2023届河北省新高考数学复习
专题1 解三角形解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北石家庄·统考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求边上的中线 长度的最小值．
2．（2022·河北沧州·统考二模）在中；内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，点为的中点，求的最大值.
3．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）已知的内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)若，，求；
(2)若点在线段上，且，，求的最大值.
4．（2022·河北衡水·统考二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分到为a，b，c，已知，.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)设△ABC的面积为S，若 ，S的值.在①；②；③三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.
5．（2022·河北保定·校联考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)若，求b；
(2)若D为的中点，且，求的面积.
6．（2022·河北邯郸·统考二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且．
(1)若，，且∠CAD为锐角，求CD的长；
(2)若，求的值．
7．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，求的周长的最大值．
8．（2022·河北·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，满足，且．
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
9．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
(1)若，求的大小；
(2)求的最小值.
10．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图，D为内部一点，于E，.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①；②；③.
11．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数，，与均在区间上单调递增，若的最大值为
(1)求的值
(2)在不等腰中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，证明：
12．（2022·河北秦皇岛·统考三模）从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在平面四边形中，已知，且__________．
(1)求；
(2)若，且，求的长．
13．（2022·河北唐山·统考三模）如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
14．（2022·河北唐山·统考二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求A；
(2)若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．
15．（2022·河北·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求C；
(2)若的平分线交于点D，且，求b.
16．（2022·河北·统考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若边上的中线长为4，求面积的最大值.
17．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，对角线交于点P.
(1)求的余弦值；
(2)求的周长.
18．（2022·河北秦皇岛·统考二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范围.
19．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，
(1)求角A的大小；
(2)请在① ② 两个条件任选一个，求的面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）
20．（2022·河北保定·统考一模）已知在△中，，的角平分线与相交于点．
(1)若，求的长；
(2)若，求△面积的最小值．
21．（2022·河北·模拟预测）如图，中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，若为外接圆劣弧上一点，求的最大值.
22．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.
(1)求角A的值；
(2)延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.
23．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
24．（2022·河北邯郸·统考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)若，，___________，求.
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
25．（2022·河北张家口·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
26．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）在△中，已知D是边上一点，且，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
27．（2022·河北·校联考模拟预测）在中，，，点在上，.
(1)若为中线，求的面积；
(2)若平分，求的长.
28．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求的值；
(2)在的延长线上有一点D，使得，求.
29．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求，.
30．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知，D为边AC上一点，，.
(1)若，，求；
(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.2023届河北省新高考数学复习
专题1 解三角形解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北石家庄·统考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求边上的中线 长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）边化角即可；（2）利用余弦定理和基本不等式解决.
【详解】（1）由得,
,
即.
（2）,
即
，当且仅当取等号．
2．（2022·河北沧州·统考二模）在中；内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，点为的中点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理可知，由此可知，进而求出.
（2）由（1）结合余弦定理可知，对其使用基本不等式可知，根据三角形中线的向量表示可知，对其两边平方，根据平面向量数量积公式以及基本不等式可知，由此即可求出结果.
(1)
解：在中，由正弦定理得.
因为，所以.
又，所以，所以.
因为中，，所以.
(2)
解：在中，由及余弦定理，
得，
所以，所以，当且仅当时等号成立.
又点为的中点，所以
，
所以，
即的最大值为.
3．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）已知的内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)若，，求；
(2)若点在线段上，且，，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合整理得，再借助诱导公式和倍角公式化简整理；（2）本题可以设，利用正弦定理边化角整理可得；也可以利用余弦定理得到边的关系，令整理得，结合二次函数零点分布处理．
(1)
由正弦定理可知：，
又，
故，则，
又，得，
由于，所以，即
由余弦定理可知，，即，
解得或（舍去）
(2)
解法一：设，
由正弦定理可得：，
即，
故，，
从而，
其中，
当时，有的最大值为.
解法二：在中，由余弦定理得，，
即，即
令，从而，
整理得
依题意，上述关于的方程有正实数解；
因为函数的对称轴
所以，解得.
所以的最大值为，此时，.
4．（2022·河北衡水·统考二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分到为a，b，c，已知，.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)设△ABC的面积为S，若 ，S的值.在①；②；③三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.
【答案】(1)证明见解析
(2)选①：；选②：；选③：
【分析】（1）由三角形的余弦定理，结合三角形的形状即可得证.
（2）分别选①②③，运用余弦定理、同角的基本关系和向量数量的定义、面积公式，可得所求值.
(1)
证明：因为
所以
由余弦定理可知，，即，即为等腰三角形.
(2)
解：由题意得：
选①：由（1）可知，，所以
所以，
整理得：，解得，
所以，
所以
又由，可得，
所以；
选②：因为
所以，解得，
所以，得，；
选③：因为，且，
所以
故，
因此
于是
5．（2022·河北保定·校联考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)若，求b；
(2)若D为的中点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 ，然后按照正弦定理计算即可；
（2）利用 ，以及AD是中线的特点列方程即可.
(1)
因为，所以
在中，由正弦定理得，
即.
(2)
在中，由余弦定理得……①
因为D为的中点，所以.
在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
由得……②
联立①②可得，即，
故答案为： ， .
6．（2022·河北邯郸·统考二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且．
(1)若，，且∠CAD为锐角，求CD的长；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设可得，进而求得，应用余弦定理求CD的长；
（2）由正弦定理可得、，结合即可求目标式的值.
（1）
由，，则，
所以，又∠CAD为锐角，则，
又，在△中，可得.
（2）
由，
在△中，则，
在△中，则，
又，故，又，
所以.
7．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，求的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知，进而解方程并结合题意得，故；
（2）根据题意，结合余弦定理与基本不等式得，进而得答案.
(1)
解：由，得，
即．
因为是锐角三角形，
所以，则，
（舍去），
所以，所以．
(2)
解：由余弦定理得，又，
所以，，
当且仅当时取等号，此时，
所以，即．
所以（时取等号），
周长的最大值为．
8．（2022·河北·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，满足，且．
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案；
（2）由正弦定理得，
再利用两角和的正弦展开式和的范围计算可得答案.
【详解】（1）由、正弦定理可得，，
因为，所以，
而，所以，
即，
；
（2）由正弦定理得，即，
，
，
.
9．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
(1)若，求的大小；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出的大小.
(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解的最小值.
【详解】（1）在中， ，
进而，
，
，
又不为直角，则，，
，.
（2）由(1)知，
转化为，又，，.
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为.
10．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图，D为内部一点，于E，.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①；②；③.
【答案】答案见解析.
【分析】以①③为条件，②为结论：由已知可得，，.设，则，表示出各边长，由勾股定理，可推出.代入，整理可得关于的方程，得，由正弦定理可推得②成立；
以①②为条件，③为结论：由已知可得的长，.由勾股定理，可推出.根据三角形相似，求出，，代入可得，，进而得到，由余弦定理即可推得③成立；
以②③为条件，①为结论：由已知可推出，.设，，则，得到.由勾股定理得.然后得到.由，可得，即，结合图象得到，所以有，即①成立.
【详解】
以①③为条件，②为结论：
证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.
由可得，，.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，则，则.
设，则，又，所以，
则，，.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
代入整理可得，，即.
解关于的方程可得，，
因为，所以不成立，舍去.
所以，.
由正弦定理可得，，
又，所以，
所以，即②成立.
以①②为条件，③为结论：
证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.
设，，则，
由可得，，.
由可得，，
由正弦定理可得.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
因为，所以.
由已知可得，，所以∽，所以有，即，
所以，所以，，
所以，
即，整理可得.
在中，，则，
所以.
则在中，由余弦定理可得，
所以有，即③成立；
以②③为条件，①为结论：
证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.
由可得，，
由正弦定理可得.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，则，则.
设，，则，又，所以，
则，
，.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，则，则.
由可得，，
由正弦定理可得.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
因为，所以.
，
所以有，
整理可得.
因为，所以，所以，所以.
即，由图知，所以有，即①成立.
11．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数，，与均在区间上单调递增，若的最大值为
(1)求的值
(2)在不等腰中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
【分析】（1）把降幂后，分别求出的增区间，再求出得公共增区间，然后由题意可得；
（2）由（1）代入后化简，并由正弦定理、余弦定理化角为边，整理可证．
【详解】（1），
，，，，
的增区间是，，
，
，则，
因此的增区间是，，
所以它们公共增区间是，每个区间的长度为，
由题意，∴；
（2）由（1），，
已知式为，，
由正弦定理、余弦定理得，整理得，
三角形是不等腰的三角形，即，
∴，即．
12．（2022·河北秦皇岛·统考三模）从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在平面四边形中，已知，且__________．
(1)求；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，先用正弦定理算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算；若选②，先用面积公式算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算.
（2）先用两角和的正弦公式算出，然后利用正弦定理计算的长.
（1）
选①
因为，所以，解得，
所以，
解得．
由，得．
选②
由，得，
所以，解得．
由，得．
（2）
由（1）知，又，
所以，从而，
所以，
由，得．
13．（2022·河北唐山·统考三模）如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由与，结合与基本不等式求解即可
【详解】（1）∵，由与余弦定理
∴，
整理得，，
∴．
∴为直角三角形．
（2）∵，
∴．
由，得．
．（当且仅当时取等号）
所以四边形面积S的最大值为12．
14．（2022·河北唐山·统考二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求A；
(2)若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角即可；
（2）利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理联立求解周长即可.
（1）
由正弦定理得，
在中，，
化简为，又，
，又
；
（2）
依题意得，
即，
由余弦定理得，
，解得
的周长为.
15．（2022·河北·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求C；
(2)若的平分线交于点D，且，求b.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理进行求解.
（2）依据题意作出简图，在中，利用正弦定理及余弦定理求出角得值，然后在中，求解出角的值，利用正弦定理，即可求解边.
(1)
解：∵，由正弦定理得：，
整理得：，
又由余弦定理得：，
又，故.
(2)
根据题意作出简图，如下：
在中，，，，
由余弦定理得：，
解得，
由正弦定理得：，则，解得，
又由（1）知，故，
在中，
，
由正弦定理得：，则，解得.
故.
16．（2022·河北·统考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若边上的中线长为4，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理将已知的式子统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可求出角C；
（2）在和中分别利用余弦定理可得，再结合（1）中的，可得，然后利用基本不等可得，再由三角形的面积公式可求出其最大值
(1)
因为，
所以由余弦定理得，，
，
，
整理得，
，
因为，所以，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
(2)
因为边上的中线长为4，
所以，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
，
因为，
所以，
所以，即，
当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为，
17．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，对角线交于点P.
(1)求的余弦值；
(2)求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，再用余弦定理即可得解；
（2）在中，通过正弦定理可得，再通过余弦定理可得，进而得周长.
（1）
因为，
所以，，，
所以，
所以在中，.
（2）
因为，
在中，由正弦定理可得，
即，
由余弦定理得：，
即，解得或（大边对大角，舍去）
故的周长为.
18．（2022·河北秦皇岛·统考二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出，进而求出的大小；
（2）依题意可化简，根据的范围求出的取值范围即可.
（1）
因为，
所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
（2）
由（1）知
.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即的取值范围是.
19．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，
(1)求角A的大小；
(2)请在① ② 两个条件任选一个，求的面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）
【答案】(1);
(2)选① ，选② .
【分析】（1）根据正弦定理转化为角的三角函数，利用二倍角公式、诱导公式化简即可得解；
（2）选① 由正弦定理求出a, 再由余弦定理求出c, 利用三角形面积公式求解；选② 直接由余弦定理求出c，再由三角形面积公式求解.
【详解】（1）由可得：，
即，
即，
因为，
所以，
所以， 即, .
（2）选① ：，由正弦定理可得，
即，解得，
由余弦定理可得，即，解得(负值舍)，
所以.
选② ：，由余弦定理可得，
即，解得，
所以.
20．（2022·河北保定·统考一模）已知在△中，，的角平分线与相交于点．
(1)若，求的长；
(2)若，求△面积的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）在△中由余弦定理求得，再在△△中由正弦定理结合即可求得结果；
（2）根据△的面积为△△的面积之和，求得，再结合三角形面积公式和基本不等式即可求得三角形面积的最小值.
(1)
因为，，
利用余弦定理可得：，故，
在中，，在中，，
两式相除可得，又，所以.
(2)
根据题意得△的面积等于△的面积与的面积之和，
又，，所以，
整理得：又，当且仅当时取等号，
故，则，所以，
故△面积的最小值为．
21．（2022·河北·模拟预测）如图，中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，若为外接圆劣弧上一点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：先用正弦定理化边为角，再用正弦公式化简，即可求得的值，最后结合三角形角的范围即可求得结果；
法二：先用余弦定理对化角为边，化简后再用余弦定理化边为角，即可求得的值，再结合三角形角的范围即可求得结果；
（2）法一：设，先用正弦定理化角为边，结合辅助角公式，即可得到关于的函数，讨论最大值即可；
法二：用余弦定理化角为边，结合基本不等式得到关于的不等式，最后讨论最大值及其成立的条件.
【详解】（1）法一：∵，由正弦定理得：
，
∴，
∴，
∵，∴，又∵，∴.
法二：∵，由余弦定理得：
，
∴，
∴，∵，∴.
（2）由（1）知，，而四边形内角互补，则，
法一：设，则，由正弦定理得：
，
∴，，
∴
，
当且仅当时，的最大值为.
法二：在中，，，由余弦定理得：
，
∴，
∴，
当且仅当时，的最大值为.
22．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.
(1)求角A的值；
(2)延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）化简即得解；
（2）设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解方程即得解.
(1)
解：由题得. 因为.
(2)
解：如图，设，
在中，由余弦定理得，（1）
在中，由余弦定理得，
即，（2），（1）（2）得 .
所以△ABC的周长为.
所以△ABC的周长为.
23．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；
（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解
【详解】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因为为锐角三角形，所以且，
则，,则，．
24．（2022·河北邯郸·统考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)若，，___________，求.
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理化简条件可得，从而求出；
（2）选择条件①：利用向量的加法和数量积运算；选择条件②：利用面积关系进行计算；
(1)
（1）由正弦定理得，.
因为，所以，
所以，即.
又，则，所以.
(2)
（2）选择条件①：因为，所以，
，
.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，所以，
则，
解得.
25．（2022·河北张家口·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，角化边，结合余弦定理求得，即可得答案;
（2）由余弦定理可得，配方后利用基本不等式可求得,从而求得三角形周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理，得,即，
由余弦定理得，，
又，所以.
（2）由和（1）可知，
则，
得，即，
所以（当且仅当时，取得等号），
所以周长的最大值为.
26．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）在△中，已知D是边上一点，且，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知及正弦定理可得，再结合二倍角正弦公式、平方关系求值即可.
（2）首先求的值，再在△中应用余弦定理求的长.
(1)
在△中，由正弦定理得，①
在△中，由正弦定理得，②
又，，则，，
①②得．
(2)
由（1），设，，
．
在△中，由余弦定理得，即，解得．
所以．
27．（2022·河北·校联考模拟预测）在中，，，点在上，.
(1)若为中线，求的面积；
(2)若平分，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可求得，进而可得出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）利用正弦定理可求得，进而可求出，可知为等腰三角形，再利用余弦定理可求得.
(1)
解：由余弦定理得，
，解得（负值舍）.
所以，，
故.
(2)
解：由正弦定理得，即，解得.
又，则，，.
又平分，则.
所以，，则，故.
由余弦定理得.
因此，.
28．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求的值；
(2)在的延长线上有一点D，使得，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合二倍角的正弦公式化简变形，计算作答.
(2)由(1)结合三角恒等变换求出，再利用正弦定理求解作答.
（1）
在锐角中，，
由正弦定理得：，而，
所以.
（2）
因是锐角三角形，由(1)得：，
，
在中，由正弦定理得：，
即，解得，
所以.
29．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得的值，进而求得；
（2）利用三角形面积公式求得的值进而根据余弦定理求得的值，最后联立方程求得和．
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得：，
，
，，
，，，
.
（2）解：，，
由余弦定理得：，，
联立，解得.
30．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知，D为边AC上一点，，.
(1)若，，求；
(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用平面向量的加减运算得到，再利用平面向量的数量积运算法则求得，又利用余弦定理与数量积运算求得，由此利用三角形面积公式即可得解；
（2）先由角平分线性质定理得到，再利用余弦定理与数量积运算求得，从而利用三角形面积公式与内切圆的性质得到，进而利用换元法与不等式的性质求得的范围，由此得解.
【详解】（1）如图1，，，
所以，
因为，，
所以，
故，则，即，
又，则，故，
不妨记，，则，
因为，
所以，解得，则，
因为，所以，
所以.
.
（2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与，
因为直线BD平分，
所以由角平分线性质定理得，记，则，
记，则，
因为，
所以，
因为，即，则，
所以，即，
因为（为顶点到的距离），
又，，
所以，则，
令，则，，
所以，
因为，所以，则，故，
所以，即，
所以，故，
所以与内切圆半径之比的取值范围为.
.
