2023届河北省新高考数学复习
专题3立体几何解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北邯郸·统考二模）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等腰直角三角形，且，△ABP是正三角形．
(1)若，求证：平面ABP⊥平面ABC；
(2)若直线PC与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2).
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式,结合线面角、面面角的定义进行求解即可.
(1)
设的中点为，连接，
因为，所以，
因为△ABP是正三角形，所以，因此，
而平面，所以平面，
而平面，所以，
因为△ABC为等腰直角三角形，且，
所以，而平面ABP，
所以平面ABP，而平面ABC，
所以平面ABP⊥平面ABC；
(2)
建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，
因为△ABP是正三角形，所以该三角形的高为，
于是有，设平面ABC的法向量为，，
因为直线PC与平面ABC所成角为，
所以，而，
解得：，，即，
设平面的法向量为，
，，
所以有，
.
2．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图，用一垂直于某条母线的平面截一顶角正弦值为的圆锥，截口曲线是椭圆，顶点A到平面的距离为3.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知P在椭圆上运动且不与长轴两端点重合，椭圆的两焦点为，，证明：二面角的大小小于.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据圆锥的几何性质借助于轴截面运算分析；（2）建系，先求两平面的法向量，则可得，换元，利用放缩结合导数求的取值范围，即可得结果.
【详解】（1）以椭圆的中心以及短轴的顶点作平行于圆锥底面的截面（截面为圆），如图为圆锥的轴截面，
由题意可得：，则椭圆的长轴长，即，
设圆锥的顶角为，由题意可知
∵，则，解得或（舍去），
∴，
在中，可得，则，
在中，则，
可得，
故，
在中，可得，
即截面圆的半径为，则椭圆的短轴，
故椭圆的短轴长，即，则，
∴椭圆的离心率.
（2）如图，以椭圆的中心为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设，平面的法向量为，
∵，则，
令，则，即，
同理可得：平面的法向量为，
则
令，则，
当时，则，
∴，
构建，
则，
当时，则，
令，则，
则在上单调递增，在上单调递减，故；
当时，令，则，
令，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
∴在上单调递减，则；
综上所述：当时恒成立，
∴，
设二面角的平面角为，由题意可得，
∴，即二面角的大小小于.
3．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到BD⊥，再证明出AB⊥，从而得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.
【详解】（1）取AB的中点N，AC的中点D，连接BD，，CN，
因为底面是边长为2的正三角形，，
所以，BD⊥AC，CN⊥AB，
因为平面平面，交线为AC，平面，
因为BD⊥AC，
所以BD⊥平面，
因为平面，
所以BD⊥，
因为，平面，
所以AB⊥平面，
因为平面，
所以AB⊥，
因为，平面ABC，
所以平面ABC；
（2）过点C作CFAB，
以C为坐标原点，CN所在直线为x轴，CF所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，，
设平面的法向量为，
则，
解得：，设，则，
故，
故，
因为，解得：，
故
设平面的法向量为，
则，
设，则，
则，
设平面与平面夹角的余弦值为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
4．（2022·河北沧州·统考二模）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即得.
(1)
因为矩形中，为的中点，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
因为，
所以平面.
因为平面，
所以，又，
所以平面.
(2)
由（1）知两两相互垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，令，连接，
则，
所以.
设平面的一个法向量为，
则，得，
所以，令，得，所以，
由（1）知是平面的一个法向量，
所以，
故二面角的余弦值为.
5．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点.
(1)若平面，求的值；
(2)若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，交于点，由线面平行性质可证得，又，由平行线分线段成比例可求得结果；
（2）取中点，可证得四边形为矩形，则以坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定可证得平面，可知平面的一个法向量为；设，利用二面角的向量求法可构造方程求得；利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）连接，交于点，连接；
平面，平面，平面平面，
，；
，，，
，即的值为.
（2）取中点，连接；
，，四边形为平行四边形，，
又，四边形为矩形，则，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
，，即；
平面，平面，；
平面，，平面；
设，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，；
又平面的一个法向量为，
，解得：；
，，，
直线与平面所成角的正弦值为.
6．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，，M，N，P，D分别为，BC，，的中点.
(1)求证：面；
(2)求平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）解法一，建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，确定平面的一个法向量，计算，即可证明；
解法二，证明平面平面，利用面面平行的性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，确定平面的一个法向量，求出平面PMN的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.
【详解】（1）解法一：
以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
取向量为平面的一个法向量，，
∴，
∴.
又∵平面，
∴平面.
解法二：
∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面.
（2）以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
∴，,
取向量为平面的一个法向量，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，，则，
∴，
由图示可知平面PMN与平面的夹角为锐角，
∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为.
7．（2022·河北·模拟预测）如图，三棱锥中，，平面，点在线段上，且满足．
(1)证明：；
(2)若二面角的正弦值为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，从而可得，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求得，再利用勾股定理可得，易证明平面平面，再根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的正弦值求得，再根据棱锥的体积公式即可得解.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为，
所以，所以，所以，
由余弦定理得，
，则，
因为，所以，
因为平面平面，
所以面面，又面面，，面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
设，则，故，
设平面，平面的法向量分别为，
则，可取，同理得，
设二面角的大小为，则，
，解得或
当时，，
当时，，
故三棱锥的体积为或．
8．（2022·河北·模拟预测）如图1所示，在平行四边形中，，，将沿折起，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点，点为棱上一动点．
(1)证明：；
(2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，，结合已知条件先证明，再证明，得到平面，从而结论即可得到.
（2）设，，利用体积求得，进而建立以A为坐标原点，以，为，轴，以过A且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量，利用向量法可求出最大值．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，，
点为棱的中点，在中，
，
，，
在平行四边形中
有，，
，
，
折起后也有
所以，
，，
为二面角的平面角，即，
平面，平面
，
，，
为正三角形，
，
，
平面，
平面，
，
，
平面，
平面，
.
（2）设，，
那么点到面的距离就是的长，也就是，
，
，
解得，
，，
以A为坐标原点，以，为，轴，以过A且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，4，，，1，，
设点，
根据与方向相同得：，
，，，
，，1，，
设平面的一个法向量为，
，
令，
解得，，
平面的一个法向量为
，，，
．
当时取到等号
直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
【点睛】本题考查方向：
①证明线线，线面，面面平行
②证明线线，线面，面面垂直
③线面角
④异面直线所成角
⑤二面角的大小，二面角大小的正弦、余弦值
⑥已知二面角大小或正弦、余弦值求参数
解决方法：利用线线，线面，面面平行或垂直的判定定理及性质定理；建立空间直角坐标系，利用法向量解决问题.
9．（2022·河北唐山·统考三模）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，．
(1)证明：平面；
(2)若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因为平面平面，故要证平面，需证，需证平面，需证，而不难证明（2）建立恰当的空间直角坐标系，用空间向量求解即可
【详解】（1）证明：取中点，连接．
∴，
∴四边形为菱形，四边形为平行四边形．
∴，
∴．
又∵，
∴平面．
又∵平面，
∴．
又∵平面平面，且平面平面，
∴平面．
（2）∵平面，
∴，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴底面是直角梯形．
以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则．
，．
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由得取．
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
10．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.
(1)若点为线段中点，求证：；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，根据、勾股定理可确定，由为正三角形可知，由线面平行的判定得到平面；由可得平面；由面面平行判定知平面平面，由面面平行和线面平行性质可证得结论；
（2）过点作，由面面垂直性质可证得平面，结合，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）取中点，连接，
，，，
且，，，
，
为中点，为正三角形，即，，
平面，平面，平面；
在中，为中位线，，
又平面，平面，平面；
又，平面，平面平面，
又平面，平面，
又平面平面，平面，.
（2）过点作，交于点，连接.
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，，，直角三角形，且，
，，；
又，即，且，
则以为坐标原点，分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
11．（2022·河北张家口·统考三模）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若是的中点，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
（1）
证明：设，过在平面内作的垂线分别交、于、，
过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，
在等腰梯形内，，，，
所以，，所以，，
，，，所以，四边形为矩形，
所以，，所以，，
所以，，同理可得，
，则，所以，，，
，，，所以，，，
，所以，，所以，，
因为，则点为的中点，同理可知为的中点，
，所以，，所以，，
平面，平面，，
，因此，平面.
平面，所以，平面平面.
（2）
解：因为，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
所以，，
由图可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.
12．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台中，上底面圆的半径为2，下底面圆O的半径为4，过的平面截圆台得截面为，M是弧的中点，为母线，.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由，可求得圆台的高，进而由坐标计算可证；
（2）由坐标计算可得平面MBN的法向量为，平面ABN的法向量为，根据夹角公式可求得二面角的余弦值，进而得到正弦值.
【详解】（1）
如图建立空间直角坐标系， 设OO1的长度为t，
则，，，，，，
由题知，解得
∴，，
，∴
，∴
又∵，OM，OA1在平面内
所以平面；
（2）设平面MBN的法向量为，平面ABN的法向量为，
则，∴
，∴
设二面角为锐二面角，
∴，
∴
故二面角的正弦值为.
13．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，是等腰直角三角形，，平面平面，.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的对角线的性质及面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据（1）知结合已知条件建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式及同角三角函数的平方关系即可求解.
（1）
因为四边形是菱形，所以.
因为是等腰直角三角形，，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以.
又，所以平面.
（2）
由（1）可知，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示
由题意可知，四边形是边长为2的菱形，且，所以,
所以，，，，，
设，则，所以，即，解得..
，.
设为平面的一个法向量，则
，即，令，则.
所以.
由图意可知，平面，所以为平面的一个法向量.
设平面与平面所成二面角为，则
所以.
所以.
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
14．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，，二面角为直二面角．
(1)若，证明：平面ABD⊥平面ACD；
(2)若，，二面角的余弦值为．求CD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1) 二面角为直二面角推出平面，所以，又，得到平面AB⊥平面ACD，进一步得平面ABD⊥平面ACD.
(2) 以的中点为坐标原点，分别以面内垂直于的直线、直线、直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，分别求出平面和平面法向量，由面角的余弦值为，求出解得，则.
（1）
因为二面角为直二面角， 所以平面平面.
又平面平面=，平面，，所以
，所以平面，又平面，所以，又，
，所以平面AB⊥平面ACD，又因为平面，所以平面ABD⊥平面ACD.
（2）
如图，以的中点为坐标原点，分别以面内垂直于的直线、直线、直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设 ，因为，则，所以
，
设平面的法向量为，则，令，
得平面的一个法向量，
同理，得平面的一个法向量，
由二面角的余弦值为，有，
解得，则.
15．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）如图，平行六面体的底面是矩形，P为棱上一点.且，F为的中点.
(1)证明：；
(2)若.当直线与平面所成的角为，且二面角的平面角为锐角时.求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)取的中点，连接，证明AB⊥平面PEF即可；
(2)以为坐标原点，以过与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系，设设，h为P到平面ABCD的距离，求出平面PCD的法向量，根据直线与平面所成的角为求出a和h一个方程，根据PD＝2得到a和h的另外一个方程，联立方程，结合二面角的平面角为锐角可求a和h的值，从而根据可求体积.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵∴，
∵四边形为矩形，∴，
∵为中点，∥，∴，
又∵，∴平面，
∵平面，∴；
（2）如图，以为坐标原点，以过与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，h为P到平面ABCD的距离，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，∴，
又∵，∴(*)，
设直线与平面所成的角为，
，
解得，或，
当a＝0时，平面PCD法向量为，则平面PCD与平面ABCD垂直，此时二面角的平面角为直角，∴(舍)，∴，代入(*)可得，
∴
16．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线与所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得，可证得平面，利用线面垂直的性质可得出，利用以及线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）推导出为等边三角形，取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，则，利用空间向量法求出的值，再利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
（1）
证明：取的中点，连接、，
、分别为、的中点，则且，
又因为，，所以，且，
则四边形为平行四边形，所以．
又平面，所以，平面，
平面，，
又，，所以平面．
（2）
解：平面，平面，，
为的中点，故，又因为，故为等边三角形．
取的中点，连接，
，为的中点，则，
因为平面，平面，则，
，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，
设，，则，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，易知为钝角，
所以，，解得，
则，，
，
设与所成的角为，则，，则，
故与所成角的正切值为.
17．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.
(1)证明：；
(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）以B为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.
(1)
因为点在底面内的射影是点，
平面，
平面，
.
在三角形中，，
，，
平面，
平面，
.
(2)
平面，直线与底面所成角的大小为，
，.
以为坐标原点，过点作，以的方向为轴正方向，分别以，的方向为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，
，.
设平面的法向量为，
可取.
平面的一个法向量是，
，
二面角的大小为.
18．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知矩形ABCD中，，，M为AB中点，沿AC将折起，得到三棱锥．
(1)求异面直线PM与AC所成的角；
(2)当二面角的大小为时，求AB与平面PBC所成角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形相似证明DM⊥AC，从而线面垂直，利用线面垂直性质即可求出异面直线夹角；
（2）结合（1）中结论，求得PA⊥平面PBC，方法一：利用定义法作出线面角，从而在直角三角形中求出，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求解
【详解】（1）设AC与DM相交于点O，
∵矩形ABCD中AB＝2，，M为AB中点，
∴AD∶DC＝MA∶AD，∴△ADC∽△MAD，
∴∠DCA＝∠ADM，
∵∠ACD＋∠DAC＝，∴∠ADM＋∠DAC＝，
∴∠DOA＝，∴DM⊥AC．
由折叠可知PO⊥AC，OM⊥AC，
∵POOM＝O，PO平面POM，OM平面POM，∴AC⊥平面POM，
∵PM在平面POM内，∴AC⊥PM．
∴PM与AC所成的角为
（2）由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC，
∴二面角P—AC—B所成平面角为∠POM＝60°
，，可知PM＝1，
又∵AM＝1，，∴PM⊥AB，
方法一：
∵M为AB中点，∴，∴PA⊥PB，
又∵PA⊥PC，PC与PB交与P点，PC平面PBC，PB平面PBC，
∴PA⊥平面PBC，
∴∠ABP即为AB与平面PBC所成的角，
∵∠ABP＝，
∴AB与平面PBC所成的角为．
方法二：
PM⊥AB，由（1）知AC⊥PM．AC与AB交与A点，
AC平面ABC，AB平面ABC，∴PM⊥平面ABC，
取AC中点E，连接ME，则ME∥BC，∴ME⊥AB，
以M为坐标原点，分别以ME，MA，MP所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系M—xyz，
∴A（0，1，0），B（0，-1，0），，P（0，0，1），
∴，，
设平面PBC的法向量，则，
∴，令得，平面PBC的一个法向量，
设AB与平面PBC所成的角为，则，
∴AB与平面PBC所成的角为.
19．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）如图1，已知是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折起，并连接得到如图2所示的几何体.
(1)判断几何体是哪种简单几何体，并证明；
(2)在几何体中，若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.
【答案】(1)几何体是三棱台，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，进而证明面面平行，再利用边与边的比值关系，判断几何体是三棱台.
（2）根据题意，以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法，计算出所求二面角的余弦值即可.
【详解】（1）几何体是三棱台，证明如下：
由条件知，又平面平面，
所以平面，同理，平面.
因为，平面，所以平面平面.
另一方面，延长交于点M，如图，
因为且，
所以，解得.
同理，延长交于点，也可得，
故点M和点重合，即延长后交于同一点M，
从而几何体是三棱台.
（2）因为，
所以是直二面角的一个平面角，
从而.
以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
所以，又因为，所以.
而平面，
所以平面是平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量，
由及得
取，得.
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
所以，
即二面角的余弦值是.
20．（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在一点使得平面与平面夹角的余弦值为.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，在线段三等分点或六等分点
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用得到点坐标，进而用空间向量法求解即可.
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，且交线为，面
所以平面，
因为平面，所以，
在正三角形中为的中点，所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）取的中点为，过作的垂线交于，连接，
显然，，
又侧面底面，且交线为，面
所以底面，
所以两两垂直，
以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
令正方形的边长为2，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
假设存在点满足题意，设，
则，可得点的坐标为
所以，又，
设平面的法向量，
则，令，得，
由平面与平面夹角的余弦值为可得，
解得或，
即当在线段三等分点或六等分点时，满足题意.
21．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得外接球半径为2，过P点作，利用各边关系可证为，即可得到平面，进而证得面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据面面夹角公式求解即可；
（3）设N为，由题意可知，即可解出点N的轨迹方程为，进而求的轨迹的长度.
【详解】（1）证明：设O为矩形对角线的中点，
∴．
即．
∴O为三棱锥外接球的球心．
又∵三棱锥外接球表面积为，
∴外接球半径为2．
即．
过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F，
则，，，，
∴
而，
在中，满足
∴为直角三角形，
∵，，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面．
（2）以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
可知：
且
设平面的法向量为，
得，取，则，
设平面的法向量为，
得，取，则
设平面与平面夹角为，
则
所以平面与平面夹角余弦值为是．
（3）由（2）中空间直角坐标系可设N为，，，
，
取平面法向量为．
∵直线与直线与平面所成角相等，
∴
得：
整理得：，即
∵N点在边及其内部，
∴N的轨迹为圆落在边及内部的部分．
∴轨迹长度为半径为1的圆周长为．
得
∴N点轨迹长度为．
22．（2023秋·河北唐山·高三唐山市丰南区第一中学校考期末）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，底面ABCD为梯形，，且，．作交AD于点H，连结AC，BD交于点F．
(1)设G是线段PH上的点，试探究：当G在什么位置时，有平面PAB；
(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值．
【答案】(1)当点G是线段PH．上靠近点H的三等分点时，有平面PAB
(2)
【分析】（1）取线段AD靠近点A的三等分点M，取线段PD靠近点P的三等分点N，连结MN交PH于点G，根三角形相似可得以，，从而可证明平面面，从而得出答案.
(2) 由条件可得面ACD．则，，以H为坐标原点，可建立空间直角坐标系，利用向量方法可求解.
【详解】（1）当点G是线段PH上靠近点H的三等分点时，有平面PAB．
证明：取线段AD靠近点A的三等分点M，取线段PD靠近点P的三等分点N，连结MN交PH于点G．
由底面ABCD为梯形，，，
所以△ABF∽△CDF，则．
又，所以，．
而面PAB，面PAB，
则面PAB，面PAB．
又，
所以平面面．又平面MNF，
所以平面PAB．
（2）因为，，即△PAD为正三角形．．
又，，所以△ADC为正三角形．
所以．
由平面平面ABCD，，平面PAD，平面平面，
得面ACD．
所以，．
于是，以H为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系H-xyz．
则点H，P，C，B的坐标依次为：，，，．
所以，．
设面PBC的一个法向量为，
由,得，
令可得，，即．
面PAD的一个法向量为，
设面PAD与面PBC所成二面角的平面角为，则
，．
故平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值为．
23．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）在等腰梯形中，，，，沿将翻折，使点到达点的位置，连接，如图所示.已知三棱锥体积的最大值为.
(1)求；
(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）过点做AC的垂线，垂足为E，由题意得出当时，三棱锥体积的最大值，设出，即可根据题意列出三棱锥体积的最大值的式子，即可解出答案；
（2）设点F是线段BC的中点，连接EF，过点D作平面ABC的垂线，垂足是G，连接GE，通过已知以及第一问得到的长度得出是二面角的平面角，以及点G、E、F共线，即可得到DG与GE的长度，再以点A为原点，、方向为x、y轴正方向，以垂直于平面ABC且过点A的直线为z轴，建立空间直角坐标系，即可由直线与平面所成角的向量求法得出答案.
【详解】（1）过点做AC的垂线，垂足为E，
，
当点M移动时，保持不变，
则当时，三棱锥体积的最大值，
设，则根据题意可得，，
则，
，
，且，
点E是线段AC的中点，
则，
则三棱锥体积的最大值，
解得：，
故.
（2）设点F是线段BC的中点，连接EF，过点D作平面ABC的垂线，垂足是G，连接GE，
则，
，
，
，
，且平面ACD与平面ABC交于直线AC，
是二面角的平面角，即，
平面ABC，且GE、EF都属于平面ABC，
、，
点G、E、F共线，
，
，，
以点A为原点，、方向为x、y轴正方向，以垂直于平面ABC且过点A的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面ACD的一个法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
24．（2022秋·河北邯郸·高三涉县第一中学校考期中）如图1，在等腰梯形中，分别是的中点，，，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2.
(1)当时，证明：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明平面平面；
（2）首先建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，并表示向量夹角的余弦值，即可求的值.
【详解】（1）证明：因为，所以是的中点，
因为分别是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面
因为分别是的中点，所，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以//平面.
因为平面，且，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）
取的中点，连接，
由条件可知，四边形和是平行四边形，且,
所以，，是等边三角形，
所以，，
因为平面平面，平面平面，
所以平面,
所以两两垂直，则以为原点，分别以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，所以，
因为，所以，所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，则，
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，解得.
25．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面；
（2）根据题意结合二面角的定义可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角．
【详解】（1）取线段中点，连接，
由图1可知，四边形是矩形，且，
是线段与的中点，
且，
在图1中且，且．
所以在图2中，且，
且
四边形是平行四边形，则
由于平面，平面
平面
（2）由图1，，折起后在图2中仍有，
即为二面角的平面角．
，
以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，
且设，
则，
，
，
设平面的一个法向量，
由，得，取则
于是平面的一个法向量，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为
【点睛】
26．（2022秋·河北邢台·高三河北南宫中学校考阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)总有平面平面，证明详见解析
(2)
(3)存在，是的中点，理由见解析.
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.
（3）利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置.
【详解】（1）折叠前，因为四边形是菱形，所以，
由于分别是边，的中点，所以，
所以，
折叠过程中，平面，
所以平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）当平面平面时，四棱锥体积最大，
由于平面平面，平面，，
所以平面，由于平面，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
依题意可知，
设平面的法向量为，
则，故可设，
所以到平面的距离为.
（3）存在，理由如下：
，，
设，则，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
设平面与平面所成角为，
由于平面与平面所成角的余弦值为，
所以，
解得或（舍去），
所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为.
27．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.
(1)若点是的中点，证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点为棱上靠近端点的三等分点
【分析】(1) 利用等腰三角形证明且，得出平面，即可得平面平面.
(2)建立空间直角坐标系，设，由直线与平面所成的角的正弦值为，借助于平面法向量解出.
【详解】（1）证明：∵点在底面上的射影为点，∴平面，
∵四边形是边长为的正方形，∴，
∵，∴，即：，
∴，又∵，点是的中点，
∴，同理可得：，
又∵，且平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面.
（2）如图，连接，易知，，两两互相垂直，
分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
假设存在点使得直线与平面所成的角的正弦值为，
∵点在棱上，不妨设，，
又，
∴，∴，
∵，，
设平面的法向量为，则
令，则，∴，
又，设直线与平面所成的角为，则，
∴，
即，解得：或（不合题意，舍去），
∴存在点符合题意，点为棱上靠近端点的三等分点.
28．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.
(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而假设是直线与的公垂线，利用空间向量垂直的坐标表示得到关于的方程组，从而推出矛盾，由此得证；
（2）利用（1）中结论，求得直线与的公共法向量，从而利用异面直线间的距离公式求得所求.
【详解】（1）因为在三棱锥中，平面PBC，，
所以易得两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，故，
不妨设，，则，，
所以，即，
所以，，，
要证，只需证不是直线与的公垂线即可，
假设是直线与的公垂线，则，
故，即，
整理得，消去，得，即，
所以，不满足，故假设不成立，
所以.
.
（2）不妨设，则，
由（1）得，，，
因为，所以，则，
所以，
不妨设是直线与的公共法向量，
所以，令，则，，故，
设线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为，
则，
因为，
所以，即线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为.
29．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．
(1)求证：；
(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）由线面平行性质定理去证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，以向量法去表示二面角的余弦值为，进而可求得AB的值．
(1)
因为平面SAB，平面SBD，平面平面，故．
又因为四边形ABCD为矩形，故，则．
(2)
∵四边形ABCD为矩形，∴．
又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
∴平面SAD．∵平面SAD，∴．
同理．
又，平面ABCD，平面ABCD，
∴平面ABCD．
设，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
,，,
设为平面ABE的法向量，
∵，∴，令，则．∴．
设为平面CBE的法向量，
∵，∴，令，则．∴．
∴，解得．
故
30．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.
【详解】（1）
取中点，连接，
分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，．
，，
故四边形是平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
（2）假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．
设，则，，
，所以.
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，．
设，
．
设平面PMB的一个法向量为，
则
取．
易知平面的一个法向量为，，
，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.2023届河北省新高考数学复习
专题3立体几何解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北邯郸·统考二模）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等腰直角三角形，且，△ABP是正三角形．
(1)若，求证：平面ABP⊥平面ABC；
(2)若直线PC与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值．
2．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图，用一垂直于某条母线的平面截一顶角正弦值为的圆锥，截口曲线是椭圆，顶点A到平面的距离为3.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知P在椭圆上运动且不与长轴两端点重合，椭圆的两焦点为，，证明：二面角的大小小于.
3．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
4．（2022·河北沧州·统考二模）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.
5．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点.
(1)若平面，求的值；
(2)若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
6．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，，M，N，P，D分别为，BC，，的中点.
(1)求证：面；
(2)求平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值.
7．（2022·河北·模拟预测）如图，三棱锥中，，平面，点在线段上，且满足．
(1)证明：；
(2)若二面角的正弦值为，求三棱锥的体积．
8．（2022·河北·模拟预测）如图1所示，在平行四边形中，，，将沿折起，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点，点为棱上一动点．
(1)证明：；
(2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
9．（2022·河北唐山·统考三模）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，．
(1)证明：平面；
(2)若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
10．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.
(1)若点为线段中点，求证：；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
11．（2022·河北张家口·统考三模）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若是的中点，求二面角的余弦值.
12．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台中，上底面圆的半径为2，下底面圆O的半径为4，过的平面截圆台得截面为，M是弧的中点，为母线，.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
13．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，是等腰直角三角形，，平面平面，.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值.
14．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，，二面角为直二面角．
(1)若，证明：平面ABD⊥平面ACD；
(2)若，，二面角的余弦值为．求CD的长．
15．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）如图，平行六面体的底面是矩形，P为棱上一点.且，F为的中点.
(1)证明：；
(2)若.当直线与平面所成的角为，且二面角的平面角为锐角时.求三棱锥的体积.
16．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线与所成角的正切值．
17．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.
(1)证明：；
(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
18．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知矩形ABCD中，，，M为AB中点，沿AC将折起，得到三棱锥．
(1)求异面直线PM与AC所成的角；
(2)当二面角的大小为时，求AB与平面PBC所成角．
19．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）如图1，已知是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折起，并连接得到如图2所示的几何体.
(1)判断几何体是哪种简单几何体，并证明；
(2)在几何体中，若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.
20．（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在一点使得平面与平面夹角的余弦值为.
21．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．
22．（2023秋·河北唐山·高三唐山市丰南区第一中学校考期末）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，底面ABCD为梯形，，且，．作交AD于点H，连结AC，BD交于点F．
(1)设G是线段PH上的点，试探究：当G在什么位置时，有平面PAB；
(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值．
23．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）在等腰梯形中，，，，沿将翻折，使点到达点的位置，连接，如图所示.已知三棱锥体积的最大值为.
(1)求；
(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
24．（2022秋·河北邯郸·高三涉县第一中学校考期中）如图1，在等腰梯形中，分别是的中点，，，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2.
(1)当时，证明：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
25．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
26．（2022秋·河北邢台·高三河北南宫中学校考阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
27．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.
(1)若点是的中点，证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
28．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.
(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
29．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．
(1)求证：；
(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．
30．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
