河北省唐山一中2013-2014学年高二下学期第一次月考 数学理试题

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唐山一中2013—2014学年度第二学期月考考试
高二年级数学试卷（理科）
说明：
1．考试时间120分钟，满分150分。2 ( http: / / www.21cnjy.com )．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。21世纪教育网版权所有
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共计60分）
1.分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.必要条件或充分条件
2.求曲线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 所围成图形的面积，其中正确的是（ ）
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
C． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
3. 对于以下四个函数： ①： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ②： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ③： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ④： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
在区间 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上函数的平均变化率最大的是（ ）
A．① B．② C．③ D． ④
4.已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，其中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 为实数， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 为虚数单位，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的值为（　　）
A . 4 B . C . 6 D .0
5.设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的(　　)
6. 曲线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的点到直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的最短距离是（ ）
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 B. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 C. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D.0
7. 用数学归纳法证明，“当n为正奇数时，能被整除”时，第2步归纳假设应写成（ ）
A．假设时正确，再推证时正确
B．假设时正确，再推证时正确
C．假设时正确，再推证时正确
D．假设时正确，再推证时正确
8. 设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则下列大小关系式成立的是( ).
A. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 B . HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
C . HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 D . HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
9. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
10．函数在上的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11．平面几何中，边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）21教育网
Ａ． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12.已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的导函数，即
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的递减区间是__________
14. 若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 恰有三个单调区间，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的取值范围为_____ __
15. 已知函数f(x)的自变量取值区间为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，若其值域也为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则称区间 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的保值区间．若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的保值区间是[2，＋∞)，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的值为________．
16.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0 ( http: / / www.21cnjy.com )，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
三.解答题
17．（本小题满分10分）已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间.
18、（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值;
（2）过点作曲线的切线,求此切线方程.
19.如图，设点P从原点沿曲线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 向点A（2，4）移动，记直线OP、曲线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 及直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 所围成的面积分别记为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，求点P的坐标． ( http: / / www.21cnjy.com )21·cn·jy·com
20.设函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
(1) 当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 若在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 存在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，使得不等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 成立，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的最小值.
(2) 若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上是单调函数，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的取值范围。
（参考数据 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）
21.已知 ( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上的最小值；
(2)对一切 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立，求实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围；
22.已知函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 .
(1) 讨论函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的单调性；
(2) 讨论函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的零点个数问题
(3) 当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 时，证明不等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 .
高二年纪数学试卷（理科答案）
1-5 BDCBD 6-10 ABDDD 11-12 BC
13. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 14.a<0 15.ln2 16. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
17. 解：（1）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 由在处的切线方程是
知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 故所求的解析式是
（2）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.
18. 解：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，依题意，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ┅┅ （3分）
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
故 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上是增函数；
若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
故 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上是减函数；
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 是极大值， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）
（2）曲线方程为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 不在曲线上。
设切点为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 知，切线方程为
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分）
又点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在切线上，有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
化简得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
所以切点为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，切线方程为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ┅┅┅┅┅┅ （12分）
19. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
20. （1）在 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
由 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )；
当 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com );
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com );
( http: / / www.21cnjy.com ). ……………………5分
而 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )
又 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ……………8分
（2） ① ( http: / / www.21cnjy.com )；
②当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
③ ( http: / / www.21cnjy.com )，
从面得 ( http: / / www.21cnjy.com );
综上得， ( http: / / www.21cnjy.com ). …………………12分
21. ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
22. (1)解　f′(x)＝a－＝(x>0)．
当a≤0时，ax－1<0，从而f′(x)<0，
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，若0若x>，则ax－1>0，从而f′(x)>0，
函数在上单调递减，在上单调递增．
（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
(3)证明　不等式exln(1＋y)>eyln(1＋x) >.
构造函数h(x)＝，
则h′(x)＝＝，
可知函数在(e，＋∞)上h′(x)>0，
即函数h(x)在(e，＋∞)上单调递增，由于x>y>e－1，
所以x＋1>y＋1>e，所以>，
所以exln(1＋y)>eyln(1＋x)．
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