人教A版2019选择性必修第一册高二数学课件1.1.1空间向量及其线性运算(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册高二数学课件1.1.1空间向量及其线性运算(共30张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-24 15:50:57 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
1.1.1 空间向量及其线性运算
复习引入
章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始.
新知探索
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母表示.空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示.
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作其模记为或.图所示的正方体中，过同一个顶点的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，,,它们是不共面的向量，即它们是不在任何一个平面内的三个向量.
新知探索
与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为.当有向线段的起点与终点重合时，.模为1的向量叫做单位向量.与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，即为.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有.
新知探索
方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.如图，已知空间向量，以任意点为起点,作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面内.
新知探索
数学中，引入一种量后，一个很自然的问题就要研究它们的运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法（如图）以及数乘运算（如图）：
(1)
(2)
(3)当时，
当时，
当时，
新知探索
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）：
交换律：
结合律：
分配律：
你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
新知探索
下面证明空间向量的加法结合律：
如图，因为
所以，
由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.
新知探索
问题1：如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
可以发现，.一般地，对于三个不共面的向量以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量.另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
新知探索
问题2：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.
新知探索
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线.如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
新知探索
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
问题3：对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量可以写成其中是唯一确定的有序数对.对两个不共线的空间向量，如果那么向量与向量有什
么位置关系？反过来，向量与有什么位置关系时，？
可以发现，如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
新知探索
可以发现，如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
证明：必要性是由平面向量基本定理得到的.
当，都为或部分为零向量时，充分性显然成立，
下面就与都不是零向量的情况进行证明：
因为分别与共线，所以都在确定的平面内.
又因为是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在确定的平面内，所以在确定的
平面内.即与共面.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)若向量是向量的相反向量，则.（ ）
(2) 空间向量就是空间中的一条有向线段.（ ）
(3)若//，则存在唯一的实数，使.（ ）
(4)空间中任意三个向量一定是共面向量.（ ）
答案：√，×，×，×.
例析
例1：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.求证：，，，四点共面.
证明：因为，
所以
因为四边形是平行四边形，所以
因此
由向量共面的充要条件可知，，共面，又
过同一点，从而，，，四点共面.
练习
题型一：空间向量有关概念的辨析
例1.（多选）下列命题正确的是（ ）
A.零向量没有确定的方向
B.在正方体中，
C.若向量与向量的模相等，则的方向相同或相反
D.在四边形中，必有
答案：AB.
解：A正确；B正确，因为与 的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以；C中，虽然，但是的方向不能确定；D中，只有当四边形为平行四边形时，才有
练习
方法技巧：
空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约.
练习
变1.如图所示，以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若，求向量的模.
解：(1)与相等的向量有,，，共3个.
(2)向量的相反向量为，，，共4个.
(3)因为
所以
练习
题型二：空间向量的线性运算
例2.在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：ABCD.
练习
方法技巧：
1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
练习
方法技巧：
2.利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
练习
变2.如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；
(2)；(3).
解：(1).
(2)因为是的中点,所以
又因为，所以
(3).
练习
题型三：空间向量的共面问题
例3.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点分别在对角线上，且.求证：向量共面.
证明：因为在上，且所以
同理
所以
.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.
练习
方法技巧：
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示为另两个向量的线性组合，即若，则向量共面.
(2)若存在有序实数组使得对于空间任一点，有，且成立，则四点共面.
练习
变3.已知非零向量不共线，如果，，，求证：四点共面.
证明：令，
则
因为不共线，所以解得
所以，
所以四点共面.
课堂小结
1.空间向量：
(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
2.空间向量的表示：
(1)字母表示法：用字母表示
(2)几何表示法：用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.即向量的起点是，终点是，则向量也可以记作其模记为.
课堂小结
3.几类特殊向量：
(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为.
(2)单位向量：模为1的向量叫做单位向量.
(3)相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，即为.
(4)共线向量或平行向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有.
(5)相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量.
课堂小结
4.空间向量的线性运算：
(1)加法：
(2)减法：
(3)数乘运算：当时，
当时，当时，
运算律：
(1)交换律：
(2)结合律：
(3)分配律：
课堂小结
5.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
6.空间向量共面的充要条件：
(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
(2)空间向量共面的充要条件：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P5——P6的练习2、3、4、5题.
(3)课本P9——P10的练习1、2、3、6题.
1.1.1 空间向量及其线性运算
复习引入
章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始.
新知探索
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母表示.空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示.
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作其模记为或.图所示的正方体中，过同一个顶点的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，,,它们是不共面的向量，即它们是不在任何一个平面内的三个向量.
新知探索
与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为.当有向线段的起点与终点重合时，.模为1的向量叫做单位向量.与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，即为.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有.
新知探索
方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.如图，已知空间向量，以任意点为起点,作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面内.
新知探索
数学中，引入一种量后，一个很自然的问题就要研究它们的运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法（如图）以及数乘运算（如图）：
(1)
(2)
(3)当时，
当时，
当时，
新知探索
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）：
交换律：
结合律：
分配律：
你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
新知探索
下面证明空间向量的加法结合律：
如图，因为
所以，
由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.
新知探索
问题1：如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
可以发现，.一般地，对于三个不共面的向量以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量.另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
新知探索
问题2：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.
新知探索
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线.如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
新知探索
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
问题3：对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量可以写成其中是唯一确定的有序数对.对两个不共线的空间向量，如果那么向量与向量有什
么位置关系？反过来，向量与有什么位置关系时，？
可以发现，如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
新知探索
可以发现，如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
证明：必要性是由平面向量基本定理得到的.
当，都为或部分为零向量时，充分性显然成立，
下面就与都不是零向量的情况进行证明：
因为分别与共线，所以都在确定的平面内.
又因为是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在确定的平面内，所以在确定的
平面内.即与共面.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)若向量是向量的相反向量，则.（ ）
(2) 空间向量就是空间中的一条有向线段.（ ）
(3)若//，则存在唯一的实数，使.（ ）
(4)空间中任意三个向量一定是共面向量.（ ）
答案：√，×，×，×.
例析
例1：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.求证：，，，四点共面.
证明：因为，
所以
因为四边形是平行四边形，所以
因此
由向量共面的充要条件可知，，共面，又
过同一点，从而，，，四点共面.
练习
题型一：空间向量有关概念的辨析
例1.（多选）下列命题正确的是（ ）
A.零向量没有确定的方向
B.在正方体中，
C.若向量与向量的模相等，则的方向相同或相反
D.在四边形中，必有
答案：AB.
解：A正确；B正确，因为与 的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以；C中，虽然，但是的方向不能确定；D中，只有当四边形为平行四边形时，才有
练习
方法技巧：
空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约.
练习
变1.如图所示，以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若，求向量的模.
解：(1)与相等的向量有,，，共3个.
(2)向量的相反向量为，，，共4个.
(3)因为
所以
练习
题型二：空间向量的线性运算
例2.在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：ABCD.
练习
方法技巧：
1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
练习
方法技巧：
2.利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
练习
变2.如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；
(2)；(3).
解：(1).
(2)因为是的中点,所以
又因为，所以
(3).
练习
题型三：空间向量的共面问题
例3.如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点分别在对角线上，且.求证：向量共面.
证明：因为在上，且所以
同理
所以
.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.
练习
方法技巧：
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示为另两个向量的线性组合，即若，则向量共面.
(2)若存在有序实数组使得对于空间任一点，有，且成立，则四点共面.
练习
变3.已知非零向量不共线，如果，，，求证：四点共面.
证明：令，
则
因为不共线，所以解得
所以，
所以四点共面.
课堂小结
1.空间向量：
(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
2.空间向量的表示：
(1)字母表示法：用字母表示
(2)几何表示法：用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.即向量的起点是，终点是，则向量也可以记作其模记为.
课堂小结
3.几类特殊向量：
(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为.
(2)单位向量：模为1的向量叫做单位向量.
(3)相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，即为.
(4)共线向量或平行向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有.
(5)相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量.
课堂小结
4.空间向量的线性运算：
(1)加法：
(2)减法：
(3)数乘运算：当时，
当时，当时，
运算律：
(1)交换律：
(2)结合律：
(3)分配律：
课堂小结
5.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
6.空间向量共面的充要条件：
(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
(2)空间向量共面的充要条件：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P5——P6的练习2、3、4、5题.
(3)课本P9——P10的练习1、2、3、6题.