2023届河北省新高考数学复习
专题2 数列解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北·校联考模拟预测）已知为等差数列，.
(1)求的通项公式；
(2)若为的前项和，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用累乘法，结合已知条件，即可求得结果；
（2）利用裂项求和法，结合（1）中所求，即可求得结果.
【详解】（1）∵.
∴，
∴，
∴；
当时，满足上式，
所以；
（2）由（1）可得，
∴
.
2．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由已知可得当时，，进而得，可求数列的通项公式；
（2）若选①：．错位相减法可求．若选②：，可求．若选③：，分组求和可求．
【详解】（1）当时，，，
，，，
当时，．．，
，数列是以，3为公比的等比数列，
．
（2）若选①：，
，
，
，
．
若选②：，
．
若选③：，
．
【点睛】数列求和的常见方法：
①错位相减法
②裂项相消法
③分组求和
④公式法
⑤倒序相加法
3．（2022·河北张家口·统考一模）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
【答案】(1)；
(2)，证明见解析.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行运算证明即可.
【详解】（1）设等比数列的公比是q，首项是.
由，可得.
由，可得，所以，
所以；
（2）证明：因为，
所以
.
又，所以.
4．（2022·河北唐山·统考一模）已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.
(1)证明：；
(2)若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)4044.
【分析】（1）由题设递推式可得，结合已知条件即可证结论.
（2）由（1）及等比数列定义写出通项公式，进而有，根据奇偶项的正负性，应用分组求和法及（1）的结论求即可.
（1）
因为①，则②，
②-①得：，又，
所以.
（2）
由得：，于是，
由得：的公比.
所以，.
由得：
由得：，
因此.
5．（2022·河北邯郸·统考二模）已知等比数列{}的公比，且，．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为，求数列{}的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相消法进行求解即可.
【详解】（1）由，或（舍去），
所以；
（2）由（1）可知，所以，
所以，设数列{}的前n项和为，
，
，
，得，
即.
6．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项可求出结果；
（2）根据错位相减法可求出结果.
(1)
设等差数列的公差为，由题意可知.
即，又，得，
因为，所以，.
故通项公式.
(2)
，
，
，
，
所以.
7．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由与的关系： 即可得出通项公式；（2）先利用裂项相消法求出 ，由恒成立，可得需求的最大值，根据的单调性构造不等关系即可求解
【详解】（1）
当时，，即
当时，由，故，得.
易见不符合该式，故
（2）由，易知递增；
当时，.
从而.
又由，故，解得或
即实数的取值范围为或
8．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及等差数列的通项公式，再利用前n项和公式即可求解；
（2）根据（1）知，进而求出，根据已知条件及三角函数的诱导公式，再利用并项求和法即可求解.
（1）设等差数列的公差为．则，解得.故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，所以.因为当时，，．所以数列的前18项和为.
9．（2022·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以
.
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.
10．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知数列满足，其中是的前项和.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据的关系可得，根据此递推关系即可根据等差中项求证，
（2）根据裂项求和即可求解.
【详解】（1）由得：
当时，，
两式子相减得①，
因此可得②，
①②相减得：，
由于 ，所以，
所以是等差数列；
（2）由（1）知是等差数列，，所以，
因此，
所以.
11．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得首项和公比，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
依题意，，则.
，
若，则不成立，
所以且，所以，
即，
所以，解得.
所以.
（2），
，
，
两式相减得
.
所以.
12．（2022·河北秦皇岛·统考三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据所给递推关系，结合结论提示，变形递推关系，由等比、等差定义证明即可；
（2）由（1）求出通项公式，利用分组求和即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
13．（2022·河北沧州·统考二模）已知正项等比数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题设条件解出公比，即可求解（2）先求，再化简，最后根据的特征，采用裂项相消法求其前项和
(1)
由题意知．
设等比数列的公比为，则，
解得或（舍去），
所以．
(2)
由（1）可得，
所以，
所以．
即的前项和．
14．（2022·河北唐山·统考三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将题中条件转化，得到，之后利用累加法可求得答案；
（2）由（1）可知，利用时，放缩，再根据裂项相消法即可得出证明．
(1)
由已知，
即．
又，故，即（且）．
所以，当时，
当时，．
所以．
(2)
当时，．
．
法二：．
.
【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，在放缩时，注意的条件.
15．（2022·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)设，求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，两式作差可证得数列为等差数列，确定数列的首项和公差，即可求得的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
(1)
解：当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，，所以，，且，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
则，因此，.
(2)
解：因为
，
因此，.
16．（2022·河北张家口·统考三模）已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）计算得出，利用裂项相消法可证得结论成立.
(1)
证明：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，，且，
是首项为，公比为的等比数列.
(2)
证明：由（1）知，，，
，
.
17．（2022·河北·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设公差为，根据等差数列的通项公式及前项和公式得到方程组，解得、，即可求出通项公式；
（2）由指数和对数的关系得到，从而得到，利用裂项相消法求和即可；
(1)
解：设公差为，由，，
即，解得，
所以
(2)
解：由，即，所以，即，
所以
所以
18．（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知数列，满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用定义法证明出是公比为2的等比数列，再求出；
（2）先判断出当n为偶数时，.对n分奇偶讨论，分别分组求和及放缩后可以证明出.
（1）
，
，即，
，
数列是公比为2的等比数列.
又，，，
，
，
，
即.
（2）
由(1)，当n为偶数时，
，
故.
当n为奇数时， .
当n为偶数时，
.
综上，.
19．（2022·河北·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：是等比数列；
(2)求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）直接由得，又，即可证明是等比数列；
（2）先由等比数列通项公式求出，进而求得，按照分组求和和等比数列求和公式即可求解.
（1）
由可得，故，
又，故是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）
由（1）知：，则，故，
则
.
20．（2022·河北·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，求数列的最大项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先令，求出，然后利用，代入便可求的通项公式.
（2）求导后分析单调性，便可知数列的最值.
（1）
解：由题意得：
当时，
当时，，解得
故数列的通项公式
（2）
由（1）可知：
设函数
则
令，解得，可知
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
可以看成函数取正整数时的离散的点.
因为为整数，故或，有为数列的最大值.
故数列的最大项为：
21．（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知数列满足，前项的和，且.
(1)写出，并求出数列的通项公式；
(2)在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足___________，求实数使得数列是等差数列.
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
【答案】(1)，，
(2)若选①，；若选②，.
【分析】（1）根据递推关系可求得，可猜想得到；利用数学归纳法可证得；
（2）若选条件①，由可整理得到，由此可得；
若选条件②，由可整理得到，由此可得.
（1）
由得：；；
猜想可得：；
当时，满足；
假设当时，成立，
则当时，成立，
综上所述：当时，.
（2）
若选条件①，，
若为等差数列，则，
即，
，整理得：，
即，，解得：，
则存在实数，使得为等差数列；
若选条件②，，，
若为等差数列，则，
，
，整理得：，
即，，解得：，
则存在实数，使得为等差数列.
22．（2022·河北保定·统考一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据之间的关系，对进行下标的缩减，整理化简即可求得；
（2）由（1）中所求，求得，再利用裂项求和法即可求得结果.
(1)
因为，故当时，，
当时，，则，
当时，满足上式，所以.
(2)
由（1）得，
所以.
故数列的前项和.
23．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）设数列的前n项和为.已知，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与得关系，计算即可得出答案；
（2）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.
【详解】（1）解：当时，
由，得，
两式相减得，
所以，
，，
所以，
所以数列是以1为首项，为公比得等比数列，
是以；
（2）解：，
则，
，
两式相减得
，
所以.
24．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）设数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到，两式相减化简得到，得到，再结合，得到数列是以3为首项，3为公比的等比数列，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，得出，两式相减得到，根据题意得到，结合为奇数和n为偶数，两种情况讨论，结合单调性，即可求解.
(1)
解：因为数列的前n项和为，，，
当时，，
两式相减可得，
即，可得，即，
当时，，所以，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
所以数列的通项公式.
(2)
解：由，所以，可得，
则，
因为数列是递增数列，所以，即，
当为奇数时，，即，
又由，
所以数列单词递减，所以；
当n为偶数时，，即，
同理可得，数列单调递增，所以.
综上可得，实数t的取值范围为.
25．（2022·河北邯郸·统考一模）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先通过退位相减法得到，再按照定义证明等比数列即可；
（2）先由（1）求出，进而求出，再按照裂项相消求和即可.
(1)
证明：当时，，则.
因为，①
所以，②
由②①得，
化简可得，
，
所以数列是一个公比为的等比数列.
(2)
由（1）可知，化简可得.
.
所以.
26．（2022·河北·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且，，当时，，数列是正项等比数列，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)把和中的所有项从小到大排列，组成新数列，例如的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列的前1000项和.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）分析可知当时，数列为首项为，公差为的等差数列，再结合已知条件可得出数列的通项公式，由题可得的首项和公比，即得的通项公式；
（2）分析可知数列的前项包含有数列的前项，包含数列的前项，利用等差数列和等比数列的求和公式可求得的值.
(1)
当时，因为，
所以，得.
又因为，
所以当时，数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以
因为数列为正项等比数列，
所以公比，首项，因为，，
所以
解得，
所以.
综上，数列和的通项公式分别为，.
(2)
数列前1000项为2，2，3，4，5，…，1000，
数列为2，，，，…，，
所以数列的前1000项包含数列的项为2，2，3，4，5，…，991，共991项，
包含数列的项为2，，，，，，，，，共9项.
所以.
27．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）在①，②为等比数列，且，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．
已知数列，数列的前项和是，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：对任意均有恒成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）若选①，利用退一相减法可得通项公式；若选②，直接可得数列的首项及公比，进而可得通项公式；
（2）利用错位相减法可得，进而得证.
（1）
解：若选①，当时，，即；
当时，，，
作差可得，即，
所以数列为等比数列，其首项为，公比，
所以；
若选②，，则，即，
故数列为等比数列，所以，且，
所以；
（2）
证明：由（1）得，所以，
所以，
，
则
，
所以，
又，所以恒成立.
28．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）定义集合，数列满足
(1)定义数列，证明：为等比数列
(2)记数列的前项和为，求满足的正整数
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】（1）根据数列的递推公式求出，再根据等比数列的定义可证结论正确；
（2）求出，再根据累加法求出，然后解方程可得结果.
【详解】（1）依题意可得，，，，
当时，
，
又，都适合上式，
所以，
因为，所以为等比数列.
（2）依题意得，
，,
所以，
又， ，，，，
所以
，
所以
，
由，得，得，
得，得，得.
29．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列满足，，，为数列前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）代入，将条件化为，从而得到是常数列，进而得到是等差数列，由此利用等差数列的前项和公式即可得解；
（2）利用数学归纳法推得要证结论，需证，再次利用数学归纳法证得其成立，从而结论得证.
【详解】（1）因为，，
所以，则，
又，
所以是首项为的常数列，则，
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，，所以，，则，
因为，
所以当时，，所以；
假设当时，有，
则当时，，
因为，
所以要证，需证，
即证，
当时，，，则，
假设当时，有，
则当时，，
因为，所以，
所以，
综上：成立，
所以成立，
综上：恒成立.
30．（2022·河北·模拟预测）已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)，
【分析】（1）令，可求得，的值，再利用等比数列定义证明；
（2）由（1）知，代入可得，利用累加法可求解.
【详解】（1）∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.2023届河北省新高考数学复习
专题2 数列解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北·校联考模拟预测）已知为等差数列，.
(1)求的通项公式；
(2)若为的前项和，求.
2．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2022·河北张家口·统考一模）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
4．（2022·河北唐山·统考一模）已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.
(1)证明：；
(2)若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.
5．（2022·河北邯郸·统考二模）已知等比数列{}的公比，且，．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为，求数列{}的前n项和．
6．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
7．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
8．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
9．（2022·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
10．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知数列满足，其中是的前项和.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求的前项和.
11．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
12．（2022·河北秦皇岛·统考三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
13．（2022·河北沧州·统考二模）已知正项等比数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求的前项和．
14．（2022·河北唐山·统考三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
15．（2022·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)设，求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．（2022·河北张家口·统考三模）已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
17．（2022·河北·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列前n项和.
18．（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知数列，满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
19．（2022·河北·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：是等比数列；
(2)求的值.
20．（2022·河北·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，求数列的最大项．
21．（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知数列满足，前项的和，且.
(1)写出，并求出数列的通项公式；
(2)在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足___________，求实数使得数列是等差数列.
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
22．（2022·河北保定·统考一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
23．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）设数列的前n项和为.已知，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和.
24．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）设数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求t的取值范围．
25．（2022·河北邯郸·统考一模）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)已知，求数列的前项和.
26．（2022·河北·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且，，当时，，数列是正项等比数列，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)把和中的所有项从小到大排列，组成新数列，例如的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列的前1000项和.
27．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）在①，②为等比数列，且，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．
已知数列，数列的前项和是，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：对任意均有恒成立．
28．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）定义集合，数列满足
(1)定义数列，证明：为等比数列
(2)记数列的前项和为，求满足的正整数
29．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列满足，，，为数列前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立.
30．（2022·河北·模拟预测）已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
