人教A版2019选择性必修第一册高二数学课件1.3.2空间向量运算的坐标表示(共21张PPT)

(共21张PPT)
1.3.2 空间向量运算的
坐标表示
问题引入
设
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
新知探索
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.例如，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
设为空间的一个单位正交基底，则，
，所以.
利用向量数量积的分配律以及
得
新知探索
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当时，，，；
.
新知探索
问题2：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
所以.
这就是空间两点间的距离公式.
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单.
如图建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则.
于是.
例析
例2.如图，在正方体中，分别是，的中点.求证.
证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以.
又，，所以.
所以.
所以，即.
例析
例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，
.
(1)求的长.(2)求与所成角的余弦值.
解(1)：建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为点的坐标为.
于是.
例析
例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，
.(2)求与所成角的余弦值.
解(2)：由已知，得，，，所以，
所以
所以
所以，与所成角的余弦值是.
练习
题型一：空间向量的坐标运算
例1.已知为坐标原点，三点的坐标分别是，，.求点的坐标，使：(1)；(2).
解：∵，，
∴.
(1)，则点的坐标为.
(2)设点的坐标为，则
∵,
∴
则点的坐标为.
练习
方法技巧：
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标.
练习
变1.已知空间四点的坐标分别是，
，，设，.
求：(1)；(2)；(3).
解：因为
所以
(1)
(2)
(3)
练习
题型二：空间向量的平行与垂直
例2.已知空间三点.设，.
(1)设，，求；(2)若与互相垂直，求.
解：(1)∵且，
所以设，
所以解得
(2)因为，，
所以，.
因为，所以.
即.
解得或.
练习
方法技巧：
判定空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.
(2)对于，，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据，，或都不为0判断两向量是否平行.
练习
变2.已知空间三点.设，.若与互相平行，求.
解：∵，
，
∴
∵与平行，所以，
即，所以
则或.
练习
题型三：利用空间向量解决夹角、距离问题
例3.在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中，，，棱，为中点
(1)求的长；(2)求与所成角的余弦值.
解：如图，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系.
(1)依题意得，，
∴所以线段的长为.
(2)依题意得，，
∴
∴
又∴.
故与所成角的余弦值为.
练习
方法技巧：
1.利用向量坐标求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角.
2.利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长.
练习
变3.已知空间三点.
求：(1)向量，的模；(2)向量，夹角的余弦值.
解：(1)∵
∴
(2)∵
∴.
课堂小结
1.空间向量的坐标运算：
设
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
课堂小结
2.空间向量的平行、垂直及模、夹角：
设则
当时，，，；
.
课堂小结
3.空间两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，设，是空间中任意两点，
则.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P22的练习1、2、3、4题；
(3)课本P22的习题1.3的4、5、8题；
(4)课本P47——48的复习参考题3、8、9题.