人教A版2019选择性必修第一册高二数学课件1.2空间向量基本定理(共23张PPT)

(共23张PPT)
1.2 空间向量基本定理
复习引入
我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理).类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量来表示呢？
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点.对于任意一个空间向量
设为在所确定的平面上的投影向量，则.又向量共线，因此存在唯一的实数，使得，从而.
新知探索
而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对，使得.
从而.
因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
我们称分别为向量在上的分向量.
新知探索
问题1：在空间中，如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？
定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得.
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理.
新知探索
由此可知，如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
新知探索
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量的运算，这为解决问题带来了方便.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.（ ）
(2)若为空间一个基底，则也可以构成空间的一个基底.（ ）
(3)若三个非零向量，，不能构成空间向量的一个基底，则共面.（ ）
(4)对于三个不共面向量，，，不存在实数组使
.（ ）
答案：×，√，√，×.
例析
例1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示.
解:
例析
例2.如图，在平行六面体中，分别为，的中点.求证.
证明:设这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则所以
所以
例析
例3.如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
(1)证明:设则构成空间的一个单位正交基底.所以
所以
所以.
例析
例3.如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
(2)因为
所以
所以与所成角的余弦值.
练习
题型一：基底的判断
例1.已知是空间的一个基底，且，，，试判断能否作为空间的一个基底？
解：假设共面，由向量共面的充要条件知存在实数，，
使成立.∴
.
∵是空间的一个基底∴不共面，∴
此方程组无解，即不存在实数，，使成立.
∴不共面.故能作为空间的一个基底.
练习
方法技巧：
判断给出的某一向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从
正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.
练习
变1.若是空间的一个基底，试判断能否作为空间的一个基底？
解：假设共面，则存在实数，，
使得，即.
∵是空间的一个基底，∴不共面.∴此方程组无解.
即不存在实数，，使得，
∴不共面.
故能作为空间的一个基底.
练习
题型二：用基底表示空间向量
例2.如图，四棱锥的底面为一矩形，平面.设，，分别是和的中点.试用表示：.
解：连接(图略)，
则
=
练习
方法技巧：
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量.
练习
变2.如图所示，正方体，且.
(1)用表示向量，；
(2)设分别是侧面和的中心，用表示.
解(1)：
(2):(法一)连接(图略)，则
(法二)连接，则.
练习
题型三：空间向量基本定理的应用
例3.如图，已知直三棱柱中，，，分别为的中点.
(1)求证：
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
证明(1)：设
根据题意知，且.
这三个向量不共面，构成空间的一个基底.
∴∴
∴，即.
练习
题型三：空间向量基本定理的应用
例3.如图，已知直三棱柱中，，，分别为的中点.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
解(2)：∵
∴
∵
∴
∴与异面直线所成角的余弦值为
练习
方法技巧：
用基底表示向量的步骤
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则 ，以及向量的运算律进行；
(2)若没给定基底，首先要选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
练习
变3.已知空间四边形中，且分别是的中点，是的中点，求证：.
证明：连接(图略)，设，
又设， 则.
∵
∴
∴，即.
课堂小结
1.空间向量基本定理：
定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得.
其中，叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
2.单位正交基底与正交分解：
(1) 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都
为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
(2) 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P12的练习3题；
(3)课本P15的练习3、4、5、6、7题.