高二数学课件（人教A版2019选择性必修第一册）2.1.2两条直线平行和垂直的判定 课件（共22张PPT）
文档属性
| 名称 | 高二数学课件（人教A版2019选择性必修第一册）2.1.2两条直线平行和垂直的判定 课件（共22张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-24 17:26:32 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
直线
2.1.2 两条直线平行
和垂直的判定
复习引入
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题.下面，我们通过直线的倾斜率判断两条直线的位置关系.
思考1：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？
l
新知探索
如图，若，则与的倾斜角与相等，由，可得，即.因此，若，则.
反之，当时，，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此.
于是，对于斜率分别为的两条直线，有
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线重合，此时仍然有.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行.（ ）
(2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等.（ ）
答案：√,√.
辨析2.若直线，的倾斜角分别为，，且，则有（ ）.
A. B.
C. D.
答案：C.
例析
例2.已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
解：如图，由已知可得直线的斜率，
直线的斜率.
因为，所以直线
例析
例3.已知四边形的四个顶点分别为，试判断四边形的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率为.
因为，所以
因此四边形是平行四边形.
新知探索
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是
，，
于是，即.
也就是说，.
新知探索
当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然.
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直.即
例析
例4.已知，试判断直线与的位置关系.
解：直线的斜率，
直线的斜率.
因为，所以直线.
例析
例5.已知三点，试判断的形状.
解：边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率
由，得即
所以是直角三角形.
练习
题型一：两条直线平行的判定及应用
例1.[多选]下列直线与直线与不重合)平行的有（ ）.
A.经过点，经过点
B.的斜率为2，经过点
C.的倾斜角为，经过点
D.经过点，经过点
答案：ACD.
解：对于A，∵，，∴，∴；
对于B，∵，∴不平行于；
对于C，∵，∴，∴
对于D，，斜率均不存在，∴.
练习
方法技巧：
判断两条直线平行的方法步骤
看斜率：
(1)斜率都不存在，则平行；
(2)斜率存在，若斜率相等，则平行；若斜率不相等，则不平行.
练习
变1.已知，，，四点，若直线与直线平行，则____.
答案：3.
解：，当，即时，，不存在.
∴和不平行；当时，.由，得，即.∴或.
当时，，，∴与平行.当时，
，，，∴与重合.
∴当时，直线和直线平行.
练习
题型二：两条直线垂直的判定及应用
例2.判断下列各题中与是否垂直.
(1)经过点；经过点
(2)的斜率为10；经过点
(3)经过点；经过点
解：(1)∵，，，∴与不垂直.
(2)∵，，∴，∴.
(3)由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴.，则轴，∴.
练习
方法技巧：
使用斜率公式判定两直线垂直的3步骤
一看：就是看所给的横坐标是否相等.若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步；
二代：就是将点的坐标代入斜率公式；
三求值：计算斜率的值进行判断，尤其是点的坐标含有参数，应用斜率公式时需对参数进行讨论.
练习
变2.若直线经过点和，且与经过点斜率为的直线垂直，则实数的值为( ).
A. B. C. D.
答案：A.
解：易知不符合题意.当时，直线的斜率，
由，得，故选A.
练习
题型三：两条直线平行与垂直的综合
例3.已知直线经过点，直线经过点
①若，求的值；
②若，求的值.
解：据题意，
①若，则即解得或 .
经经验，当或时，.
②若，当时，，此时，，不符合题意.
当时，的斜率存在，此时由得
解得或∴当或时，.
练习
方法技巧：
1.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤：
描点：在坐标系中描出给定的点.
猜测：根据描出的点，猜测图形的形状.
求斜率：若斜率不存在，则直接说明；若存在，则根据给定的坐标求直线的斜率.
结论：由斜率之间的关系判断形状.
2.由几何图形的形状求参数的注意点：
由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.
练习
变3.已知，四点，若顺次连接四点，试判断四边形的形状.
解：由题意知四点在坐标平面内的位置如图所示，
由斜率公式可得，，
，.
所以，由图知与不重合，所以.
由所以与不平行.
又因为，所以，故四边形为直角梯形.
课堂小结
1.两条直线平行与斜率之间的关系：
设两条不重合的直线，，斜率若存在且分别为
，倾斜角分别为，.则对应关系如下：
条件
图示
对应关系 两直线斜率都不存在
课堂小结
2.两条直线垂直与斜率之间的关系：
设两条不重合的直线，的斜率分别为，则对应关系如下：
图示
对应关系 与的斜率都存在，分别为，， 则 与中的一条斜率不存在(倾斜角为90)，另一条斜率为零(倾斜角为0)，则与的位置关系是
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P57的练习1、2题；
(3)课本P57习题2.1第5、6、9、10题.
直线
2.1.2 两条直线平行
和垂直的判定
复习引入
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题.下面，我们通过直线的倾斜率判断两条直线的位置关系.
思考1：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？
l
新知探索
如图，若，则与的倾斜角与相等，由，可得，即.因此，若，则.
反之，当时，，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此.
于是，对于斜率分别为的两条直线，有
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线重合，此时仍然有.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行.（ ）
(2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等.（ ）
答案：√,√.
辨析2.若直线，的倾斜角分别为，，且，则有（ ）.
A. B.
C. D.
答案：C.
例析
例2.已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
解：如图，由已知可得直线的斜率，
直线的斜率.
因为，所以直线
例析
例3.已知四边形的四个顶点分别为，试判断四边形的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率为.
因为，所以
因此四边形是平行四边形.
新知探索
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是
，，
于是，即.
也就是说，.
新知探索
当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然.
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直.即
例析
例4.已知，试判断直线与的位置关系.
解：直线的斜率，
直线的斜率.
因为，所以直线.
例析
例5.已知三点，试判断的形状.
解：边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率
由，得即
所以是直角三角形.
练习
题型一：两条直线平行的判定及应用
例1.[多选]下列直线与直线与不重合)平行的有（ ）.
A.经过点，经过点
B.的斜率为2，经过点
C.的倾斜角为，经过点
D.经过点，经过点
答案：ACD.
解：对于A，∵，，∴，∴；
对于B，∵，∴不平行于；
对于C，∵，∴，∴
对于D，，斜率均不存在，∴.
练习
方法技巧：
判断两条直线平行的方法步骤
看斜率：
(1)斜率都不存在，则平行；
(2)斜率存在，若斜率相等，则平行；若斜率不相等，则不平行.
练习
变1.已知，，，四点，若直线与直线平行，则____.
答案：3.
解：，当，即时，，不存在.
∴和不平行；当时，.由，得，即.∴或.
当时，，，∴与平行.当时，
，，，∴与重合.
∴当时，直线和直线平行.
练习
题型二：两条直线垂直的判定及应用
例2.判断下列各题中与是否垂直.
(1)经过点；经过点
(2)的斜率为10；经过点
(3)经过点；经过点
解：(1)∵，，，∴与不垂直.
(2)∵，，∴，∴.
(3)由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴.，则轴，∴.
练习
方法技巧：
使用斜率公式判定两直线垂直的3步骤
一看：就是看所给的横坐标是否相等.若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步；
二代：就是将点的坐标代入斜率公式；
三求值：计算斜率的值进行判断，尤其是点的坐标含有参数，应用斜率公式时需对参数进行讨论.
练习
变2.若直线经过点和，且与经过点斜率为的直线垂直，则实数的值为( ).
A. B. C. D.
答案：A.
解：易知不符合题意.当时，直线的斜率，
由，得，故选A.
练习
题型三：两条直线平行与垂直的综合
例3.已知直线经过点，直线经过点
①若，求的值；
②若，求的值.
解：据题意，
①若，则即解得或 .
经经验，当或时，.
②若，当时，，此时，，不符合题意.
当时，的斜率存在，此时由得
解得或∴当或时，.
练习
方法技巧：
1.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤：
描点：在坐标系中描出给定的点.
猜测：根据描出的点，猜测图形的形状.
求斜率：若斜率不存在，则直接说明；若存在，则根据给定的坐标求直线的斜率.
结论：由斜率之间的关系判断形状.
2.由几何图形的形状求参数的注意点：
由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.
练习
变3.已知，四点，若顺次连接四点，试判断四边形的形状.
解：由题意知四点在坐标平面内的位置如图所示，
由斜率公式可得，，
，.
所以，由图知与不重合，所以.
由所以与不平行.
又因为，所以，故四边形为直角梯形.
课堂小结
1.两条直线平行与斜率之间的关系：
设两条不重合的直线，，斜率若存在且分别为
，倾斜角分别为，.则对应关系如下：
条件
图示
对应关系 两直线斜率都不存在
课堂小结
2.两条直线垂直与斜率之间的关系：
设两条不重合的直线，的斜率分别为，则对应关系如下：
图示
对应关系 与的斜率都存在，分别为，， 则 与中的一条斜率不存在(倾斜角为90)，另一条斜率为零(倾斜角为0)，则与的位置关系是
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P57的练习1、2题；
(3)课本P57习题2.1第5、6、9、10题.