高二数学课件（人教A版2019选择性必修第一册）2.2.3直线的一般式方程 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
直线
2.2.3 直线的一般式方程
问题引入
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于，的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题.
l
思考1：
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗？
(2)任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？
新知探索
先看问题(1).任意一条直线，在其上任取一点，当直线的斜率为时(此时直线的倾斜角)，其方程为，这是关于，的二元一次方程.
当直线的斜率不存在，即直线的倾斜角时，直线的方程为，上述方程可以认为是关于的二元一次方程，因此此时方程中的系数为0.
方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示.
新知探索
反之，对于任意一个二元一次方程(，不同时为0)，如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线.
当时，，方程可变形为，它表示过点，且垂直于轴的直线.
新知探索
由上可知，关于的二元一次方程都表示一条直线.
我们把关于的二元一次方程
(其中不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
注：直线的一般式适用于所有直线.
新知探索
辨析1.斜率为，且在轴上截距为的直线的一般式方程是( ).
A. B. C. D.
答案：C.
辨析2.在直角坐标系中，直线的倾斜角是( ).
A. B. C. D.
答案：C.
新知探索
问题1：
在方程中，为何值时，方程表示的直线：
①平行于轴？②平行于轴？③与轴重合？④与轴重合？
①此时，
②此时不存在，
③，此时
④，此时不存在，
例析
例5.已知直线过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点，斜率为的直线的
点斜式方程是，
化为一般式，得.
例析
例6.把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.
解：把直线的一般式方程化为斜截式.
因此，直线的斜率，它在轴上的截距是.
在直线的方程中，令，得，
即直线在轴上的截距是.
由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，
过，两点作直线，就得直线(如图).
例析
结合例6，我们可以我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线.
在代数中，我们研究了二元一次方程的解，因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线.
平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.
练习
题型一：直线的一般式方程
例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点；
(2)斜率是，在轴上的截距为；
解：(1)由点斜式，得直线方程为，
即.
(2)由斜截式，得直线方程为，
即.
练习
例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(3)经过点两，点；
(4)在轴，轴上的截距分别为，；
(5)经过点，且平行于轴.
解：(3)由两点式，得直线方程为，
即.
(4)由截距式，得直线方程为，
即.
(5).
练习
方法技巧：
求直线一般式方程的策略
(1)当时，方程可化为，只需求的值；若，则方程可化为，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.
练习
变1.已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距.
解：∵，所以点斜式方程为，
斜截式方程为，
一般式方程为，
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.
练习
题型二：一般式下的平行与垂直问题
例2.(1)已知直线与直线平行，求的值；
解：(1)由，知：
①当时，显然与不平行；
②当时，，需.
解得或，
∴的值为或.
练习
例2.(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？
解：(2)由题意知，直线.
①若1，即时，直线与直线显然垂直.
②若1即时，直线与直线不垂直.
③若1且，则直线，的斜率都存在，
，.当时，即解得综上可知，当或时，直线.
练习
方法技巧：
(1)直线：，直线：，
①若且(或).
②若.
(2)与直线平行的直线方程可设为，与直线垂直的直线方程可设为.
练习
变2.已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程.
(1)过点，且与平行；
(2)过点，且与垂直.
解：(1)由与平行，可设的方程为.
将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
(2)由与垂直，可设的方程为.
将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
练习
题型三：含参数的一般式方程问题
例3.已知直线.
(1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限；
(1)证明：将直线的方程整理为，
∴直线的斜率为，且过定点，
而点在第一象限内，故不论为何值，恒过第一象限.
练习
例3.已知直线.
(2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围.
(2)解：直线的斜率为.
如图所示，要使不经过第二象限，需斜率，
∴，即的取值范围为.
练习
方法技巧：
直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
(2)将方程变形，把，看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得，的值，即为直线过的定点.
练习
变3.已知直线.若直线不经过第二象限，求的取值范围.
解：①当，即时，直线方程为，该直线不经过第二象限，满足要求.
②当，即时，直线化为截距式方程，
因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在轴的截距小于等于零，即解得所以.
由①②可得，的取值范围为.
课堂小结
直线的一般式方程
(1)定义：关于的二元一次方程(其中不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.
【注】系数的几何意义：
(1)当时，则(斜率)，(轴上的截距)；
(2)当，时，则(轴上的截距)，此时斜率不存在.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P66的练习1、2、3题；
(3)课本P67习题2.2第8、9、10、14题.