高二数学课件（人教A版2019选择性必修第一册）2.1.1倾斜角与斜率 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
直线
2.1.1 倾斜角与斜率
复习引入
我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
思考1：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？
新知探索
我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.设为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束(如图)，这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向？
新知探索
我们看到，这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是他们与轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.图中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角.当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为.因此直线的倾斜角的取值范围为
新知探索
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.
设，(其中)是直线上的两点.由两点确定一条直线可知，直线由点，唯一确定.所以，可以推断，直线的倾斜角一定与
两点的坐标有内在联系.
新知探索
问题：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？
(3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？
下面我们利用向量法探究上述问题.
新知探索
对于问题(1)，如图，向量，且直线的倾斜角为.由正切函数的定义，有
对于问题(2)，如图，向量
.平移向量到，则点的坐标为
，且直线的倾斜角也是.由正切函数的定义，有
新知探索
一般地，如图，当向量的方向向上时，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有
新知探索
同样，当向量的方向向上时，如图，，也有
新知探索
思考2：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即.②
新知探索
倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率.例如，倾斜角时，这条直线的斜率；倾斜角时，这条直线的斜率.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对于轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
新知探索
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度.
如果直线经过两点
，那么由①②可得如下的斜率公式：.
思考3：(1)已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与，两点的顺序有关吗？
(2)当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
新知探索
我们知道，直线上的向量以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.直线的方向向量的坐标为.
当直线与轴不垂直时，.此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即，其中是直线的斜率.因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)倾斜角为的直线的斜率为1.（ ）
(2)直线斜率的取值范围是.（ ）
答案：×,√.
辨析2.如图所示， 直线的倾斜角为（ ）.
A. B. C. D.不存在
答案：B.
例析
例1.如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：直线的斜率；
直线的斜率；
直线的斜率.
由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角.
练习
题型一：对倾斜角、斜率概念的理解
例1.设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）.
A. B. C. D.或
答案：D.
解：由倾斜角的取值范围知，只有当
，即时，的倾斜角才是.而，所以当时，的倾斜角为(如图).
练习
方法技巧：
求直线倾斜角的方法及关注点
定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
练习
变1.若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
答案：C.
解：直线倾斜角的取值范围是，又直线经过第二、四象限，所以直线的倾斜角的取值范围是.
练习
题型二：直线的斜率
例2.[多选]已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可能为（ ）.
A. B. C. D.
答案：CD.
解：设或，
∵或，
∴或，∴，，
∴点的坐标为或.故选CD.
练习
方法技巧：
求直线斜率的两种类型
一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况.
练习
变2.设，，，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数的值为_____.
答案：4.
解：依题意知直线的斜率存在，则.
由，得，∴.
练习
题型三：倾斜角与斜率的简单综合
例3.已知两点，，过点的直线与线段有公共点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围.
解：如图，由题意可知，，
(1)要使与线段有公共点，则或，即直线的斜率的取值范围是.
(2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，又的倾斜角是，的倾斜角是，
∴的取值范围是.
练习
方法技巧：
解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式解决；
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式求解；
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解.
练习
变3.若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
答案：C.
解：∵直线的倾斜角为锐角，
∴斜率，∴.
课堂小结
1.确定一条直线的条件：
确定一条直线的条件是一点和一个方向.
规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.
2.直线的倾斜角：
前提条件 直线与轴相交
定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角
特殊情况 当直线
轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为
取值范围
课堂小结
3.斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母表示，即.
4.斜率公式：过两点的直线的斜率公式为.
5.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
斜率(范围) 不存在
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P55的练习1—5题；
(3)课本P57习题2.1第1、2、3、4、7、8题.