊥(＋x)
∴6(6＋x)－5(－5－3x)＋5(5＋6x)＝0，
∴x＝－，∴存在实数x＝－，
使与＋x垂直．
10．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动(O为坐标原点)．当·取最小值时，求点Q的坐标．
[解析] ＝(1,1,2)，因为点Q在直线OP上，所以与共线，
故可设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，则Q(λ，λ，2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－.
所以当λ＝时，·取最小值．
此时Q点坐标为(，，).
基础巩固强化
一、选择题
1．若平面α、β的法向量分别为a＝，b＝(－1，2，－6)，则( )
A．α∥β B．α与β相交但不垂直
C．α⊥β D．α∥β或α与β重合
[答案] D
[解析] ∵b＝－2a，∴b∥a，
∴α∥β或α与β重合．
2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则( )
A．l1∥l2 B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2 D．不能确定
[答案] C
[解析] ∵a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
3．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
[答案] C
[解析] ∵≠且u·v≠0，∴α、β相交但不垂直．
4．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；
③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．
其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] DD1∥AA1，＝(0,0,1)；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，下列结论中，错误的是( )
A．A1E⊥AC1 B．BF∥平面ADD1A1
C．BF⊥DG D．A1E∥CH
[答案] A
[解析] 设正方体棱长为1，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A1(1,0,1)，E(1，，0)，C(0,1,0)，F(0,1，)，C1(0,1,1)，H(0，，1)，G(，0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，∴＝(0，，－1)，＝(－1,1,1)，＝(－1,0，)，＝(，0,1)，＝(0，－，1)．
平面ADD1A1的一个法向量为v＝(0,1,0)，
∴·＝－，·v＝0，
·＝0，＝－.
∴B、C、D成立，A不成立，故选A.
二、填空题
6．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,2)，C(a,3，b＋2)在同一直线上，那么a＝________，b＝________.
[答案] 3 4
7．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝________.
[答案]
[解析] ∵α∥β，∴u∥v，∴＝＝，
∴∴x＋y＝.
三、解答题
8．如图所示，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA＝θ，能否确定θ，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由．
[解析] 以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，设|AD|＝2a，|AB|＝2b，∠PDA＝θ，则A(0,0,0)、B(0,2b,0)、C(2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atanθ)、M(0，b,0)、N(a，b，atanθ)．
∴＝(0,2b,0)，＝(2a,2b，－2atanθ)，＝(a,0，atanθ)．
∵·＝(0,2b,0)·(a,0，atanθ)＝0，
∴⊥，即AB⊥MN.
若MN⊥PC，
即·＝(a,0，atanθ)·(2a,2b，－2atanθ)
＝2a2－2a2tan2θ＝0，则tan2θ＝1，
而θ是锐角，
∴tanθ＝1，θ＝45°.
即当θ＝45°时，直线MN是直线AB与PC的公垂线．
9．已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
[证明] 证法1：先将已知条件转化为·＝0，·＝0，再证明·＝0.
∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0.
∴·＝(＋)·(－)
＝·＋·－2－·
＝·－2－·
＝·(－－)＝·＝0.
∴⊥，从而AD⊥BC.
证法2：设＝a，＝b，＝c，
∵AB⊥CD，
∴·＝(b－a)·(－c)＝a·c－b·c＝0，
∴a·c＝b·c；
∵AC⊥BD，∴·＝(c－a)·(－b)＝a·b－b·c＝0，∴a·b＝b·c；
∴a·c＝a·b，
∴·＝(－a)·(c－b)＝a·b－a·c＝0，
∴AD⊥BC.
基础巩固强化
一、选择题
1．l，m是两条直线，方向向量分别为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则( )
A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2
C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2
[答案] D
[解析] 由向量平行的充要条件可得．
2．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不确定
[答案] A
[解析] 由v1∥v2故可判断α∥β.
3．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为( )
A．(，－，) B．(，－3,2)
C．(，－1，) D．(，－，)
[答案] C
[解析] ∵C在线段AB上，∴设C(x，y，z)，则(x－4，y－1，z－3)＝(2－4，－5－1,1－3)，
即解得
故选C.
二、填空题
4．若＝λ＋u(λ，u∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
[答案] AB∥平面CDE或AB?平面CDE
5．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1,1)，C(3，λ，λ)，若⊥，则λ等于________．
[答案]
[解析] ＝(1，－3，－2)，＝(2，λ－2，λ－3)，
∵⊥，
∴·＝0，
∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝.
三、解答题
6．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM?MA＝BN?ND＝5?8.
求证：直线MN∥平面PBC.
[证明] ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋
＝－(－)＋＋(＋)
＝－＋＝－，
∴与、共面，∴∥平面BCP，
∵MN?平面BCP，∴MN∥平面BCP.
7．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别为棱PA、PB、PC的中点，求证平面DEF∥平面ABC.
[证明] 证法一：如图．
设＝a，＝b，＝c，则由条件知，＝2a，＝2b，＝2c，
设平面DEF的法向量为n，则n·＝0，n·＝0，
∴n·(b－a)＝0，n·(c－a)＝0，
∴n·＝n·(－)＝n·(2b－2a)＝0，n·＝n·(－)＝n·(2c－2a)＝0，∴n⊥，n⊥，
∴n是平面ABC的法向量，
∴平面DEF∥平面ABC.
证法二：设＝a，＝b，＝c，则＝2a，＝2b，＝2c，
∴＝b－a，＝c－a，＝2b－2a，＝2c－2a，
对于平面ABC内任一直线l，设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对(x，y)，使e＝x＋y＝x(2b－2a)＋y(2c－2a)＝2x(b－a)＋2y(c－a)＝2x＋2y，∴e与、共面，
即e∥平面DEF，
∴l?平面DEF，∴l∥平面DEF.
由l的任意性知，平面ABC∥平面DEF.
8.
四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A－xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
[解析] A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．
∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－.
又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，
∴z＝.
∴n＝(1，－，)即为平面SCD的一个法向量.
基础巩固强化
一、选择题
1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m为( )
A．－4 B．－6 C．－8 D．8
[答案] C
[解析] ∵l∥α，∴l与平面α的法向量垂直．
故2×1＋×m＋1×2＝0，
解得m＝－8，故选C.
2．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )
A．(1，－2,0) B．(0，－2,2)
C．(2，－4,4) D．(2,4,4)
[答案] C
[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，
∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．
二、填空题
3．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
[答案] ①②③
[解析] ·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥.
·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，
∵⊥，⊥，∩＝A，
∴⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．
三、解答题
4．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，如果BC⊥PB，求证四边形ABCD是矩形．
[证明] 由条件知⊥，⊥，＝，
∵BC⊥PB，∴·＝0，
即·(－)＝0，
∴·－·＝0，
∵·＝0，∴·＝0，
∴AD⊥AB，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形．
5．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC.
[证明] 设＝a，＝b，＝v.
由条件知，v是平面ABC的法向量，
∴v·a＝0，v·b＝0，
∵D为AB中点，∴＝(a＋b)，
∵O在CD上，
∴存在实数λ，使＝λ＝(a＋b)，
∵CA＝CB，∴|a|＝|b|，
∴·＝(b－a)·
＝(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v
＝(|a|2－|b|2)＋b·v－a·v＝0，
∴⊥，∴AB⊥PC.
6．在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE?EC＝PF?FB＝1?2.
求证：平面GEF⊥平面PBC.
[证明]
证法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0，3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0，1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
于是＝(3,0,0)，＝(1,0,0)，
故＝3，∴PA∥FG.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则
E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．
∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥.
∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.
基础巩固强化
一、选择题
1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
[答案] C
[解析] l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，∵cos〈a，b〉＝＝，
∴〈a，b〉＝60°.
2．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )
A. B．－
C. D．以上都不对
[答案] D
[解析] ∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] B
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．
∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
∵n⊥，n⊥，
∴∴
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．
∴cos〈n，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝.
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 解法一：∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＝.
而||＝
＝＝＝.
同理，||＝.如令α为所求角，则
cosα＝＝＝.应选D.
解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，
∴＝－(1,0,0)＝(0，，1)，＝(1,1，)－(0,1,0)＝(1,0，)．
故·＝0×1＋×0＋1×＝，
||＝＝，
||＝＝.
∴cosα＝＝＝.
二、填空题
5．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．
[答案]
[解析] 解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM.过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C.连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．
在Rt△DAN中，
sin∠DAN＝＝＝.
解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
在正三角形ABC中，BM＝AB＝，
∴A，B，D，
∴＝，
又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,0)，
设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，e〉|＝＝.
解法三：设＝a，＝b，＝c，
由条件知a·b＝，a·c＝0，b·c＝0，
又＝－＝c－b，
平面AA1C1C的法向量＝(a＋b)．
设直线BD与平面AA1C1C成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，〉|＝，
∵·＝(c－b)·(a＋b)
＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－.
||2＝(c－b)2＝|c|2＋|b|2－2b·c＝2，
∴||＝，
||2＝(a＋b)2＝(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝，∴||＝，∴sinθ＝.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为________．
[答案]
[解析] 建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2,0,0)，A1(0,0,2)，E(0,2,1)，则＝(2,0，－2)，＝(0,2，－1)．
设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴∴
令y＝1，得n＝(2,1,2)．
易知平面ABCD的法向量为m＝(0,0,1)，
则cos〈n·m〉＝＝.
三、解答题
7．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.
(1)PA与BD是否垂直？证明你的结论；
(2)求二面角P－BD－C的大小；
(3)求证：平面PAD⊥平面PAB.
[解析] 取BC的中点O，∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC是等边三角形，∴PO⊥底面ABCD.以O为原点，以、为x轴、z轴正向建立如图空间直角坐标系O－xyz，设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝.
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)．
(1)∵·＝0，∴⊥，∴BD⊥PA.
(2)连接AO与BD相交于E，连接PE，由·＝0得⊥，即BD⊥AO，从而BD⊥平面PEO，
∴PE⊥BD.∴∠PEO为二面角P－BD－C的平面角．
在Rt△ABO中，OE＝，sin∠OBE＝，
在Rt△PEO中，tan∠PEO＝＝.
∴二面角P－BD－C大小为arctan.
(3)取PA的中点M，则M，
＝，＝(1,0，－)．
∵·＝0，·＝0，
∴DM⊥PA，DM⊥PB.∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
8．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC.
[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)、B(，0,0)、C(，1,0)、D(0,1,0)、P(0，0,2)，E(0，，1)，
∴＝(，1,0)，＝(，0，－2)，
设与的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝，
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N(x,0，z)，则＝(－x，，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，
即
化简得∴
即N点的坐标为(，0,1).
基础巩固强化
一、选择题
1．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则 P(1,2－2)到α的距离为( )
A. B. C．2 D.
[答案] A
[解析] ∵＝(－2,0,3)，∴点P到平面α的距离为d＝＝＝.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 以、、为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，平面ABC1D1的法向量＝(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离
d＝＝＝.
3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5 B. C. D．8
[答案] C
[解析] 解法一：∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.
从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．
过点B1作B1E⊥A1B于E点．
∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E.
又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，
在Rt△A1B1B中，
B1E＝＝＝，
因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离为.
解法二：以D为原点，、、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则C(0,12,0)，D1(0,0,5)，设B(x,12,0)，B1(x,12,5) (x≠0)，
设平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)，
由n⊥，n⊥得
n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，∴a＝0，
n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，
∴b＝c，∴可取n＝(0,5,12)，＝(0,0，－5)，
∴B1到平面A1BCD1的距离d＝＝.
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)．
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝－1，则n＝(1,1，－1)，
显然n·＝0，n·＝0，
∴n也是平面BDC1的法向量，
∴平面AB1D1∥平面BDC1，
∴其距离为d＝＝.
二、填空题
5．等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD＝1，以AD为折痕将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：
①BD⊥AC；
②∠BAC＝60°；
③异面直线AB与CD之间的距离为；
④点D到平面ABC的距离为；
⑤直线AC与平面ABD所成的角为45°.
其中正确结论的序号是________．
[答案] ①②③④⑤
[解析] ∵AD⊥BD，AD⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥平面ACD，∴BD⊥AC，∴①正确；又知AD＝BD＝CD＝1，∴△ABC为正三角形，∠BAC＝60°，∴②正确；∵△ABC边长为，.∴S△ABC＝，由VA－BDC＝VD－ABC得×(×1×1)×1＝××h，∴h＝，故④正确；∵CD⊥平面ABD，∴∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，易知∠CAD＝45°，故⑤正确；以D为原点，DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，∴＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0得x－z＝0，y＝0，令z＝1得n＝(1,0,1)，∴异面直线AB与DC之间的距离d＝＝，故③正确．
三、解答题
6．三棱柱ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)求点C到平面AB1D的距离．
[解析] (1)证明：如图所示，取AB1中点M，则＝＋＋，又＝＋＋.
∴2＝＋＝＋..
2·＝(＋)·＝0,2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴DM⊥AA1，DM⊥AB.∴DM⊥平面ABB1A1.
∵DM?平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
(2)解：∵A1B⊥DM，A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.
∴是平面AB1D的一个法向量．
∴点C到平面AB1D的距离为
d＝＝
＝＝＝a.
7.
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，AEC1F为平行四边形．
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，设F(0,0，z)．
∵四边形AEC1F为平行四边形，
∴由＝得，(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2.∴F(0,0,2)．
∴＝(－2，－4,2)．
于是||＝2.即BF的长为2.
(2)设n1为平面AEC1F的法向量，
显然n1不垂直于平面ADF，
故可设n1＝(x，y,1)，
∴∴
即∴
又＝(0,0,3)，设与n1的夹角为α，则cosα＝＝＝.
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝||·cosα＝3×＝.
8．在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的余弦值．
[解析]
(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，V(，0，)，＝(0,1,0)，＝(，0，－)．
由·＝0，得AB⊥VA.
又AB⊥AD，且AD∩VA＝A，
∴AB⊥平面VAD.
(2)设E为DV的中点，连接EA，EB，则E(，0，)，＝(，0，－)，＝(，1，－)，＝(，0，)．
由·＝0，得EB⊥DV.
又EA⊥DV，∴∠AEB是所求二面角的平面角．
∵cos〈，〉＝＝，
∴所求二面角的余弦值为.
[点评] 如果二面角的平面角容易作出，也可以先作出二面角，再求之.
