高二数学课件（人教A版2019选择性必修第一册）2.3.3点到直线的距离公式 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
直线
2.3.3 点到直线的
距离公式
问题引入
l
问题1：如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？
点到直线的距离，就是从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足(如图).因此，求出垂足的坐标，利用两点间的距离公式求出，就可以得到点到直线的距离.
新知探索
设，.由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，因此，垂线的方程为，即.
解方程组 ①
得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为.
于是
新知探索
因此，点到直线的距离
可以验证，当，或时，上述公式仍然成立.
新知探索
思考1：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？
在上述方法中，若设垂足的坐标为，则
②
对于②式，你能给出它的几何意义吗？结合方程组①，能否直接求出，进而求出 呢？请你试一试！
新知探索
问题2：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点到直线的距离，就是向量的模.设是直线上的任意一点，是与直线的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量，.
思考2：如何利用直线的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？
新知探索
设，是直线上的任意两点，则
是直线的方向向量.
把，两式相减，得.由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直.
向量就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量.
我们取，从而
.
新知探索
因为点在直线上，所以.所以代入上式，得.
因此.
思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离.通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算.除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)点到与轴平行的直线的距离.（ ）
(2)点到与轴平行的直线的距离.（ ）
辨析2.原点到直线的距离为( ).
A.1 B. C. D.
答案：D.
答案：×，√.
例析
例5.求点到直线的距离.
直线有什么特性？由此你能给出简便解法吗？
解：点到直线的距离.
一般地，点到直线的距离为，到直线的距离为.
例析
例6.已知的三个顶点分别是，，，求的面积.
解：如图，设边上的高为，则.
.
边上的高就是点到直线的距离.
边所在直线的方程为，即.
点到直线的距离.
因此，.
练习
题型：点到直线距离公式的应用
例1.(1)点到直线的距离为_____；
(2)求过点，且与原点的距离等于的直线方程.
解：(1)由点到直线的距离公式知.
(2)因为所求直线过点，且斜率存在，所以设直线方程为，即，又因为原点到直线的距离等于，
所以，解得或.
故直线方程为或.
练习
方法技巧：
应用点到直线的距离公式应注意的4个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
(2)点在直线上时，点到直线的距离为，公式仍然适用.
(3)直线方程中，或公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
(4)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可.
练习
变1.求经过两直线与的交点，且和点的距离为的直线的方程.
解：由解得即直线过点.
①当与轴垂直时，方程为，点到的距离，满足题意.
②当与轴不垂直时，设斜率为，
则的方程为，即，
练习
变1.求经过两直线与的交点，且和点的距离为的直线的方程.
由点到的距离为，
得，解得，
所以的方程为，即.
综上，所求直线方程为或.
课堂小结
点到直线的距离
1.定义：点到直线的垂线段的长度.
2.公式：点到直线的距离
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作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P77的练习1、2、3题；
(3)课本P79习题2.3第6、13、14题.