四川省内江市名校2022-2023学年高一（创新班）下学期入学考试数学试题（含解析）

内江市名校2022－2023学年度高一（下）期创新班入学考
数学试题
一、单选题（满分40分，每小题5分）
1．已知集合A={－3,－2,－1,0,1}，集合，则A∩B=（ ）
A．{－3,－2,－1,0,1} B．{－2,－1,0,1} C．{0,1} D．{－2,－1,0}
2．若函数的定义域为［0,m]，值域为，则m的取值范围是（ ）
A．（0,4] B． C． D．
3．已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且，则f（x）=（ ）
A． B． C． D．
4．下述正确的是（ ）
A．“，”是“”的充要条件
B．若，则
C．若的终边为第三象限平分线，则
D．若为第四象限角，则
5．已知函数，若0A． B． C． D．
6．某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
8．已知正方体的棱长为1，M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AMN，则线段的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（满分20分，每小题5分，选对但不全得2分，有错得0分，全对得5分）
9．已知平面向量，，，则（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则 D．的最小值为4
10．已知复数，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则的共轭复数 B．若复数，则
C．若复数为纯虚数，则 D．若，则
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满足的的取值范围为
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴
D．函数与的图象关于直线对称
12．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）．则下列结论正确的是（ ）
A．当点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
B．记过点平行于平面的平面为，截正方体截得多边形的周长为
C．当点为中点时，异面直线与BD所成角为
D．当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题（满分20分，每小题5分）
13．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______．
14．设，且，则______．
15．如上图，在三棱锥木块中，VA，VB，VC两两垂直，，点为的重心，沿过点的平面将木块锯开，且使截面平行于直线VC和AB，则该截面的面积为______．
16．已知函数，，，，以，，的值为边长可构成一个三角形，则实数的取值范围为______．
四、解答题（满分70分）
17．（本小题满分10分）若不等式的解集是．
（1）解不等式；
（2）为何值时，的解集为．
18．（本小题满分12分）函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的值域．
19．（本小题满分12分）已知是定义域为的奇函数．
（1）求的值；
（2）判断的单调性并证明你的结论；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
（1）求的值。
（2），，求的周长与面积．
21．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，，，点是PB的中点．
（1）证明：AE⊥PC：
（2）求点D到CE的距离；
（3）求二面角C－AE－D的大小．
22．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，点在平面上的射影为BC的中点D，，，，．
（1）求证：平面ABC；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
内江市名校2022－2023学年度高一（下）期创新班入学考
数学试题（参考答案）
1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．A
8．B
【详解】如图，分别作，的中点E，F，连接，，，显然，，且，平面，，，平面，
所以平面平面AMN，平面平面，所以动点在正方形的轨迹为线段EF在三角形中，，，所以点到点的最大距离为，最小距离为等腰三角形在边EF上的高为，故选：B．
9．ABD 10．ABD
11．ABD
【详解】由图可得，，，所以，，
因为，所以，，所以，，
因为，所以，，故A正确；
由可得，所以，，解得，，故B正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的是函数的图象，直线不是其对称轴，故C错误；
因为，所以函数与的图象关于直线对称，故D正确；故选：ABD
12．ACD
【详解】对A，由于，显然平面，又，所以在任何位置时到平面的距离相等，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对B，由在上且，故截面为，所以截面周长为，故B错误；
对C，当点为中点时，由于为正方形，所以，又，所以，故C正确；
对D，当点为中点时，，所以在正方体中平面BDP，由，．
所以，，所以外接圆直径，所以三棱锥的外接球的直径，所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确；故选：ACD
13．6 14．20
15．
【详解】由VA，VB，VC两两垂直，，则可将三棱锥补形到正方体中，连接AP并延长，交VC于，过作VC的平行线，交AV于，交AC与，过作，交VB于，过作，交BC于，连接MF，如图所示，因为，所以E、F、M、H四点共面，
因为，平面，平面EFMH，所以EFMH，
因为，平面，平面EFMH，
所以平面EFMH，则平面EFMH即为所求，
因为，平面，平面ABC，所以平面ABC，
又平面EFMH，平面平面，所以，
所以四边形EFMH为平行四边形，
又，，VA，平面VAB，所以平面VAB，所以平面VAB，
因为平面VAB，所以，即四边形EFMH为矩形，
因为，所以，
因为为的重心，所以，则，
同理可证，所以，则，
所以矩形EFMH的面积为，故答案为：
16．【来源】【答案】
【详解】根据题意可知，，，，恒成立，又．
1．当时，显然成立．
2．当时，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
故．所以．
又，，，恒成立，所以．此时
3．当时，同2有，所以
此时．此时，综上所述，的取值范围为
【点晴】本题主要考查了函数的值域综合问题，需要根据题意求函数的最值并列出函数最值满足的关系式，同时也需要对函数的分离常数化简等有所掌握．属于难题．
17．【详解】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，所以不等式化为，，解得或，
所以不等式的解集为
（2）由（1）可知的解集为，所以，解得，所以的取值范围为
18．（本小题满分12分）
【详解】（1）
，，，；
∴的单调增区间为，；
（2）因为，令，所以，
∴，所以，∴．
19．（本小题满分12分）
【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，则有，解得，此时，，函数是奇函数，所以．
（2）函数在上单调递增，
任意，，，，
因为函数在上单调递增，，则有，即有，即，所以函数在上单调递增．
（3）由（2）知，函数在上单调递增，又是上的奇函数，
不等式恒成立，等价于，
即恒成立，而，当且仅当时取等号，则，所以实数的取值范围是．
20．（本小题满分12分）
【答案】（1）（2）周长为11，面积为
【详解】（1）若选①：由正弦定理得，故，
而在中，，故，又，
所以，则，则，
，故．
若选②：由，化简得，代入中，整理得，即，
因为，所以，所以，则，
，故．
若选③：因为，所以，
即，则．
因为，所以，则，
，故．
（2）因为，且，，所以，．
由（1）得，，则，
由正弦定理得，则，．故的周长为，的面积为．
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）证明：∵平面ABCD，底面ABCD为矩形
∴，，又，PA，平面PAB
∴平面PAB，又∵平面PAB
∴，∵，点是PB的中点．
∴，又，，平面PBC
∴平面，∴
（2）解：由（1）平面PBC得：
又平面，，∴平面PAB，即
因为，，所以，，，故
即，三角形ECD是边长为2的正三角形，
点到CE的距离为，则，
所以，所以点到CE的距离．
（3）解：由（2）知，，故取PC中点，连接EM，DM．
因为E，M分别为PB，PC中点，所以，即，故，
则为二面角的平面角
又在△EMC中，EC=2，，，
所以，又，
所以．即二面角的大小为．
22．【详解】（1）证明：因为平面，平面ABC，
所以平面平面．因为，，所以．
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面ABC
（2）解：取中点，连接，，则，所以四边形是平行四边形。
因为，，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面．
作于，则平面，连接CE，则为直线与平面所成的角．
由，，，知，
又由（1）知平面ABC，
所以，，．
则
由于，所以，所以．
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．