四川省内江市名校2022-2023学年高二下学期（创新班数学试题）入学考试试题（含解析）

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内江名校高2024届高二（下）创新班入学考试
理科数学
一 单选题（本大题共12小题，共60分）
1.椭圆的长轴长是（ ）
A.2 B. C.4 D.
2.在复平面内，设z=1+（是虚数单位），则复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知，，则（ ）
A. B. C.0 D.1
4.函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
5.“”是“为双曲线”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.甲 乙两人从4门课程中各选修2门，则甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
A.6种 B.12种 C.30种 D.36种
7.如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A. B. C. D.
9.已知是椭圆上的点， 分别是椭圆的左 右焦点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
0 1
A. B. C.5 D.3
11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.的展开式中的系数为__________（用数字作答）.
14.抛物线与过焦点的直线交于两点，为原点，则__________.
15.已知函数有两个零点，a的取值范围是__________.
16.若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为__________.
三 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10.0分）
某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生 女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女 80
合计
（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附：.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18.（本小题12.0分）
在中，，，与BC斜率的积是.
（1）求点的轨迹方程；
（2），求PC的中点的轨迹方程.
19.（本小题12.0分）
四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面，，，是BC的中点，点在侧棱PC上.
（1）若Q是PC的中点，求二面角的余弦值；
（2）是否存在，使平面DEQ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20.（本小题12.0分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
21.（本小题12.0分）
已知椭圆的左，右焦点分别为 ，上下顶点分别为M N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于A B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
22.已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若，对任意恒成立，求a的最大值；
高二（下）创新班入学考试（数学答案）
1.解：椭圆的标准方程为，即有，
则椭圆的长轴长为，故选：.
2.解：，
，对应的点为，位于第一象限.故选：.
3.解：，
.故选：.
4.解：函数的定义域为：.
函数的导函数为：，
令并且，解得.
函数的单调递减区间为.故选：.
5.解：若“”，则 均不为0，方程，
可化为，若“”异号，方程中，两个分母异号，则其表示双曲线，
故“”是方程“表示双曲线”的充分条件；
反之，若表示双曲线，则其方程可化为，
此时有异号，则必有，
故“”是方程“表示双曲线”的必要条件；
综合可得：“”是方程“表示双曲线”的充要条件；故选：.
6.解：甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：
①甲 乙所选的课程中门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有种.
②甲 乙所选的课程中有且只有相同，从4门中先任选一门作为相同的课程，甲从剩余的3门中原理，此时共有种.
综上，甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有种.故选.
7.解：连接交于，若是的中点，连接，ED，
为直棱柱，各侧面四边形为矩形，是的中点，
直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则上面，
面，则，
而，又面，
面，又面，
，
在中，由余弦定理，得
.
故直线与直线夹角的余弦值为.故选：.
8.解：，
，即，
当时，；
当时，.
，故选：.
9.解：由题意可得：，
所以，即.
设，所以由椭圆的定义可得：①.
因为，所以由数量积的公式可得：
，所以.
在中，
所以由余弦定理可得：②，
由①②可得：，所以.故选.
10.解：由随机变量的分布列得：
，解得，
.故选：.
11.解：设在双曲线的左支上，
且，
则的坐标为，代入双曲线方程可得，，
可得，即有.故选：.
12.解：因为图象上存在关于轴对称的点，
设在函数上，则关于轴的对称点为，
则存在，满足
即方程在上有解，
即函数与函数在上有交点，
在直角坐标系中画出函数和的图象，如图所示，
当过点时，，
由图象可知，当时，函数与在时有交点，
所以的取值范围为.故选：.
13.解：二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
所以含的项为，故的系数为9，故答案为：9.
14.由题意知，抛物线的焦点坐标为直线的方程为，
由得，设
则，
；故答案为：.
15.解：因为.
所以.
（i）当时，则只有一个零点为.
（ii）设，则当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，取满足且，则，故存在两个零点.
（iii）设，由得或.
若，则，故当时，0
因此在上单调递增.又当时，，
所以不存在两个零点.
若，则，故当时，
当时，.因此在上单调递减，
在上单调递增.又当时，，
所以不存在两个零点.综上可得的取值范围为.故答案为：.
16.解：依题意，双曲线上两点，
若点关于直线对称，
设直线的方程是，代入双曲线方程，
化简得：，
则，且，
解得，且，
又，设的中点是，
所以.
因为的中点在直线上，
所以，所以，又，
所以，即，所以，
所以，整理得1），
由解得：或，
实数的取值范围为：.
17.（1）
解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有人，
所以列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
，
有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.
（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，抽到的男生人数 女生人数分别为：（人，（人，
则的所有可能取值为，，，
所以，
，
，
故的分布列是：
0 1 2
故.
18.（1）设点C坐标为，由题知
整理得点的轨迹方程为
（2）设点坐标为，点坐标为，
由中点坐标公式得，即，
将代入，
得点的轨迹方程为：.
19.（1）解：取中点，连接，，.
因为，所以.
因为侧面底面，且平面底面，
所以底面.可知，，，
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.
则，
因为为中点，所以.
所以，
所以平面的法向量为.
因为，
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，即.
所以.
由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为.
（2）解：设
由（1）可知.
设，，，则，
又因为，
所以，即.
所以在平面中，，
所以平面的法向量为，
又因为平面，所以，
即，解得.
所以当时，即，平面.
20.解：（1），
，
可得曲线在点处的切线斜率为
，切点为，
曲线在点处的切线方程为；
（2）
令，
，
当，可得，
即有在上单调递减，
可得，即，
则在上单调递减，
即有函数在区间上的最大值为
最小值为.
21.（1）选①：由上顶点，即，
由，且，可得，
所以椭圆的方程为.
选②：由题设，，即，而，
所以，故，
所以椭圆的方程为.
（2）联立与，
并整理可得：，则，，
所以，
，
由，，
所以
，
故，故且不共线，故为锐角，
所以G在以AB为直径的圆外.
22.解：（1），
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）即为，即，
设，则，
易知函数在上单调递增，
而，所以，即，当时，即为，
设，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
（e），
，即的最大值为.