高二数学课件（人教A版2019选择性必修第一册）2.3.2两点间的距离公式 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
直线
2.3.2 两点间的
距离公式
问题引入
我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.因此，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标公式表示这两点间距离的公式.
l
问题1：
如图，已知平面内两点，，如何求间的距离？
新知探索
我们用平面向量的知识来解决.如图，由点，
，得.
于是，.
l
由此得到两点间的距离公式
.
特别地，原点与任一点间的距离.
新知探索
思考1：
你能利用，构造直角三角形，再用勾股定理推导出两点间的距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)表示的是平面内点到点的距离.( )
(2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.( )
答案： √，×.
辨析2.已知点 关于点的对称点为，则点到原点的距离是( ).
A. B. C. D.
答案：D.
例析
例3.已知点，，在轴上求一点，使，并求的值.
解：设所求点为，则
.
由，得.解得.
所以，所求点为，且.
例析
例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
证明：如图，四边形是平行四边形.以顶点为原点，
边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
在□中，点的坐标为，设点的坐标为，
点的坐标为，由平行四边形的性质，
得点的坐标为.由两点间的距离公式，得
，，.
所以，，所以，，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
新知探索
思考2：在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题.你能回忆一下证明过程吗？比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会？
上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量
第二步：建进行有关代数运算
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论
思考3：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗？
练习
题型一：两点间距离公式及应用
例1.如图，已知的三顶点，，.
(1)判断的形状；(2)求的面积.
解：(1)∵，
，
.
∴，且，∴是等腰直角三角形.
(2)∵，
∴的面积为26.
练习
方法技巧：
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点和，则.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
练习
变1.试在直线上求一点，使它到点，的距离相等.
解：由直线，得，点在该直线上，
所以可设点的坐标为.
由已知，
所以，
即.
所以.
解得，从而所以.
练习
题型二：用“坐标法”解决平面几何问题
例2.在中，是边上的中线.求证：
证：以边所在直线为轴，以为原点，建立坐标系，如图所示，
设，，则.
∵，，
，，
∴，
,
∴.
练习
方法技巧：
利用坐标法解决平面几何问题的4步骤
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标法表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
练习
变2.用坐标法证明：如果四边形是长方形，而对任一点，等式成立.
证：取长方形的两条边，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设长方形的四个顶点为，，，，在平面上任取一点，
则，
，
所以.
课堂小结
1.平面上的两点，间的距离公式
.
2.特别地，原点与任一点的距离.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P74的练习1、2、3题；
(3)课本P79习题2.3第3、4、5题.