人教A版2019选择性必修第一册高二数学课件1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时)）(共31张PPT)

(共31张PPT)
直线
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
(第2课时：用空间向量研究空间角问题)
复习引入
与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量.下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题.
例析
例7.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.
解：(化为向量问题)如图，以作为基底，
则.
设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于.
(进行向量运算)
例析
例7.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.
解：又和均为等边三角形，所以.
所以
(回到图形问题)
所以直线和夹角的余弦值为
新知探索
思考1：以上我们用向量方法解决了异面直线和所成角的问题，你能用向量方法求直线与平面所成的角吗？
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则.
新知探索
类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则
.
新知探索
如图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
类似于两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是和，则平面和平面的夹角即向量
的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
.
.
例析
例8.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值.
解：(化为向量问题)以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.
(进行向量运算)因为平面，所以平面的一个法向量为.
例析
例8.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值.
解：根据所建立的空间直角坐标系，可知，，
所以设，则
所以所以取，则
.
例析
例8.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值.
解：(回到图形问题)设平面与平面的夹角为，则
即平面与平面的夹角的余弦值为
例析
例9.图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度取，精确到).
解：如图，设水平面的单位法向量为，其中一根绳子的拉力为.
因为，所以在上的投影向量为.
所以8根绳子拉力的合力
又因为降落伞匀速下落，所以
所以
所以
例析
例10.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
(1)求证：平面；
解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.
(1)证明：连接，交于点，连接.依题意得.
因为底面是正方形，所以点是它的中心，故点的坐标为，且，.所以，即.
而平面，且平面，因此平面.
例析
例10.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
(2)求证：平面；
解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.
(2)证明：依题意得.
又，故
所以.
由已知，且，所以平面.
例析
(3)求平面与平面的夹角的大小.
解：(3)已知，由(2)可知，故是平面与
平面的夹角.由(2)可知点的坐标为，则.
因为，所以
即.设，
则.所以，点的坐标为.
又点的坐标为，所以.
所以.
所以，即平面与平面的夹角大小为.
例析
通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会.
用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素
进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系
把运算结果“翻译”成相应的几何意义
解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗？
综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例7、例9；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例6，例8，例10.对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法.
练习
题型一：求异面直线所成角的问题
例1.(2017全国卷Ⅱ)已知直三棱柱中，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为( ).
A. B. C. D.
解：如图所示，以为坐标原点，所在的直线为轴，垂直于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由已知条件知
则，.
所以
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
练习
方法技巧：
用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角.
练习
变1.如图，在三棱锥中，顶点在空间直角坐标系的原点处，顶点分别在，，轴上，是线段的中点，且，，求异面直线与所成角的余弦值.
解：因为，是的中点，所以，，
，.在中，，，故.
所以
所以.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
练习
题型二：求线面角的问题
例2.如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
(1)证明：由已知可得，，
又所以平面.
又平面，所以平面平面.
(2)如图，作，垂足为.由(1)得，平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
练习
(2)求与平面所成角的正弦值.
由(1)可得，.
又因为，所以.
又，，所以.所以，.
则，，，，.
又为平面的一个法向量，设与平面所成角为，
则.
所以与平面所成角的正弦值为.
练习
方法技巧：
利用法向量求直线与平面的夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量；
(4)计算：设线面角为，则.
练习
变2.如图，在长方体中，，点分别在上，过点的平面与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
解：(1)交线围成的正方形如图.
(2)作，垂足为，则，.因为四边形为正方形，所以.
于是，所以.
练习
变2.如图，在长方体中，，点分别在上，过点的平面与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
解：以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，.设是平面的法向量，
则即所以可取.又，故.所以与平面所成角的正弦值为.
练习
题型三：求平面与平面的夹角问题
例3.(2019全国卷Ⅱ)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
(1)求证：平面 ；
(2)若求二面角的正弦值.
(1)证：由已知得，平面，平面，
故.又，，所以平面.
(2)由(1)知.由题设知，
所以，故
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
练习
(2)若求二面角的正弦值.
(2)则，，，，，
，.
设平面的法向量为，则即
所以可取.
设平面的法向量为，则即
所以可取
于是.
所以二面角的正弦值为.
练习
方法技巧：
利用向量法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)确定两平面夹角的大小.
练习
变3.几何体是圆柱的一部分，它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转120得到的，是的中点.
(1)设是上的一点，且，求的大小；
(2)当，时，求平面与平面的夹角的大小.
解：(1)因为，，平面，，
所以平面.又平面，所以.
又，所以.
(2)以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，，，，故，，，
练习
(2)当，时，求平面与平面的夹角的大小.
故，，，
设是平面的一个法向量.
由可得取得
设是平面的一个法向量.
由可得取得
所以.
故平面与平面的夹角为60
课堂小结
1.异面直线所成的角：
若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则
.
2.直线与平面所成的角：
设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则.
课堂小结
3.平面与平面所成的角：
平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
若平面，的法向量分别是和，则平面和平面的夹角即向量的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P38的练习1、3、4题；
(3)课本P41的练习2、3题；
(4)课本P43习题1.4第10、15题.