能力拓展提升
一、选择题
11．设α、β、γ为两两不重合的平面，c、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②如果α∥β，c?α，则c∥β；
③如果α∩β＝c，β∩γ＝m，γ∩α＝n，c∥γ，则m∥n.
其中真命题个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c?α，∴c与β无公共点，∴c∥β，故②正确；由c∥γ，c?β，β∩γ＝m得c∥m，同理可得c∥n，∴m∥n，故③正确．
12．若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数( )
A．不是命题
B．是真命题
C．是假命题
D．是命题，但真假与x的取值有关
[答案] B
[解析] 当a>1时，指数函数f(x)＝ax是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”是真命题．
13．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M?N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则△ABC为锐角三角形
[答案] B
[解析] y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；
当M?N时，M∪N＝N，故C为假命题；
当·>0时，向量与的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．
14．(2013·广东文，10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定向量b和正数μ，总存在单位向量c，使a＝λb＋μc.
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b、c和a在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e与b是不共线单位向量，则存在实数λ，y使a＝λb＋ye，若y>0，则取μ＝y，c＝e，若y<0，则取μ＝－y，c＝－e，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b和c就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b与c垂直，此时必须a的模为才成立．
二、填空题
15．给出下列四个命题：
①若a>b>0，则>；
②若a>b>0，则a－>b－；
③若a>b>0，则>；
④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为9.
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
[答案] ②④
[解析] ①在a>b>0两端同乘以可得>，故①错；
②由于－＝(a－b)>0，
故②正确；
③由于－＝<0，即<，
故③错；
④由＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时取得等号，故④正确．
16．已知命题“若x1
”是假命题，则a满足的条件是________．
[答案] a≤0
[解析] 由x1是假命题，则a≤0.
三、解答题
17．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)ac>bc?a>b；
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)方程x2－2x－3＝0的解为x＝3或x＝－1.
[解析] (1)若ac>bc，则a>b.
(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.
18．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0[解析] 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0.
解得x≤－1或x≥3.
故命题p：x≤－1或x≥3.
又命题q：0则，
所以x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
能力拓展提升
一、选择题
11．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
[答案] A
[解析] 否命题对命题的条件和结论都否定．
12．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 由于“M?P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误，选B.
13．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
[答案] C
[解析] 特例：
p：若∠A＝∠B，则a＝b，
r：若∠A≠∠B，则a≠b，
s：若a≠b，则∠A≠∠B，
t：若a＝b，则∠A＝∠B.故s是t的否命题．
14．已知命题p：“若a>b>0，则logaA．0 B．1
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 对于命题p，当a>b>0时，有loga>0，此时不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C.
二、填空题
15．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线，其逆命题为________(真、假)．
[答案] 假
[解析] 逆命题为：在空间中，若四个点中任何三点不共线，则这四点不共面，假命题．如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．
16．“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题为____________，否命题为________________．
[答案] 对角线互相平分的四边形为平行四边形 不是平行四边形的四边形对角线不互相平分
[解析] 原命题为：若一个四边形为平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分，故逆命题为：若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形为平行四边形，否命题为：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的对角线不能互相平分．
三、解答题
17．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；
(2)平面内，两条平行直线不相交．
[解析] (1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；
否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；
逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．
(2)原命题：在同一平面内，若两条直线是平行直线，则它们不相交；
逆命题：在同一平面内，若两条直线不相交，则它们平行；
否命题：在同一平面内，若两条直线不是平行直线，则它们相交；
逆否命题：在同一平面内，若两条直线相交，则它们不平行．
18．已知a，b∈R，且a2－4b>0.写出命题“若a＋b＋1<0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1[解析] 逆命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x1<1否命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1逆否命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1下面对真假进行判断：
(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.
∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，∴x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1故原命题为真命题．
(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的两实根满足x1<1∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，
∴a＋b＋1<0，故逆命题为真命题．
由四种命题的关系可知，否命题和逆命题都是真命题．
能力拓展提升
一、选择题
11．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
[答案] A
[解析] ∵x>2?x>1，
但x>1 x>2，∴选A.
12．“b2＝ac”是“＝成立”的( )
A．充分而不必要条件
B．充要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] b2＝ac ＝，如b＝0，c＝0时，b2＝ac，而，无意义．但＝?b2＝ac，
∴“b2＝ac”是“＝”的必要不充分条件．
13．设0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ∵0∴0则xsinx<1?xsin2x<1成立，而xsin2x<1 xsinx<1，故选B.
14．已知a、b、c为同一平面内的非零向量，甲：a·b＝a·c，乙：b＝c，则( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] a·b＝a·c?a·(b－c)＝0 b＝c，而b＝c?a·(b－c)＝0，故甲是乙的必要不充分条件，∴选B.
二、填空题
15．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________．
[答案] m＝－4或0
[解析] 直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切?圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于
?＝?|m＋2|＝2?m＝－4或0.
16．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，
但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.
三、解答题
17．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
[分析] 可将r，p，q，s的关系用图表示，然后利用递推法结合图示作答．
[解析] 由图示可知，
(1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件．
(3)因为q?s?r?p，p q，所以p是q的必要不充分条件．
能力拓展提升
一、选择题
11．设命题甲为：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 解不等式|x－2|<3得－1∵0∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.
12．(2013·安徽理)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增，若“a<0”，则f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f(x)＝|(ax－1)x|
在(0，＋∞)内递增，从图中可知a≤0，故选C.
13．下列命题中的真命题有( )
①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；
②△ABC中，·<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；
④△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的充要条件．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．
由·<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，·的符号也不能确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．
由tanAtanB>1，知A、B为锐角，∴sinAsinB>cosAcosB，
∴cos(A＋B)<0，即cosC>0.∴角C为锐角，
∴△ABC为锐角三角形．
反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，
∴cos(A＋B)<0，∴cosAcosB∵cosA>0，cosB>0，∴tanAtanB>1，故④真．
14．设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a?α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β
[答案] C
[解析] 对选项A如图①所示，由图可知a∥b，故排除A；
对选项B如图②所示，由图可知a∥b，故排除B；
对选项D如图③所示，其中a∥l，b∥l，由图可知a∥b，故排除D.
二、填空题
15．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 只有当(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M，(2)存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立时，M才是f(x)的最大值，故pq，q?p，
∴p是q的必要不充分条件．
16．f(x)＝|x|·(x－b)在[0,2]上是减函数的充要条件是____________．
[答案] b≥4
[解析] f(x)＝
若b≤0，则f(x)在[0,2]上为增函数，∴b>0，
∵f(x)在[0,2]上为减函数，∴≥2，∴b≥4.
三、解答题
17．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
[解析] ①a＝0时适合．
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负的实根，
则必须满足，解得0综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
[点评] ①a＝0的情况不要忽视；②若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．
18．已知p：≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m<0)，且p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
[解析] 由≥0，解得－2≤x<10，令A＝{x|－2≤x<10}．由x2－2x＋1－m2≤0可得[x－(1－m)]．[x－(1＋m)]≤0，而m<0，∴1＋m≤x≤1－m，令B＝{x|1＋m≤x≤1－m}．∵p是q的必要条件，∴q?p成立，即B?A.
则，解得－3≤m<0.
能力拓展提升
一、选择题
11．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①②都是“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为真命题，故选A.
12．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )
A．命题p、q都是真命题
B．命题p、q都是假命题
C．命题p、q只有一个是真命题
D．命题p、q至少有一个是真命题
[答案] C
[解析] “p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q中只有一个为真命题，故选C.
13．下列命题：
①方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；
②周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；
③集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①中，判别式Δ＝9＋16＝25>0，故①中命题为真命题；②中，周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，故②中命题为假命题；③中，A∩B?A，A∩B?A∪B，故③中命题为真命题．故选C.
14．在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，则||＝||·cos∠CAB，||＝||·cos∠CBA，
·＝·?||·||·cos∠CAB＝||·||·cos∠CBA?||·cos∠CAB＝||·cos∠CBA?||＝||?||＝||，故选C.
二、填空题
15．已知命题p：???，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”、“p且q”形式的命题中真命题有________个．
[答案] 1
[解析] 命题p为真，命题q为假，故“p或q”为真，“p且q”为假．
16．分别用“p∧q”、“p∨q”填空．
(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式．
(2)命题“5小于或等于7”是________形式．
(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．
[答案] (1)p∧q (2)p∨q (3)p∨q
三、解答题
17．已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题，并指出其真假．
[解析] “p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
∵Δ＝24－24＝0，
∴方程有两个相等的实根，故p真，q假．
∴p或q真，p且q假．
18．已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] 设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0.
所以－2又f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则有5－2a>1，即a<2.所以命题q：a<2.
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p和q一真一假．
(1)若p为真命题，q为假命题，则，此不等式组无解．
(2)若p为假命题，q为真命题，则，解得a≤－2.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．
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一、选择题
10．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或?q是真命题；
②p且?q是真命题；
③?p且?q是假命题；
④?p或q是假命题．
其中真命题是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
[答案] C
[解析] 若p且q为真命题，则p真，q真，?p假，?q假，
所以p或?q真，?p且?q假，故选C.
11．命题“若x≠3且x≠2，则x2－5x＋6≠0”的否命题是( )
A．若x＝3且x＝2，则x2－5x＋6＝0
B．若x≠3且x≠2，则x2－5x＋6＝0
C．若x＝3或x＝2，则x2－5x＋6＝0
D．若x＝3或x＝2，则x2－5x＋6≠0
[答案] C
[解析] 否命题既否定条件，又否定结论，“x≠3且x≠2”的否定为“x＝3或x＝2”．
12．(2012·合肥质检)“m＝2”是“f(x)＝xm为(－∞，＋∞)上的偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，但f(x)＝xm为偶函数时，m＝2不一定成立，如m＝4.
13．(2012·山东文，5)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
[答案] C
[解析] 本题考查命题真假的判断．p为假命题，q为假命题．所以p∧q为假命题．
对“p∧q”真假判定：全真为真，一假则假．
14．p：函数f(x)＝lgx＋1有零点；q：存在α、β，使sin(α－β)＝sinα－sinβ，在p∨q，p∧q，綈p，綈q中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] ∵f＝0，∴p真；∵α＝β时，sin(α－β)＝0＝sinα－sinβ，∴q真，故p∨q为真，p∧q为真，綈p为假，綈q为假．
二、填空题
15．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1[答案] p∨q，?p
[解析] ∴?x∈R，x2＋x＋1>0，∴命题p为假，?p为真；
∵≤0??1∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假，?q为假．
16．已知命题p：函数f(x)＝|lgx|为偶函数，q：函数g(x)＝lg|x|为奇函数，由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“綈p”形式的新命题中，真命题是________．
[答案] 綈p
[解析] 函数f(x)＝|lgx|为非奇非偶函数，g(x)＝lg|x|为偶函数，故命题p和q均为假命题，从而只有“綈p”为真命题．
三、解答题
17．已知p：|x＋1|>1，q：<0.判断綈p是綈q的什么条件．
[解析] p：x＋1>1或x＋1<－1，
∴x>0或x<－2，
∴綈p：－2≤x≤0，
q：<0，∴x<－2或0∴綈q：－2≤x≤0或x≥2，
∴綈p?綈q，且綈q綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
18．已知p：2≤4，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p?綈q为假命题，綈q?綈p为真命题，求m的取值范围．
[解析] 设p，q分别对应集合P，Q，则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由綈q?綈p为真，綈p?綈q为假，得P?Q，
∴或
解得m≥9.
能力拓展提升
一、选择题
10．命题p：?x>1，log2x>0，则綈p是( )
A．?x>1，log2x≤0
B．?x≤1，log2x>0
C．?x>1，log2x≤0
D．?x≤1，log2x>0
[答案] C
[解析] 全称命题的否定是特称命题．故选C.
11．给出下列四个命题，其中为真命题的是( )
A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1
C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3
[答案] C
[解析] 由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，
所以命题“任意x∈R，x2＋3<0”为假命题；
由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，
所以命题“任意x∈N，x2≥1”是假命题；
由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，
所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；
由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，
因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x∈Q，x2＝3”是假命题．故选C.
12．下列命题中的假命题是( )
A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
[答案] B
[解析] cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然C、D为真；sinα·sinβ＝0时，A为真；B为假．故选B.
13．(2013·银川一中模拟)有下列命题：
①设集合M＝{x|0②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
③命题P：“?x0∈R，x－x0－1>0”的否定綈P：“?x∈R，x2－x－1≤0”．
则上述命题中为真命题的是( )
A．①② B．①③
C．③ D．②③
[答案] C
[解析] ①错误，“x∈M”是“x∈N”的必要而不充分条件；因为“且”命题满足一假即假，故p和q至少有一个为假命题，故②错误；由命题的否定的定义可判断③正确，综上可知只有③为真命题，故选择C.
14．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中假命题是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)
[答案] C
[解析] 由x0＝－(a>0)及抛物线的相关性质，可得C选项是错误的．
[点评] 也可以用导数判断单调性后得出结论．
二、填空题
15．给出下列三个命题：
①5≥5；②存在x∈R，使得2x＋1＝3；③对任意的x∈R，有x2＋1＜0，其中为真命题的是____________．
[答案] ①②
[解析] 对于①，由5≥5成立，故①为真；对于②来说，因为2x＋1＝3，所以x＝1.所以存在x∈R，使2x＋1＝3，故②为真命题；对于③，因为x2＋1＞0恒成立，则不存在x∈R，使得x2＋1＜0，故③为假命题，所以①②为真命题．
16．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．其中是全称命题且为真命题的序号是________．
[答案] ④
[解析] ①是全称命题，但为假命题，②不是命题，③是特称命题．
三、解答题
17．判断下列命题的真假：
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；
(3)?x0∈R，x＋1<0.
[解析] 命题(1)为全称命题，根据指数函数的性质可知，该命题为真命题．
命题(2)是特称命题，存在T0＝π，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|，故该命题为真命题．
命题(3)是特称命题，因为对任意的x∈R，都有x2＋1>0，故该命题为假命题．
18．若x∈[－2,2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
[解析] 设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f(x)]min≥0即可．
①当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，又a>4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
f(x)min＝f(－)＝≥0，解得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，
又a<－4，所以－7≤a<4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
