能力拓展提升
一、选择题
11．已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0 B．3
C．2＋ D．2
[答案] D
[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2||＝2.
12．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] D
[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
③真命题．向量的相等满足递推规律；
④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
13．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝0
D.－＋＋＝0
[答案] B
[解析] ＋＝＋＝，
＋＝，
易证四边形EFGH为平行四边形，
故＋＝0，
故选B.
14．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则＝( )
A．－a－b B．a＋b
C.a－b D．2(a－b)
[答案] A
[解析] ＝＋＝－＝－b－a，故选A.
二、填空题
15．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则用、、表示的结果为______________________．
[答案] (－)
[解析] ＝＝(－)
16．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：
①－＝；
②＝＋＋；
③＝；
④＋＋＋＝.
正确的是________．
[答案] ①②③
[解析] －＝＋＝，①正确；＋＋＝＋＋＝，②正确；③显然正确．
三、解答题
17．如图，在空间四边形ABCD中，AB的中点为E，DC的中点为F，证明＝(＋)．
[证明] 证法1：设AC的中点为G，连接EG，FG.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴＝，＝.
故＝＋＝(＋)．
证法2：∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴＋＝0，＋＝0，
∵＝＋＋，＝＋＋，
∴2＝＋，∴＝(＋)．
证法3：∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴＝(＋)，＝(＋)，
∴＝－＝(＋－－)
＝[(－)＋(－)]＝(＋)．
18.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC的三等分点(靠近A点)，N是A1D的三等分点(靠近D点)．设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
[分析] 要用已知向量a，b，c表示未知向量，只
需结合图形，充分运用空间向量的加法、减法以及数乘向量的运算法则，逐步将化为、、的线性表示即可．
[解析] ＝＋＋
＝－＋＋
＝－(＋)＋＋(－)
＝－(a＋b)＋c＋(b－c)
＝－a＋b＋c.
能力拓展提升
一、选择题
11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于( )
A.＋＋
B.＋＋
C.＋＋
D.＋＋
[答案] D
[解析] 由条件AF＝EF知，EF＝2AF，
∴AE＝AF＋EF＝3AF，
∴＝＝(＋)＝(＋)
＝AA′＋(＋)＝＋＋.
12．以下命题：
①若a，b共线，则a与b所在直线平行；
②若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面；
③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；
④若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线确定的平面与由b，c所在直线确定的平面一定平行或重合．
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[答案] A
[解析] a，b共线是指a，b的方向相同或相反，因此a，b所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；首先a、b所在直线不一定能确定平面，其次在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，，，三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB1A1相交，故④错，故选A.
13．在三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，则有( )
A.＝(＋＋)
B.＝(＋＋)
C.＝(＋＋)
D.＝＋＋
[答案] B
[解析] ＝＋＝＋(＋)＝＋
(－)＋(－)＝(＋＋)．
14．对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵＝x＋y＋z＝x＋y＋(1－x－y)，
∴－＝x(－)＋y(－)，
∴＝x＋y，即，，共面，又有公共点C，
∴P，A，B，C共面，反之也成立．
二、填空题
15．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM:MC＝2:1，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.
[答案] － －
[解析] 在PD上取一点F，使PF:FD＝2:1，连接MF，则＝＋，
∵＝－＝－
＝＝(－)，
＝＝＝－，
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
16．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z＝________.
[答案]
[解析] 如图所示，有＝＋＋＝＋＋(－1)·.
又∵＝x·＋2y·＋3z·，
∴解得
∴x＋y＋z＝1＋－＝.
三、解答题
17．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q，r是否共面？
[解析] 假设存在实数λ，μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，
∵a，b，c不共面，
∴∴
即存在实数λ＝，μ＝，
使p＝λq＋μr，故p、q、r共面．
18．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
[解析] 设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝，
∴＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c
＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.所以E，F，B三点共线．
能力拓展提升
一、选择题
11．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] a·b＝|a||b|?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.
12．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6 C．12 D．144
[答案] C
[解析] ∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.
∴||＝12.
13．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
[答案] D
[解析] ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝1－1··cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝.
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
14．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
[答案] B
[解析] ＝－，＝－，
·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2
＝||2>0，
∴cos∠CBD＝cos〈，〉
＝>0，
∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，
∴△BCD为锐角三角形．
二、填空题
15．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
[答案]
[解析] cos〈a，b〉＝＝－，
∴〈a，b〉＝.
16．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则
(1)·＝________；cos〈，〉＝________；
(2)·＝________.
[答案] (1)1 (2)1
[解析] (1)·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)
＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴||＝，
||2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
(2)·＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1.
三、解答题
17.
如图所示，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
[分析] 把求线段PC的长转化为求||，再用已知向量、、表示即可．
[解析] ∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°
＝61－12＝49.
∴||＝7，即PC＝7.
18．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求与所成角的余弦值．
[分析] 在正方体AC1中，要求与所成角的余弦值，可以考虑利用公式cos〈，〉＝进行求解．
[解析] 设正方体的棱长为1，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0.
∵＝＝＋＝a＋b，＝＋＝＋＝c＋a，
∴·＝(a＋b)·(c＋a)＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2＝.
又∵||＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴与所成角的余弦值为.
能力拓展提升
一、选择题
10．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
[答案] A
[解析] 依题意知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．
11．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 连AG1交BC于E，则E为BC中点，
＝(＋)＝(－2＋)，
＝＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，∴OG＝OG1，
∴＝＝(＋)
＝(＋－＋)
＝＋＋，故选A.
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是( )
A．重合 B．垂直
C．平行 D．无法确定
[答案] B
[解析] ＝＋＋，＝＋＝－(＋)．设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·(－－)＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直．
13．对于空间的四个向量a，b，c，d最多能构成的基底个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 最多的情况是a，b，c，d中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个．
二、填空题
14．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
[答案] (，0，－)
[解析] ＝－＝(＋)－(＋)＝－，即＝.
15．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为________．
[答案] (－，，)
[解析] ∵OM＝2MA，点M在OA上，∴OM＝OA，
∴＝＋＝－＋(＋)
＝－a＋b＋c＝(－，，)．
三、解答题
16.
如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量，；
(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a、b、c表示.
[解析] (1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋
＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)
＝(c－b)．
17．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
[解析] (1)证明：因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A、E、C1、F四点共面．
(2)解：因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝.
能力拓展提升
一、选择题
11．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] B
[解析] 设BC边上的中点为D，则＝(＋)＝(－1，－2,2)，所以||＝＝3.
12．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
[答案] B
[解析] a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，
2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴∴
13．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] ＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
14．已知向量＝(2，－2,3)，向量＝(x,1－y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，，－)，则(x，y，z)＝( )
A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4,1)
C．(－2,4，－1) D．(2，－4，－1)
[答案] A
[解析] 由条件(2，－2,3)＋(x,1－y,4z)
＝2，
∴(x＋2，－1－y,3＋4z)＝(0,3，－1)，
∴
二、填空题
15．已知a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则a·(b－c)＝________.
[答案] 5
[解析] b－c＝(2,0,1)，a·(b－c)＝(2，－3,1)·(2,0,1)＝4＋0＋1＝5.
16．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·x＝－18的向量x＝________.
[答案] (－4,2，－4)
[解析] 设x＝(x，y，z)，
由题意得
解得x＝－4，y＝2，z＝－4.∴x＝(－4,2，－4)．
三、解答题
17．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．
因为∥，∥，
所以
解得
即D(－1,1,2)．
(2)依题意＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)，
假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，
所以故存在α＝β＝1，使得＝α＋β成立．
18．已知空间三点A(0,2,3)、B(－2,1,6)、C(1，－1,5)．
(1)求以、为邻边的平行四边形面积；
(2)若|a|＝，且a分别与、垂直，求向量a的坐标．
[解析] (1)由题中条件可知
＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴sin〈，〉＝，
∴以，为邻边的平行四边形面积
S＝||·||·sin〈，〉＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
由题意得
解得或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
能力拓展提升
一、选择题
10．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：
①a∥b?＝＝；
②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；
③a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 由＝＝?a∥b，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B.
11．已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P、Q、R、S，如下图，所得图形是( )
A．长方形 B．正方形
C．梯形 D．菱形
[答案] D
[解析] ∵＝－＝－＝.
同理＝，∴＝，
∴四边形PQRS为平行四边形，
又∵＝－＝－＝，
∴||＝||，即PS＝BD，
又||＝||，∴PQ＝AC，
∵AC＝BD，∴PS＝PQ，∴四边形ABCD为菱形．
二、填空题
12．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________．
[答案] 垂直
[解析] ∵v1·v2＝－2＋0＋2＝0，
∴v1⊥v2.
∴l1⊥l2，
13．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．
[答案] x＋y＋z＝3
[解析] 由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量＝(1,1,1)，
因为P∈α，∴⊥，
∴(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，
∴x＋y＋z＝3.
三、解答题
14．设a，b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系；
(1)a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；
(2)a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；
(3)a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)．
[解析] (1)∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.
(2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，
∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2.
(3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，
∴a与b不共线也不垂直．
∴l1与l2相交或异面．
15．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点，应用空间向量解决下列问题：
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
[解析] (1)证明：
如图，建立空间直角坐标系O－xyz，D为坐标原点O，依已知条件有：E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．
＝(，，0)－(0,0，)＝(，，－)，＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，·＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0，
得⊥，所以EF⊥B1C.
(2)解：＝(0，，0)－(0,1,1)＝(0，－，－1)，
||＝＝.
由(1)得，||＝＝，且·＝，
所以cos〈，〉＝＝.
所以EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)解：H是C1G的中点，
所以H(0，，)．又F(，，0)，
故FH＝||＝＝.
16.
如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[解析] 如图，以，，为正交基底建立空间直角坐标系C－xyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
[点评] 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
能力拓展提升
一、选择题
9．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
[答案] C
[解析] ∵α∥β，∴＝＝，
∴k＝4，故选C.
10．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l?α D．l与α斜交
[答案] B
[解析] ∵a·b＝－4＋4＝0，
∴a⊥b，又∵l?α，∴l∥α.
二、解答题
11．在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，F为PC的中点，点E在PD上，且＝2，求证：BF∥平面AEC.
[证明] ∵＝＋
＝＋(＋)＝＋＋
＝＋(－)＋(－)＝－，
∴、、共面．
又BF?平面AEC，从而BF∥平面AEC.
12．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG∥平面HMN.
[证明] 如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．
∴＝(0，－1,1)，＝(1,0,1)，
＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG、平面HMN的法向量，
由?，
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由?.
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
∴m＝n，即平面EFG∥平面HMN.
13.
如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为2，
则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．
再设Q(0,2，c)，∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2,0，c)，＝(－2，－2,2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则?
令x＝1，则y＝1，z＝2.
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
14．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE?ED＝2?1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
[证明] 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，
则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B(a，－a,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E(0，a，a)，
∴＝(0，a，a)，＝(a，a,0)，＝(0,0，a)，＝(a，a，－a)，＝(－a，a，a)．
设点F是棱PC上的点，＝λ＝(aλ，aλ，－aλ)，其中0<λ<1.
则＝＋PF＝(－a，a，a)＋(aλ，aλ，－aλ)
＝(a(λ－1)，a(1＋λ)，a(1－λ))，
令＝λ1＋λ2，
得
即
解得λ＝，λ1＝－，λ2＝，
即当λ＝时，＝－＋，
即F是PC的中点时，、、共面，又BF?平面AEC，
∴当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
能力拓展提升
一、选择题
7．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )
A. B．1 C. D.
[答案] A
[解析] ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．
若ka＋b与2a－b垂直，则(ka＋b)·(2a－b)＝0.
即3(k－1)＋2k－4＝0.
解得k＝，故选A.
8．已知A(3,0，－1)、B(0，－2，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] ＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，则
·＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.
∴⊥，故△ABC为直角三角形．
又||≠||故选C.
二、填空题
9．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
[答案] (－，，1)
[解析] 设M(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，
由题意得
∴x＝－，y＝，z＝1，
∴点M的坐标为(－，，1)．
三、解答题
10．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D.
[证明] 如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)∵＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，
∴·＝0－4＋4＝0，
∴⊥，∴BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，∴＝－，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1.又ED?平面CA1D，BC1?平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.
[点评] 第(2)问可求出＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，＝(0，－2，－2)，
∴＝－2＋，
∴与、共面，
∵BC1?平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.
还可以先求出平面CA1D的法向量n，证明·n＝0.
11.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点，求证：PC⊥平面BEF.
[解析] 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，
四边形ABCD是矩形，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．
又E、F分别是AD、PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．
∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)，
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，
∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF.
又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.
12．如图， 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
[证明] 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，
＝(0，－，－4)，＝(－，，0)．
设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0.
解得x＝y，z＝－y，令y＝1得n＝(1,1，－)，
又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)
而n·＝1×(－2)＋1×2＋(－)×0＝0
即n⊥.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
13．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.
[解析] 建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，设E(2，y，z)，则＝(2，y－2，z－3)，＝(1,2,0)，＝(2,0,3)，
∵D1E⊥平面AB1F，
∴
即解得
∴E(2,1，)即为所求．
能力拓展提升
一、选择题
9．(2013·大纲理，10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 如图，连接C1O，过C作CM⊥C1O.
∵BD⊥平面C1CO，∴BD⊥CM，
∵C1O∩BD＝O，∴CM⊥平面BC1D，
∴∠CDM即为CD与平面BDC1所成的角，
令AB＝1，∴AA1＝2，CO＝，
C1O＝＝＝，
由CM·C1O＝CC1·CO得，CM＝，
∴sin∠CDM＝＝.
10．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为( )
A．(0°，90°) B．90°
C．120° D．(60°，120°)
[答案] C
[解析] ＝(＋)，＝(＋)，
∴·＝(·＋·＋·＋·)＝－||2.
又||＝||＝||，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴∠EOF＝120°，故选C.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．
设正方体棱长为1，MF＝，GF＝，
∴sin∠MGF＝.
解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，
∵F(，0,0)，G(1,1，)，∴＝，
设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
二、填空题
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．
[答案] 30°
[解析]
解法一：连接BC1，设与B1C交于O点，连接A1O.
∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1.
∴BC1⊥平面A1B1C，
∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，
设正方体的棱长为1.
在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝，
∴sin∠OA1B＝＝＝.∴∠OA1B＝30°.
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
解法二：以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，C(0,1,0)．
∴＝(1,0,1)，＝(0,1,0)．
设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)
则?令z＝－1得x＝1.
∴n＝(1,0，－1)，又B(1,1,0)，∴＝(0,1，－1)，
cos〈n，〉＝＝＝.
∴〈n，〉＝60°，
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
13.
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为________．
[答案] 90°
[解析] 取AC的中点D，建立如图坐标系，设AB＝a，
则B(a,0,0)，C1(0，，a)，A(0，－，0)，B1(a,0，a)．
∴＝(a，，a)，＝(a，－，－a)．
∴cos〈，〉＝＝0.
∴AB1与C1B所成的角为90°.
三、解答题
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值．
[解析] 以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C(0,1,0)，E(0，，1)，F(，1,1)．
设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
∵＝，＝，
∴∴
令z＝1，则n＝(－2,2,1)．
显然平面ABCD的法向量e＝(0,0,1)，则
cos〈n，e〉＝＝.
设二面角为α，则cosα＝，∴tanα＝2.
15．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
(3)求DB与平面DEF所成角的大小．
[解析] 以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，，0)、F(，，)、P(0,0，a)．
(1)·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，
∴EF⊥DC.
(2)设G(x,0，z)，则＝(x－，－，z－)，
·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)
＝a(x－)＝0，∴x＝；
·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)
＝＋a(z－)＝0，∴z＝0.
∴G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点．
(3)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．
则∴
即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．
cos<，n>＝＝＝，
∴DB与平面DEF所成角大小为－arccos.
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
[解析] 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
(1)＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a,0)，
·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．则n1⊥，n1⊥，n2⊥，n2⊥，
∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)，
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2，
∴2－＝0，得e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
能力拓展提升
一、选择题
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则|MN|的长为( )
A.a B.a
C.a D.a
[答案] A
[解析] 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a ＝0，
由条件知，＝－
＝(＋)－
＝(＋＋)－(＋＋)
＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c，
||2＝2＝(2a－b－c)2
＝(4|a|2＋|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋b·c)
＝，∴||＝a.
10．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )
A. B. C．2 D.
[答案] C
[解析] 如图．∵二面角α－l－β等于120°，
∴与夹角为60°.
由题设知，⊥，⊥，||＝||＝||＝1，||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×cos60°＝4，∴||＝2.
二、填空题
11．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
[答案]
[解析] 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，
设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，
则有
解得n＝，
则d＝＝＝.
解法二：VB1—ABC1＝VA—BB1C1，
VA—BB1C1＝S△BB1C1×AB＝，
又∵VB1—ABC1＝S△ABC1·h，
S△ABC1＝AB·＝，
∴h＝.
12．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
[答案]
[解析] 由已知AB，AD，AP两两垂直．
∴以A为坐标原点AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)．
＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则
∴n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)，
∴d＝＝.
三、解答题
13．如图，已知直四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，四边形ABCD为正方形，AA′＝2AB＝2，E为棱CC′的中点．
(1)求证：A′E⊥平面BDE；
(2)设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且BG＝BB′，求证：FG∥平面BDE.
[证明]
(1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A′(1,0,2)，E(0,1,1)，F(，0,0)，G(1,1，)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，
于是＝(1,1,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,1，－1)．
∵·＝－1＋1＋0＝0，∴A′E⊥DB.
又∵·＝0＋1－1＝0，∴A′E⊥DE.
∵BD∩DE＝D，∴A′E⊥平面BDE.
(2)由(1)可知＝(－1,1，－1)为平面BDE的一个法向量，＝(，1，)，
∵·＝－1×＋1×1＋(－1)×＝0，
∴⊥.
又∵FG?平面BDE，∴FG∥平面BDE.
[点评] 本题中第一问证明了A′E⊥平面BDE，故为平面BDE的法向量，因此第二问要证明FG∥平面BDE，只需验证·＝0即可．
14．如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离．
[解析] 设、、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取{e1，e2，e3}作为空间向量的一组基底，易知
e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0，
＝2e1，＝2e2，＝2e3，
＝＋＝＋
＝＋(＋)＝－2e1＋e2＋e3，
设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，则n⊥，n⊥，
∴
?
?
?∴n＝e1＋e3.
∴直线AE与平面α间的距离为
d＝＝＝.
15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为.
[解析] 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE＝x，则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．
(1)因为·＝(1,0,1)·(1，x，－1)＝0，所以⊥.∴D1E⊥A1D.
(2)设平面D1EC的法向量n＝(a，b，c)，
∴＝(1，x－2,0)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)
由?
令b＝1，∴c＝2，a＝2－x，∴n＝(2－x,1,2)
依题意cos＝＝
?＝，
∴x1＝2＋(不合题意，舍去)，x2＝2－，
∴AE＝2－时，二面角D1－EC－D的大小为.
