能力拓展提升
一、选择题
10．曲线y＝x2与x2＋y2＝5的交点坐标是( )
A．(2,1)
B．(±2,1)
C．(2,1)或(2，5)
D．(±2,1)或(±2，5)
[答案] B
[解析] 易知x2＝4y代入x2＋y2＝5得，y2＋4y－5＝0，∴(y＋5)(y－1)＝0，
解得y＝－5，y＝1.y＝－5不合题意舍去，
∴y＝1，∴x＝±2.
11．方程x2＋xy＝x所表示的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
[答案] C
[解析] 原方程等价于x(x＋y－1)＝0?x＝0或x＋y－1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线．
12．如图，曲线的方程与图中曲线对应正确的是( )
[答案] D
[解析] A中方程x2＋y2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A错；B中方程x2－y2＝0可化为(x－y)(x＋y)＝0，表示两条直线x－y＝0，x＋y＝0，故B错；C中方程lgx＋lgy＝1可化得y＝(x>0)，此方程只表示第一象限的部分，故C错．
13．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么( )
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，也在直线l上
D．点P既不在圆M上，也不在直线l上
[答案] C
[解析] 将P(2,1)代入圆M和直线l的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，
∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.
14．若曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个交点，则( )
A．m∈R B．m∈(－∞，1)
C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 两方程联立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.
二、填空题
15．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为______．
[答案] 2
[解析] 当x≥0，y≥0时，有x＋y＝1；x≥0，y≤0时，x－y＝1；x≤0，y≥0时，有－x＋y＝1；x≤0，y≤0时，－x－y＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为，面积为2.
16．若曲线y2＝xy＋2＋k通过点(－a，a)(a∈R)，则k的取值范围是________．
[答案] [－2，＋∞)
[解析] 把点(－a，a)代入曲线方程，得a2＝－a2＋2＋k，所以k＝2a2－2≥－2(a∈R)．
三、解答题
17．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，求b的取值范围．
[解析] 解法一：由方程组
得
消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．
l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，
可得
解得1≤b<.
解法二：在同一直线坐标系内作出y＝x＋b与y＝的图形，如图所示，易得b的范围为1≤b<.
能力拓展提升
一、选择题
11．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得＝2，则M的轨迹方程是( )
A．y＝6x2－ B．y＝3x2＋
C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－
[答案] A
[解析] 设M为(x，y)，
∵＝2，A(0，－1)，
∴P(3x,3y＋2)．
∵P为y＝2x2＋1上一点，
∴3y＋2＝2×9x2＋1，
∴y＝6x2－.故选A.
12．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
[答案] B
[解析] 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，∴(x－2)2＋y2＝4，可知圆面积为4π.
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是
( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
[答案] A
[解析] 由AC⊥BD，AC⊥DD1知AC⊥平面BDD1，
∴AC⊥BD1.
由AB1⊥A1B，AB1⊥A1D1知，AB1⊥平面A1BD1，
∴AB1⊥BD1.
又AP⊥BD1，∴BD1⊥平面APC，BD1⊥平面APB1，
∴平面APC与平面APB1重合，
∴P点在线段B1C上，
故P点的轨迹为线段B1C.
14．一条线段长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上，且＝4，则M的轨迹方程是( )
A．x2＋16y2＝64 B．16x2＋y2＝64
C．x2＋16y2＝8 D．16x2＋y2＝8
[答案] B
[解析] 设M(x，y)，因为＝4，且A、B分别在x轴和y轴上，则A(5x,0)，B(0，y)，又|AB|＝10所以(5x)2＋(y)2＝100，即16x2＋y2＝64，故选B.
二、填空题
15．直线x－3y＝0和直线3x－y＝0的夹角的角平分线所在直线方程为________．
[答案] x＋y＝0或x－y＝0
[解析] 设P(x，y)为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P到直线x－3y＝0和3x－y＝0的距离相等，∴＝，
∴|x－3y|＝|3x－y|，∴x－3y＝±(3x－y)，
∴x－3y＝3x－y或x－3y＝－(3x－y)，
∴x＋y＝0或x－y＝0.
∴所求角平分线方程为x＋y＝0或x－y＝0.
16．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．
[答案] y2＝－8x
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．∴||＝4，||＝，·＝4(x－2)．
由已知条件得4＝4(2－x)，
整理得y2＝－8x.
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
三、解答题
17．设△ABC的两顶点分别是B(1,1)、C(3,6)，求第三个顶点A的轨迹方程，使|AB|＝|BC|.
[解析] 设A(x，y)为轨迹上任一点，那么
＝，
整理，得(x－1)2＋(y－1)2＝29.
因为A点不在直线BC上，虽然点C(3,6)及点C关于点B的对称点C′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)两个点)．
18．已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使·，·，·成公差小于0的等差数列，则点P的轨迹是什么曲线？
[解析] 设P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)得
＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2,0)，
∴·＝2(1＋x)，·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x)．
于是·，·，·是公差小于零的等差数列等价于
，
即，
∴点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点)．
能力拓展提升
一、选择题
11．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A．m<2 B．1
C．m<－1或1[答案] D
[解析] 由题意得
即
∴112．若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
[答案] D
[解析] |AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.
13．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点P的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
[答案] C
[解析] 设F1(－3,0)，∵PF1的中点M在y轴上，且MO⊥x轴，∴P点横坐标为3，代入＋＝1中得，
y2＝，∴y＝±.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(0，－2)和C(0,2)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值是( )
A. B．2
C．2 D．4
[答案] A
[解析] 由椭圆定义得|BA|＋|BC|＝4，
又∵＝＝＝，故选A.
二、填空题
15．已知椭圆的焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析] 由题意得2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴4c＝2a，∵c＝1，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝3，
故椭圆方程为＋＝1.
16．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
[答案] 35
[解析] 设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，
|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，
∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.
三、解答题
17．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根据椭圆定义有m＋n＝20，
又c＝＝6，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
＝××＝.
18．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
[解析] (1)由题意得椭圆焦点在y轴上，且c＝1.
又∵3a2＝4b2，∴a2－b2＝a2＝c2＝1，
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆标准方程为＋＝1.
(2)如图所示，|PF1|－|PF2|＝1.
又由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2，
cos∠F1PF2＝＝＝.
能力拓展提升
一、选择题
11．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A．8,6 B．4,3 C．2， D．4,2
[答案] B
[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是.
∴最长的弦为2a＝4，最短的弦为＝＝3，
故选B.
12．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 由题意知b＝c，∴a＝c，∴e＝＝.
13．(2013·新课标Ⅱ文，5)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析]
如图，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan30°＝＝＝，得x＝c，而由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，∴a＝x＝c.
∴e＝＝＝，故选D.
二、填空题
14．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 设椭圆G的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，半焦距为c，则
，∴，
∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
15．(2012·四川理，15)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
[答案] 3
[解析] 如图，当直线x＝m，过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，
由，∴y＝±，∴|AB|＝3.
∴S＝×3×2＝3.
三、解答题
16．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
[解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的对称性知，|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形，于是|OB2|＝|OF|，即b＝c.
又|FA|＝－即a－c＝－，且a2＋b2＝c2.
将以上三式联立，得方程组，
，解得.
所求椭圆方程是＋＝1.
17．已知点P(x0，y0)是椭圆＋＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程．
[解析] 设M(x，y)，则∴
∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
把代入＋＝1，得＋＝1，
即＋y2＝1为所求．
能力拓展提升
一、选择题
10．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，
∴|PF1|＝，∴|PF2|＝，
故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2.
又∵a2＝b2＋c2，
∴3(a2－c2)＝2a2，
∴()2＝，即e＝.
11．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，]
C．(0，) D．[，1)
[答案] C
[解析] 依题意得，c∴c2又012．(2013·天津耀华中学模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
[答案] C
[解析] 由题意可知O(0,0)，F(－1,0)，设点P为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3－x2
＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵x∈[－2,2]，∴当x＝2时，·取最大值．
(·)max＝(2＋2)2＋2＝6，故选C.
13．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝2上
B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝2内
D．以上三种情形都有可能
[答案] C
[解析] e＝?＝?c＝，
＝?＝
?＝?b＝a.
∴ax2＋bx－c＝0?ax2＋ax－＝0
?x2＋x－＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝<2.
∴在圆x2＋y2＝2内，故选C.
二、填空题
14．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________．
[答案] ＋＝1 (±1,0)
[解析] 由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2.
∴原方程化为：＋＝1，
将A(1，)代入方程得b2＝3.
∴椭圆方程为：＋＝1，焦点坐标为(±1,0)．
15．如图，在椭圆中，若AB⊥BF，其中F为焦点，A、B分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e＝________.
[答案]
[解析] 设椭圆方程为＋＝1，则有A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，由AB⊥BF，得kAB·kBF＝－1，而kAB＝，kBF＝－代入上式得＝－1，利用b2＝a2－c2消去b2，得－＝1，即－e＝1，解得e＝，
∵e>0，∴e＝.
三、解答题
16．中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x＋y＝1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．
[分析] 由于不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可设方程为ax2＋by2＝1(a>0，b>0，a≠b)欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为，OA⊥OB易得a、b的两个方程．
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2), M(，)．椭圆方程为ax2＋by2＝1(a>0、b>0，a≠b)
由消去y得，
∴(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
∴＝，＝1－＝.
∴M(，)，∵kOM＝，∴b＝a.①
∵OA⊥OB，∴·＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵x1x2＝，
y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2
＝1－＋＝.
∴＋＝0，∴a＋b＝2.②
由①②得a＝2(－1)，b＝2(2－)．
∴所求方程为2(－1)x2＋2(2－)y2＝1.
[点评] 直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题. 由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0是解决本题的关键．
17．设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析] 显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l?y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y整理得，
(k2＋)x2＋4kx＋3＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
由Δ＝(4k)2－4(k2＋)×3＝4k2－3>0，
得k>或k<－.①
又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0.
∴·＝x1x2＋y1y2>0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)
＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝＋＋4＝，
∴＋>0，
即k2<4，
∴－2故由①②得－2能力拓展提升
一、选择题
11．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1(y>0)
C.－＝1或－＝1
D.－＝1(x>0)
[答案] D
[解析] 由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)．
12．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于( )
A. B．1
C．2 D．4
[答案] D
[解析] NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.
13．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由条件知c＝，∴|F1F2|＝2，
∵·＝0，∴|MO|＝|F1F2|＝，
设M(x0，y0)，则
∴y＝，∴y0＝±，故选C.
14．设F为双曲线－＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，
|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，
所以|FN|－|FM|＝8，＝＝，选D.
二、填空题
15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.
[答案]
[分析] 由正弦定理可将转化为边的比，而△ABC的顶点A、C已知，故边AC长可求，B在双曲线上，由定义可求|BC|－|BA|.
[解析] 由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又在△ABC中，有＝＝＝2R，从而＝＝.
[点评] 圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决．
16．已知圆(x＋4)2＋y2＝25的圆心为M1，圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为M2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．
[答案] －＝1(x≥2)
[解析] 设动圆圆心为M，动圆半径为r，根据题意得，|MM1|＝5＋r，|MM2|＝1＋r，两式相减得|MM1|－|MM2|＝4<8＝|M1M2|，故M点在以M1(－4,0)，M2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
三、解答题
17．当0°≤α≤180°时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线怎样变化？
[解析] (1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝1和x＝－1.
(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．
②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.
③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝1和y＝－1.
(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．
18．在△ABC中，A、B、C所对三边分别为a、b、c，B(－1,0)、C(1,0)，求满足sinC－sinB＝sinA时，顶点A的轨迹，并画出图形．
[解析] ∵sinC－sinB＝sinA，∴c－b＝a＝×2＝1，
即|AB|－|AC|＝1<|BC|＝2.
∴动点A(x，y)的轨迹是以B、C为焦点的双曲线
∴∴
∴A点轨迹方程为－＝1.
由于c>b就是|AB|>|AC|，可知A点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(，0)如图所示．
能力拓展提升
一、选择题
11．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] D
[解析] ∵＝，∴＝＝，∴＝，
∴＝，∴＝.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
12．(2013·新课标Ⅰ理，4)已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] C
[解析] e＝＝，∴＝，
∴b2＝a2－a2＝，
∴＝，即渐近线方程为y＝±x.
13．已知双曲线－＝1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4
[答案] C
[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．
由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C.
14．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵△MF1F2为等腰三角形，∠F1MF2＝120°，
∴∠MF1F2＝30°，∴tan30°＝＝，＝，
＝1－()2＝，()2＝，∴e＝.
二、填空题
15．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为________．
[答案] 或
[解析] 若双曲线焦点在x轴上，依题意得，＝4，
∴＝16，即＝16，∴e2＝17，e＝.
若双曲线焦点在y轴上，依题意得，＝4.
∴＝，＝，即＝.
∴e2＝，故e＝，
即双曲线的离心率是或.
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为________．
[答案] －＝1
[解析] 椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
又曲线的离心率e＝＝，所以＝，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1.
三、解答题
17．若F1，F2是双曲线－＝1的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
[分析] 条件给出了|PF1|·|PF2|＝32，自然联想到定义式||PF1|－|PF2||＝2a＝6，欲求∠F1PF2可考虑应用余弦定理．
[解析] 由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5.
由双曲线的定义得，
||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
上式两边平方得，
|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100，
由余弦定理得，
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°.
[点评] 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．
18．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)，
则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝，
∴所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)
∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)
令x＝0得M(0,2k)
∵||＝2||且M、Q、F共线于l
∴＝2或＝－2
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，∴Q，
∵Q在双曲线x2－＝1上，
∴－＝1，∴k＝±，
当＝－2时，
同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，
16－＝1，∴k＝±，
则所求的直线l的方程为：
y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．
能力拓展提升
一、选择题
10．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( )
A.＋＝4 B．e＋e＝4
C.＋＝2 D．e＋e＝2
[答案] C
[解析] 设椭圆长半轴长为a，双曲线实半轴长为m，则
①2＋②2得：2(|PF1|2＋|PF2|2)＝4a2＋4m2，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2代入上式得4c2＝2a2＋2m2，
两边同除以2c2得2＝＋，故选C.
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
[答案] C
[解析] 由题意，得≥，∴≥3，∴c2－a2≥3a2，
∴c2≥4a2，∴e2＝≥4，∴e≥2.
12．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
[答案] A
[解析] 设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，
由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，
由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．
13．(2013·温州八校联考)若P(a，b)是双曲线x2－4y2＝m(m≠0)上一点，且满足a－2b>0，a＋2b>0，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.或 D.
[答案] B
[解析] 由题意知，m＝a2－4b2＝(a－2b)(a＋2b)>0，e2＝＝，故双曲线的离心率为，选B.
二、填空题
14．(2013·湖南理，14)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
[答案]
[解析] 由余弦定理＝cos30°，
∴2ac＝3a2＋c2，等式两边同除以a2得e2－2e＋3＝0，
∴e＝.
15．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于____________．
[答案] 2
[解析] 由题意得，a＋c＝，
即a2＋ac＝b2，a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0.
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
三、解答题
16．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．
(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；
(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y＝x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由消去y得，
(3－a2)x2－2ax－2＝0.①
依题意
即－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0，但y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，
由③④知，
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0.
解得a＝±1且满足②.
(2)假设存在实数a，使A、B关于y＝x对称，则直线y＝ax＋1与y＝x垂直，∴a＝－2.
直线l的方程为y＝－2x＋1.
将a＝－2代入③得x1＋x2＝4.
∴AB中点横坐标为2，
纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3.
但AB中点(2，－3)不在直线y＝x上．
即不存在实数a，使A、B关于直线y＝x对称．
17．过双曲线－＝1的右焦点作倾斜角为45°的弦AB.求：
(1)弦AB的中点C到右焦点F2的距离；
(2)弦AB的长．
[解析] (1)因为双曲线的右焦点为F2(5,0)，直线AB的方程为y＝x－5.
由
消去y，并整理得7x2＋90x－369＝0.
如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
设AB的中点C的坐标为(x，y)，
则x＝＝－，
∴y＝－.
∴|CF2|＝＝.
(2)|AB|＝·|x1－x2|＝
＝＝.
能力拓展提升
一、选择题
11．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
[答案] D
[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，
∴其方程为y2＝16x，故答案是D.
12．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是( )
A．y2＝x
B．x2＝y
C．y2＝－x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝y
[答案] D
[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，
又点(－2,3)在抛物线上，
∴p＝，p′＝，
∴抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 抛物线的准线为x＝－，
将圆方程化简得到(x－3)2＋y2＝16，准线与圆相切，则－＝－1，∴p＝2，故选C.
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|P1F|＋|P2F|＝|FP3|
B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2
C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|
D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|
[答案] C
[解析] ∵点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，
得2(x2＋)＝x1＋＋x3＋，
即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|，故选C.
二、填空题
15．以双曲线－＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．
[答案] y2＝－20x
[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
又p＝10，∴y2＝－20x.
16．(2013·江西理，14)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
[答案] 6
[解析] 如图不妨设B(x0，－)．
F(0，)，FD＝p，可解得B(，－)．
在Rt△DFB中，tan30°＝，∴＝.
∴p2＝36，p＝6.
三、解答题
17．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6；
(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2)到焦点的距离是6.
[解析] (1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理
|BF|＝|m|.又|AB|＝6，则2|m|＝6.
∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x.
(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为F(－1，0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x.
18．一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．
[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为(，－)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则
()2＝m·(－)，
∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，
即y＝－.
欲使卡车通过隧道，应有y－(－)>3，即－>3，
由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13.
能力拓展提升
一、选择题
10．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
[答案] B
[解析] 本题考查抛物线的定义．
由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
11．已知A、B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是( )
A．x－p＝0 B．4x－3p＝0
C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0
[答案] C
[解析] 如图所示：
∵F为垂心，F为焦点，OA＝OB，∴OF垂直平分AB.
∴AB为垂直于x轴的直线
设A为(2pt2,2pt)(t>0)，B为(2pt2，－2pt)，
∵F为垂心，∴OB⊥AF，∴kOB·kAF＝－1，
即＝－1，解得t2＝
∴AB为x＝2pt2＝p，∴选C.
二、填空题
12．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为______．
[答案] (－9，－6)或(－9,6)
[解析] 由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
13．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
[答案] 8
[解析]
如图，kAF＝－，
∴∠AFO＝60°，
∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，
即P点的纵坐标为4，
∴(4)2＝8x，∴x＝6，
∴|PA|＝8＝|PF|.
三、解答题
14．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切．
[解析] 如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，M为AB的中心，作MM′⊥l于M′，
则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
在直角梯形BB′A′A中，|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，
即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径．
故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切．
15．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？
[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，
设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，
∴抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，y＝－，
∵6.5－>6，∴能通过．
16．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[分析] (1)由倾斜角可知斜率，从而得到l的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB|的值；(2)由|AB|＝9求得弦AB中点的横坐标即可求得M到准线的距离．
[解析]
(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝.又F(，0)，所以直线l的方程为y＝(x－)．
联立消去y得
x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
能力拓展提升
一、选择题
11．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－1)
C．(，－) D．(，－)
[答案] A
[解析] y＝x2?x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．
12．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||为( )
A. B.
C.p D.p
[答案] B
[解析] 依题意可设AF所在直线方程为
y－0＝(x－)tan60°，∴y＝(x－)．
联立，解得x＝与.
∵与x轴正向夹角为60°，∴x＝，y＝p.
∴||＝＝.
13．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由消去y得，k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝4.
由抛物线定义得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，
又∵|AF|＝2|BF|，∴x1＋2＝2x2＋4，
∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x＋x2－2＝0，
∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4，
∴＝5，∴k2＝，
∵k>0，∴k＝.
14．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B．2 C. D.
[答案] C
[解析] 双曲线的渐近线方程为y＝±x.
∵渐近线与y＝x2＋1相切，
∴x2＋x＋1＝0有两相等根，
∴Δ＝－4＝0，∴b2＝4a2，
∴e＝＝＝＝.
二、填空题
15．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是____________．
[答案] 4
[解析] 过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．
16．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________．
[答案] k>或k<－
[解析] 设M(x1，x)，N(x2，x)关于直线y＝kx＋对称，
∴＝－，即x1＋x2＝－.设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝－，y0＝k×(－)＋＝4.
因中点在y＝x2内，有4>(－)2?k2>，
∴k>或k<－.
三、解答题
17．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥ OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．
[解析] 由A、B两点在抛物线y2＝6x上，可设A(，y1)，B(，y2)．
因为OA⊥OB，所以·＝0.
由＝(，y1)，＝(，y2)，得＋y1y2＝0.
∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36，①
∵点A、B与点P(4,2)在一条直线上，
∴＝，
化简得＝，
即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.
将①式代入，得y1＋y2＝－6.②
由①和②，得y1＝－3－3，y2＝－3＋3，从而点A的坐标为(9＋3，－3－3)，点B的坐标为(9－3，－3＋3)，
所以|AB|＝
＝6.
18．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
∴p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t
由消去x得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，
解得t≥－.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝，
可得＝，解得t＝±1.
综上知：t＝1.
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
