【解析版】上海市崇明县2014届高三上学期期末考试（一模）数学（理）试题

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崇明县2013学年高三第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）
一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）
1.已知虚数z满足等式，则z=
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2.若关于x，y的线性方程组的增广矩阵为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，该方程组的解为，则mn的值等于
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3.直线的一个法向量可以是
【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
【解析】
试题分析：已知直线的一般式方程为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，因此其一个法向量为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
考点：直线的法向量．
4.已知全集，则=
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5.某单位有青年职工160人，中年职工人 ( http: / / www.21cnjy.com )数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ．21世纪教育网版权所有
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6.函数的反函数是
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7.中，若则
【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
【解析】
试题分析： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
考点：向量的线性表示，向量的运算.
8.若则
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9.已知函数是奇函数，则函数的定义域为
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10.将A、B、C、D四本不同的书分给甲乙丙三个人，每个人至少分到一本书，则不同分法的种数为 21教育网
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11.（其中a、b为有理数），则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
【答案】328
【解析】
试题分析： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
考点：二项式定理.
12.已知双曲线的左右焦点分别是，设P是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则双曲线的渐近线方程为 21cnjy.com
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13.在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数 ，当且仅当，下面命题① 1 ( http: / / www.21cnjy.com )i ( http: / / www.21cnjy.com )0;②若，，则；③若，则对于任意，；④对于复数，则其中真命题是 2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )③正确；命题4， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，但 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，显然有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，故④错误．填空①②③．
考点：新定义运算，复数的运算．
14.已知当时，函数的最小值为-4，则t的取值范围是
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考点：行列式的定义，分段函数的最小值．
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【来源：21·世纪·教育·网】
15.设则是“”成立的...................................( )2-1-c-n-j-y
A．充分必要条件　　　　　　　 B．充分不必要条件　　　　　　
C ．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
( http: / / www.21cnjy.com )16.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，，则的值为......................................................................( )
A．　　　　　　　B．　　　　　　C ． D．
【答案】D
【解析】
试题分析： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，或者 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
考点：等比数列的基本题，前 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 项和，极限．
17.对于函数，下列选项正确的是................( )
A．在内是递增的　　　　　 B．的图像关于原点对称　　　　
C ．的最小正周期为2π D．的最大值为1
【答案】B
【解析】
试题分析： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
,所以B正确．
考点：降幂公式，三角函数的性质．
18.已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么的最小值
等于............... ( http: / / www.21cnjy.com ).........................................................( )www.21-cn-jy.com
A．　　　　B．　 　　　C ． D．
【答案】D
【解析】 ( http: / / www.21cnjy.com )
试题分析： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，记 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是圆 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的切线，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 平分 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 同向，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，当且仅当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，等号成立，故所求最小值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
考点：向量的数量积与最小值.
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本大题共74分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
(1)解方程：
(2)已知命题命题且命题是的必要条件，求实数m的取值范围
【答案】（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
【解析】
试题分析：（1）解对数方程，一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，转化 ( http: / / www.21cnjy.com )
20.（本大题14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S是该三角形的面积
(1)若，求角B的度数
(2)若a=8，B=，S=，求b的值
【答案】（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
【解析】
试题分析：本题是解三角形的问题，它可能要用到三角函数的公式，三角形中的正弦定理或余弦定理，因此我们要熟练掌握三角函数的公式，及变形方法，解这类题才能得心应手.（1）题中两向量平行，紧提供一个平台，我们用向量平行的条件把它转化为三角等式，交叉相乘应用二 ( http: / / www.21cnjy.com )
21.（本大题14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第三小题6分）
已知圆的圆心在坐标原点O，且恰好与直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)设点A为圆上一动点，AN HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴于N，若动点Q满足（其中m为非零常数），试求动点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的轨迹方程.21·cn·jy·com
(3)在（2）的结论下，当时，得到动点Q的轨迹曲线C，与垂直的直线与曲线C交于 B、D两点，求面积的最大值.21·世纪*教育网
【答案】（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
【解析】
试题分析：(1)求圆的方程，已经已知圆心坐标，只要再求得圆的半径即可，而圆心的半径等于圆心到切线 ( http: / / www.21cnjy.com ) （2）设动点,,轴于,www-2-1-cnjy-com
由题意,，所以 即: ，
将
代入,得动点的轨迹方程.
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又因为点到直线的距离 .（当且仅当即
时取到最大值）面积的最大值为.
考点：（1）圆的方程；（2）动点转移法求轨迹方程；（3）直线与椭圆相交，面积的最值问题.
22.（本大题16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第三小题6分）
已知数列的前n项的和为，且，
（1）证明数列是等比数列
（2）求通项与前n项的和；
（3）设若集合M=恰有4个元素，
求实数的取值范围.
( http: / / www.21cnjy.com )现，因此应该满足．
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（3）因为，所以
由于
所以，，.
因为集合恰有4个元素，且，
所以.
考点：（1）等比数列的定义；（2）错位相减法求和；（3）数列的单调性．
23.（本大题18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第三小题6分）
已知函数对任意的恒有成立.
(1)当b=0时，记若在）上为增函数，求c的取值范围；
(2)证明：当时，成立；
(3)若对满足条件的任意实数b，c，不等式恒成立，求M的最小值.
( http: / / www.21cnjy.com )，可见，那当时，一定恒有，问题证毕；（3）由（2），在时，，这时柺验证不等式成立，当时，不等式可化为，因此要求的最大值或者它的值域，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，而，因此，由此的取值范围易得，的最小值也易得．
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（2）由（1）得，且，
所以，因此.
故当时，有.
即当时，.
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