第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
A．2 B．2
C. D．1
[答案] D
[解析] 由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.
2．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.
由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16
a2＝25＋16＝41，∴a＝，∴L＝4，故选D.
3．椭圆＋＝1的一个焦点为(0,1)，则m＝( )
A．1 B.
C．－2或1 D．－2或1或
[答案] C
[解析] ∵焦点在y轴上，∴3－m>m2.
由3－m－m2＝1得m＝1或－2，∴选C.
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] C
[解析] ∵2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a2＝c2－b2＝3－1＝2，∴a＝，故渐近方程为y＝±x＝±x.
5．(2013·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A．1 B.
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ∵e＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A＝(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.
6．已知a>b>0，e1，e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2( )
A．大于0且小于1 B．大于1
C．小于0 D．等于1
[答案] C
[解析] ∵lge1＋lge2＝lg＋lg
＝lg
7．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 依题意有，解得a＝2，b＝2.
又焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.
8．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
[答案] A
[解析] 由题意知，|QF1|＝|QP|＋|PF1|＝|PF2|＋|PF1|＝2a.(2a为椭圆长轴长)，
∴Q点轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．
9．(2013·新课标Ⅱ理，11)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
[答案] C
[解析] 由已知F(p,0)，A(0,2)，M(，y0)，
∵AF⊥AM，∴kAF·kAM＝－1，
即×＝－1，
∴y－8y0＋16＝0，∴y0＝4，∴M(，4)，
∵|MF|＝5，∴5＝，
∴(p－)2＝9.
∴－＝3或－＝－3，
∴9p2－36p－64＝0，①
或9p2＋36p－64＝0，
由①得∴p＝－(舍)，p＝.
由②得p＝(p＝－舍)，
∴c的方程为y2＝4x或y2＝16x.
10．已知θ∈R，则方程x2＋y2cosθ＝4表示的曲线不可能是( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
[答案] A
[解析] 当θ＝0时，cosθ＝1，方程表示圆；
当θ＝时，cosθ＝，方程表示椭圆；
当θ＝时，cosθ＝－，方程表示双曲线，故选A.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
[答案] C
[解析] 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p×40,2p＝，所以抛物线的方程应为y2＝x，所给选项中没有y2＝x，但方程x2＝－y中的“2p”的值为，所以选项C符合题意．
12．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] D
[解析] 设A点坐标的(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，
∴两式相减得，＝，
即＝，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴k＝＝，
又∵k＝＝，∴＝，
又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，
∴b2＝9，a2＝18，
即标准方程为＋＝1，故选D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．椭圆＋＝1的两焦点为F1、F2点P在椭圆上，使∠F1PF2＝90°的点P有________个．
[答案] 0
[解析] 设a>b>0，c＝，以O为圆心，以c为半径画圆；当cb时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a2＝4，b2＝3，∴c＝1，b＝，因此这样的点P不存在．
14．已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
[答案] 2
[解析] ∵双曲线的焦点在x轴上，∴＝2，
∴＝4，∴b2＝4，又∵b>0，∴b＝2.
15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
[答案]
[解析] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题．
在△ABF中，由余弦定理得，
cos∠ABF＝，∴|BF|2－16|BF|＋64＝0，∴|BF|＝8，设右焦点为F1，
因为直线过原点，∴|BF1|＝|AF|＝6，
∴2a＝|BF|＋|BF1|＝14，∴a＝7，
∵O为Rt△ABF斜边AB的中点，
∴|OF|＝|AB|＝5，∴c＝5，∴e＝.
16．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．
[答案] ③④
[解析] 显然当t＝时，曲线为x2＋y2＝，方程表示一个圆；而当14时，方程表示双曲线；而当1t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故③④为真命题．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P(，y)，求椭圆及双曲线的方程．
[解析] 由椭圆与双曲线有相同的焦点得
10－m＝1＋b，即m＝9－b①
又点P(，y)在椭圆、双曲线上，得
y2＝m，②
y2＝.③
解由①、②、③组成的方程组得m＝1，b＝8，
∴椭圆方程为＋y2＝1，双曲线方程为x2－＝1.
18．(本小题满分12分)求以直线x＋2y＝0为渐近线，且截直线x－y－3＝0所得弦长为的双曲线的标准方程．
[解析] 由于双曲线渐近线方程为x＋2y＝0，故可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
设直线x－y－3＝0与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程组消去y，
整理得3x2－24x＋36＋λ＝0.
由Δ＝242－12(36＋λ)>0，解得λ<12.
由根与系数关系可得
代入弦长公式中，
|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝，
于是＝，解得λ＝4(与λ<12符合)．
故所求的双曲线方程为－y2＝1.
19．(本小题满分12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
[解析] (1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，方程4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
20．(本小题满分12分)(2013·新课标Ⅰ文，21)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
[解析] (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程式为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为
(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求出Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)，由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或|AB|＝.
21．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
[解析] (1)由题意知双曲线的方程是标准方程．
∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.
把点(4，－)代入双曲线方程得，λ＝6.
∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)双曲线的焦点为F1(－2，0)、F2(2，0)．
∵M点在双曲线上，∴32－m2＝6，m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝0.
22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设椭圆的方程
＋＝1(a>b>0)，
∵F(2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A(2,3)，
∴∴∵a2＝b2＋c2，
∴b2＝12，故椭圆方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程y＝x＋t.由消去y，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ＝(3t)2－12(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离等于4，
可得，＝4，∴t＝±2.
由于±2?[－4，4]，
故符合题意的直线l不存在．
第二章综合能力检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵方程mx2＋ny2＝1，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴需有：
∴m>n>0，故互为充要条件．
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是( )
A．k>3 B．2C．k＝2 D．0[答案] C
[解析] k>0，c＝＝，∴k＝2.
3．(2012·东营市期末)已知点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是( )
A. B．2
C．6 D．3
[答案] C
[解析] 抛物线y2＝－8x的焦点F(－2,0)，根据抛物线的定义知，d1＋d2＝|PF|＋d2，显然当由点F向直线x＋y－10＝0作垂线与抛物线的交点为P时，d1＋d2取到最小值，即＝6.
4．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝16外切，则动圆的圆心P的轨迹是( )
A．线段 B．双曲线
C．圆 D．椭圆
[答案] B
[解析] 设动圆P和定圆B外切于M，则动圆的圆心P到两点A(－3,0)和B(3,0)的距离之差恰好等于定圆半径，即|PB|－|PA|＝4，∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，故选B.
5．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(，0)
C．(－1,0) D．(0，－)
[答案] C
[解析] x2＝4y关于x＋y＝0，对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为(－1,0)．
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由题意可得
解得＝，∴e＝＝.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] A
[解析] ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，
∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.
8．已知椭圆2x2＋y2＝2的两个焦点为F1，F2，且B为短轴的一个端点，则△F1BF2的外接圆方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝4
C．x2＋y2＝4 D．x2＋(y－1)2＝4
[答案] A
[解析] 椭圆的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，短轴的一个端点为B(1,0)，可知BF1⊥BF2，于是△F1BF2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋y2＝1.
9．双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2分别为它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于( )
A．8 B．4
C．2 D．8
[答案] A
[解析] ∵＝，2b＝4，∴a2＝8，a＝2，
|AF2|－|AF1|＝2a＝4，
|BF2|－|BF1|＝2a＝4，
两式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝8，
又∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴|AB|＝8.
10．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
[答案] B
[解析] 由已知得e＝＝＝＝，
∵a>1，∴0<<1，∴1<＋1<2，∴2<(＋1)2＋1<5，∴<<，故选B.
11．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )
[答案] D
[解析] 解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，因此>>0.
所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．
解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴，排除A.
12．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头， 向B、C两地运转货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A．(＋1)a万元 B．(2－2)a万元
C．2a万元 D．(－1)a万元
[答案] B
[解析] 设总费用为y万元，则y＝a·(MB＋MC)
∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，
∴曲线PQ是双曲线的一支，B为焦点，且a＝1，c＝2.
由双曲线定义，得MA－MB＝2a，即MB＝MA－2，
∴y＝a·(MA＋MC－2)≥a·(AC－2)．
以直线AB为x轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－2,0)，C(3，)．
∴AC＝＝2，
故y≥(2－2)a(万元)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____.
[答案] 2
[解析] 本题考查抛物线的定义．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
抛物线y2＝4x，焦点为(1,0)，准线为x＝－1.
|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.
则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.
14．椭圆mx2＋ny2＝1与直线l：x＋y＝1交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线斜率为，则＝________.
[答案]
[解析] 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴mx＋ny＝1①
mx＋ny＝1②
又＝－1，∴①－②得：m－n·＝0，
∵＝＝，∴m＝n，∴＝.
15．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围为________．
[答案] m≥1且m≠5
[解析] 将y＝kx＋1代入椭圆方程，消去y并整理，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5－5m＝0.
由m>0,5k2≥0，知m＋5k2>0，故
△＝100k2－4(m＋5k2)(5－5m)≥0对k∈R恒成立．
即5k2≥1－m对k∈R恒成立，故
1－m≤0，∴m≥1.
又∵m≠5，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.
16．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的双曲线的离心率为________．
[答案] 2
[解析] ∵AB＝2c＝4，∴c＝2.
∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴AC＝5，
∴2a＝CA－CB＝2，∴a＝1，∴e＝＝2.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程．
[解析] 依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p>0)，
∵点(，)在抛物线上，∴6＝2p×，
∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.
∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点(，)在双曲线上，∴－＝1，
由解得a2＝，b2＝.
∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.
18．(本小题满分12分)设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值．
[解析] 解法一：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
根据直角的不同位置，分两种情况：
若∠PF2F1为直角，则
|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即
|PF1|2＝(6－|PF1|2)＋20，解得
|PF1|＝，|PF2|＝，故＝；
若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，得
|PF1|＝4，|PF2|＝2，故＝2.
解法二：由椭圆的对称性不妨设P(x，y)(x>0，y>0)，则由已知可得F1(－，0)，F2(，0)．
根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1为直角，则P(，)，故＝；
若∠F1PF2为直角，则
解得x＝，y＝，即P(，)，
于是|PF1|＝4，|PF2|＝2，故＝2.
19．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x，椭圆＋＝1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，
试求：(1)m的值；
(2)P、Q两点的坐标；
(3)△PF1F2的面积．
[解析] (1)∵抛物线方程为y2＝4x，∴2p＝4，
∴＝1，
∴抛物线焦点F2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c＝1，a2＝9＝b2＋c2，∴9＝m＋1，
∴m＝8.
(2)解方程组得或
∴点P、Q的坐标为(，)、(，－)．
(3)点P的纵坐标就是△PF1F2的边F1F2上的高，
∴S△PF1F2＝|F1F2|·|yp|＝×2×＝.
20．(本小题满分12分)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B，求双曲线C的离心率的取值范围．
[解析] 由C与l相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
所以解得0双曲线的离心率e＝＝，
因为0所以e>，且e≠.
即离心率e的取值范围为∪(，＋∞)．
21．(本小题满分12分)
如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶离水面的距离为8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若矩形的长|CD|＝9m，那么矩形的高|DE|不能超过多少m才能使船通过拱桥？
[解析] 如图，以O点为原点，过O且平行于AB的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．则B(9，－8)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵点B在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，
∴p＝，
∴抛物线的方程为x2＝－y，
∴当x＝时，y＝－2，∴|DE|＝6，
∴当矩形的高|DE|不超过6m时，才能使船通过拱桥．
22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
[解析] (1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程整理得x2＋2kx＋1＝0.
∵直线l与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
(2)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
又x1＋x2＝－.
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
又A(，0)，B(0,1)，∴＝(－，1)．
∵＋与共线，
∴x1＋x2＝－(y1＋y2)，
∴－＝－×，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.
