第一章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
[答案] A
[解析] 因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.
2．(2013·重庆理，2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．存在x0∈R，使得x<0
[答案] D
[解析] 根据全称命题的否定是特称命题，应选D.
3．(2013·琼海市模拟)命题“tanx＝0”是命题“cosx＝1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] x＝π时，tanx＝0，但cosx＝－1；cosx＝1时，sinx＝0，故tanx＝0.所以“tanx＝0”是“cosx＝1”的必要不充分条件．
4．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c3<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
[答案] A
[解析] 一个命题的否命题，既否定条件，又否定结论，故选A.
5．设x，y，z∈R，则“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由题意得，“lgy为lgx，lgz的等差中项”，则2lgy＝lgx＋lgz?y2＝xz，则“y是x，z的等比中项”；而当y2＝xz时，如x＝z＝1，y＝－1时，“lgy为lgx，lgz的等差中项”不成立，所以“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件，故选A.
6．(2013·湖北文，3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
[答案] A
[解析] ∵綈p“甲没降落在指定范围”，綈q“乙没降落在指定范围”，
∴“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)，故选A.
7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 依题意得，命题“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a∥β，且a⊥c?β⊥c”是假命题(直线c可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b，且α⊥c?b⊥c”是真命题(因为α∥b，因此在平面α内必存在直线b1∥b；又α⊥c，因此c⊥b1，∴c⊥b)．综上所述，其中真命题有2个，选C.
8．在△ABC中，设命题p：＝＝，命题q：△ABC是等边三角形，那么p是q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] C
[解析] 由已知a＝＝?b2＝ac.
同理a2＝bc，c2＝ab，故有(a＋c)(a－c)＝b(c－a)．
若a≠c，则a＋c＝b与a、b、c是△ABC的三边矛盾，故a＝c，同理得到b＝c，
于是a＝b＝c，于是充分性得证，必要性显然成立．
9．已知命题p：“对?x∈R，?m∈R，使4x＋2xm＋1＝0”．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是( )
A．－2≤m≤2 B．m≥2
C．m≤－2 D．m≤－2或m≥2
[答案] C
[解析] 由题意可知命题p为真，即方程4x＋2xm＋1＝0有解，∴m＝－＝－(2x＋)≤－2.
10．(2012·豫东、豫北名校联考)下列命题中，错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．已知x，y∈R，则x＝y是xy≥()2成立的充要条件
C．对命题p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：?x∈R，则x2＋x＋1≥0
D．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假
[答案] D
[解析] 由逆否命题的定义知A正确；当x＝y时，xy≥()2成立；xy≥()2成立时，有≥，故x＝y，∴B为真命题；由特称命题的否定为全称命题知C为真命题；∵p∨q为假，∴p假且q假，∴D为假命题．
11．(2013·天津理，4)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
[答案] C
[解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断．
对于①，设球半径为R，则V＝πR3，r＝R，
∴V1＝π×(R)3＝＝V，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为，圆心(0,0)到直线的距离d＝，故直线和圆相切，故①，③正确．
12．设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0，其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为( )
A．②③④ B．②③④⑤
C．①②③⑤ D．②⑤
[答案] D
[解析] ①a＋b＝2可能有a＝b＝1；②a＋b>2时，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2矛盾；③a＋b>－2可能a<0，b<0；④ab>1，可能a<0，b<0；⑤logab<0，∴0
1或a>1,0二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________．
[答案] 有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等
[解析] 全称命题的否定是特称命题；“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”
14．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是____________________________________．
[答案] 若ac≤0，则方程a2－bx＋c＝0的两根不全大于0.
[解析] 根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出．
15．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案] 3≤m<8
[解析] ∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴解得3≤m<8.
16．下列命题中，________是全称命题，________是特称命题．
①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤一定有偶数x0，y0，使得3x0－2y0＝10成立．
[答案] ①②③ ④⑤
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
[解析] 逆命题，已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：?x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解析] (1)綈p：?m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．
若方程x2＋x－m＝0无实数根，则
Δ＝1＋4m<0，则m<－，
所以当m＝－1时，綈p为真．
(2)綈q：?x∈R，使得x2＋x＋1>0.(真)
因为x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0
所以綈q为真．
19．(本小题满分12分)已知P＝{x|a－4[解析] P＝{x|a－4∵x∈P是x∈Q的必要条件
∴x∈Q?x∈P，即Q?P
∴?.
∴－1≤a≤5.
20．(本小题满分12分)如图所示的电路图，设命题p：开关K闭合，命题q：开关K1闭合，命题s：开关K2闭合，命题t：开关K3闭合．
(1)写出灯泡A亮的充要条件；
(2)写出灯泡B不亮的充分不必要条件；
(3)写出灯泡C亮的必要不充分条件．
[解析] (1)灯泡A亮的充要条件是“p∧q”．
(2)灯泡B不亮的充分不必要条件是“綈p”或“ 綈s”；
(3)灯泡C亮的必要不充分条件是p或t.
[点拨] 根据串并联电路的特点，K控制着整个电路，K1，K2，K3分别控制着一个支路．只有K闭合，灯泡才有可能亮，只有K1闭合，灯泡A才有可能亮，只有K2闭合，灯泡B才有可能亮，只有K3闭合，灯泡C才有可能亮，据此可以写出有关的充分、必要条件．
21．(本小题满分12分)求使函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴上方成立的充要条件．
[解析] 要使函数f(x)的图象全在x轴上方的充要条件是：
或
解得1所以使函数f(x)的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a<19.
22．(本小题满分14分)已知a>0，设命题p：函数y＝()x为增函数．命题q：当x∈[，2]时函数f(x)＝x＋>恒成立．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
[解析] 由y＝()x为增函数得，0因为f(x)在[，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，
∴f(x)在x∈[，2]上最小值为f(1)＝2.
当x∈[，2]时，由函数f(x)＝x＋>恒成立得，2>，解得a>.
如果p真且q假，则0如果p假且q真，则a≥1.
所以a的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．
第一章综合能力检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2012·湖北理，2)命题“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是( )
A．?x0??RQ，x∈Q B．?x0∈?RQ，x?Q
C．?x??RQ，x3∈Q D．?x∈?RQ，x3?Q
[答案] D
[解析] 特称命题的否定是全称命题．“?”的否定是“?”，“x3∈Q”的否定是“x3?Q”．故选D.
2．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝2时，直线2x＋2y＝0，显然平行于x＋y＝1，若直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行，则须满足a－2＝0，得a＝2.
3．(2012·泗水一中月考)“a>b>0”是“a2＋b2>2ab”成立的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分且必要条件
D．不充分且不必要条件
[答案] B
[解析] ∵a>b>0，∴a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，
∴由a>b>0?a2＋b2>2ab，
由a2＋b2>2ab?(a－b)2>0 a>b>0，故选B.
4．命题p：x＝π是y＝|sinx|的一条对称轴，q：2π是y＝|sinx|的最小正周期，下列新命题：
①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q.其中真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 由题意知p真q假，则①④为真命题，故选C.
5．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 注意当直线经过原点时，两个截距均为零，斜率值可以任意．
6．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充分必要条件问题．
当x＝4时，|a|＝＝5，
当|a|＝＝5时，解得x＝±4.
所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．
7．与命题“若a∈M，则b?M”等价的命题是( )
A．若a?M，则b?M
B．若b?M，则a∈M
C．若a?M，则b∈M
D．若b∈M，则a?M
[答案] D
[解析] 即原命题的逆否命题，结论的否定b∈M作条件，条件的否定a?M作结论，故选D.
8．若a，b均为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由a⊥b，则如图OABC是矩形，即可推得||＝|a＋b|＝|a－b|＝||.
反之有|a＋b|＝|a－b|，平方得a·b＝0，
可推得a⊥b.
综合可得“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的充要条件．
9．下列命题中，真命题是( )
A．?x∈R，x>0
B．如果x<2，那么x<1
C．?x∈R，x2≤－1
D．?x∈R，使x2＋1≠0
[答案] D
[解析] A显然是假命题，B中若x∈[1,2)虽然x<2但x不小于1.C中不存在x，便得x2≤－1，D中对?x∈R总有x2＋1≥1，
∴x2＋1≠0，故D是真命题，选D.
10．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是A.C．a>或a< D．a≥或a≤
[答案] B
[解析] |x－a|＜1?a－1＜x＜a＋1
由题意知?(a－1，a＋1)则有且等号不同时成立解得≤a≤，故选B.
11．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )
A．已知c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．已知b?β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a
C．已知b?β，若b⊥α，则β⊥α
D．已知b?α，c?α，若c∥α，则b∥c
[答案] C
[解析] A的逆命题是：c⊥α，若α∥β，则c⊥β，真命题；B的逆命题是b?β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，是真命题；D的逆命题是b?α，c?α，若b∥c，则c∥α，是真命题．
12．“θ＝”是“tanθ＝2cos”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 解法一：∵θ＝为方程tanθ＝2cos 的解，
∴θ＝是tanθ＝2cos成立的充分条件；
又∵θ＝也是方程tanθ＝2cos的解，
∴θ＝不是tanθ＝2cos的必要条件，故选A.
解法二：∵tanθ＝2cos，
∴sinθ＝0或cosθ＝－，
∴方程tanθ＝2cos的解集为
A＝，
显然?A，故选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的充要条件是________________．
[答案] c＝0
[解析] ∵函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点，∴x＝0时，y＝0，即c＝0.
14．命题p：若a、b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件；命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中是真命题的为________．
[答案] p∨q，綈p
[解析] p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
15．已知a，b为两个非零向量，有以下命题：
①a2＝b2；②a·b＝b2；③|a|＝|b|且a∥b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)
[答案] ①②③
[解析] 显然a＝b时①②③成立，即必要性成立．
当a2＝b2时，(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有a＝b；
当a·b＝b2时，b·(a－b)＝0，不一定有a＝b；
|a|＝|b|且a∥b时，a＝b或a＝－b，即①②③都不能推出a＝b.
16．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：A＝{x|<0}，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|logx>1}；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“( )”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：
甲：此数为小于6的正整数，
乙：A是B成立的充分不必要条件，
丙：A是C成立的必要不充分条件．
若老师评说三位同学都说得对，则“( )”中的数应为________．
[答案] 1
[解析] 集合B＝{x|－1≤x≤4}，集合C＝{x|00)，故集合A＝{x|0三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)将下列命题改写为“若p，则q”的形式．并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等．
[解析] (1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．
(3)在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．
18．(本小题满分12分)写出命题“x2＋x≤0，则|2x＋1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
[解析] 逆命题：若|2x＋1|<1，则x2＋x≤0为真．
否命题：若x2＋x>0，则|2x＋1|≥1为真．
逆否命题：若|2x＋1|≥1，则x2＋x>0，为假．
19．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题，并判断新命题的真假．
(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆；
(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分．
[解析] (1)p或q：正多边形有一个内切圆或者有一个外接圆．
p且q：正多边形既有一个内切圆，也有一个外接圆．
非p：正多边形没有内切圆．
∵p真q真，∴p或q，p且q为真，綈p为假．
(2)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分．
非p：存在一个平行四边形的对角线不相等．
因为p是假命题，q是真命题，所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为真命题．
20．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] p：A＝{x|x<－2或x>10}，q：B＝{x|x<1－a或x>1＋a，a>0}，如图．
依题意，p?q，但q p，说明A?B，则有
，且等号不同时成立，解得0∴实数a的取值范围是021．(本小题满分12分)设命题p：?x∈R，x2－2x>a；命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0如果命题“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．
[解析] 由命题p可知x2－2x＝(x－1)2－1>a恒成立，
∴a<－1.
由命题q可知方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数根，
∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
解得a≤－2或a≥1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
当p真q假时，有－2∴a的取值范围是(－2，－1)∪[1，＋∞)．
22．(本小题满分14分)已知：p|5－3x|≤1，q：x2＋(m－3)x＋2－m≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析] 由|5－3x|≤1得－1≤5－3x≤1，即≤x≤2.
由x2＋(m－3)x＋2－m≤0知(x－1)[x－(2－m)]≤0，
当2－m＝1，即m＝1时，
不等式x2＋(m－3)x＋2－m≤0的解集为{x|x＝1}．
当2－m>1，即m<1时，不等式x2＋(m－3)x＋2－m≤0的解集为{x|1≤x≤2－m}．
当2－m<1，即m>1时，不等式x2＋(m－3)x＋2－m≤0的解集为{x|2－m≤x≤1}．
由题意知p是q的充分不必要条件，
当m＝1时，{x|≤x≤2}?{x|x＝1}，不满足题意，故舍去．
当m<1时，{x|≤x≤2}?{x|1≤x≤2－m}?2≤2－m?m≤0.
所以m≤0时符合题意．
当m>1时，{x|≤x≤2}不可能是{x|2－m≤x≤1}的真子集．
综上所述，m的取值范围是m≤0.
