17.5 实践与探索 教案
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17.5 实践与探索 教学设计
课题 17.5 实践与探索 单元 第17 单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 理解函数图象交点的意义,能够利用一次函数的图象解方程组、解不等式等.通过收集数据,利用函数图象整理数据,发现函数图象的特征,猜想函数的相应名称．
核心素养分析 利用一次函数的性质解决实际问题，提高解决实际问题的能力．提高学生形象思维能力和数学应用能力．强化数学建模思想，提高学生应用已有知识、灵活处理问题的能力．
学习目标 1、通过观察函数图象，能够从函数图象中获取信息．理解函数图象交点的意义，能够利用一次函数的图象解二元一次方程组．2、理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系，能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．
重点 利用一次函数的图象解方程组、不等式，利用函数图象性质解决问题.
难点 从函数的图象中提炼出有用的信息，选择恰当的函数图象、性质解决问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题活动一：问题1：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接 ( http: / / www.21cnjy.com )，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．21世纪教育网版权所21教育网 ( http: / / www.21cnjy.com )根据图象回答：(1)乙复印社的每月承包费是多少？(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？探究归纳问 “乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？21世纪教育网版权所答 “乙复印社的每月承包费”指当x＝0时，y的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元．问 “收费相同”在图象上怎样反映出来？21世纪教育网版权所答 “收费相同”是指当x取相同的值时，y ( http: / / www.21cnjy.com )相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解．【来源：21·世纪·教育·网】问 如何在图象上看出函数值的大小？答 作一条x轴的垂线，如下 ( http: / / www.21cnjy.com )图，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低．从图中可以看出，如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较低．21·世纪*教育网拓展与提高21世纪教育网版权所如果该校每月复印费预算为220元，应选择哪个复印社？ ( http: / / www.21cnjy.com )题后归纳：由函数图象解答问题时，首先要明确横、纵 ( http: / / www.21cnjy.com )轴表示的含义，函数图象的交点坐标表示两个图象上横、纵坐标都相同的点，在横轴上的一定范围内，位于上方图象的函数值要比位于下方的图象的函数值大. 21世纪活动二：师：利用幻灯片演示：二元一次方程 x+y=3 可改写成一次函数y=3-x．以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图象就是 一次函数 y=3-x 的图象．两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而这两个关系式可以看成关于x、y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解．师：由此你能想像出用图象法解方程组的一般步骤吗？生：动手操作，并交流解答过程和结果．图中的两条直线：y＝2x－5和y＝－x＋1，它们的交点坐标（2，－1）就是方程组的解． 思考自议观察函数图象完成探究问题． 通过对问题的探究引导学生观察图象，培养学生获得信息的能力．
讲授新课 二、提炼概念1. 二元一次方程与一次函数的区别与联系二元一次方程的解是一次函数图像上点的坐标； 一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解.2. 二元一次方程组的解法总共学习了哪几种 21世纪加减法;代入法;图象法.3. 图像法解方程组的方法归纳1、明确：“两对应”：1）、方程对 ( http: / / www.21cnjy.com )应着函数（不是解析式形式的方程可通过移项变为解析式形式）；2）、方程组的解对应函数图像的交点坐标。2、画出每个方程对应的函数图像；3、找出这两个图像的交点横纵坐标分别对应方程组的x、y值.三、典例精讲例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解．解：由 可得在同一直角坐标系内作出一次函数的图象l1和y=x+5 的图象l2,如图所示 SHAPE \* MERGEFORMAT 所以方程组 是 问题2画出函数的图象，根据图象，指出：（1）x取什么值时，函数值y等于零？（2）x取什么值时，函数值y始终大于零？解：有图象可知：（1）当x=-2时，y等于0.（2）当x＞-2时，y大于0.师：请同学们想一想，一元一次方程的解，不等式的解集与函数的图象有什么关系？说说你的想法并和同学讨论交流．归纳：从“数”的角度来看，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的函数值是0时，对应的x的值就是一元一次方程 kx＋b＝0的解；当一次函数y＝kx＋b的值大于0时，对应部分x的取值的集合，就是不等式 kx＋b＞0的解集；当一次函数y＝kx＋b的值小于0时，对应部分x的取值的集合，就是不等式 kx＋b＜0的解集．从“形”的角度看，直线 y＝kx＋b（k≠0）与x轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0的解；直线 y＝kx＋b位于x轴上方部分对应的x的值的集合就是不等式 kx＋b＞0的解集；直线 y＝kx＋b位于x轴下方部分对应的x的值的集合就是不等式 kx＋b＜0的解集．问题3 为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t（℃）变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：t(℃)-40-20-100V(cm3)998.3999.2999.61000t(℃)10 204060V(cm3)1 000.31 000.71 001.61 002.3你能否据此求出V和t的函数关系 师：请同学们在平面直角坐标系中将这些数值所对应的点在坐标系中描出．你们有什么发现？生：这些点大致位于一条直线上，可知V和t近似地符合一次函数关系．生：完成解答．师：请同学们讨论，如何解决这类问题？生：讨论．将这些数值所对应的点在坐标系中作出．我们发现，这些点大致位于一条直线上，可知V和t近似地符合一次函数关系．我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合，求出近似的函数关系式．如下图所示的就是一条这样的直线，较近似的点应该是(10，1000.3)和(60，1002.3)． 解：设V＝kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k＝0.04，b＝999.7．V＝0.04t＋999.7．归纳：我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式．但是现实 生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究．常用的方法是：把实践或调查中得到的一些变量的值，通过描点得出函数的近似图象，再根据画出的图象的特征，猜想相应的函数名称，然后利用待定系数法求出函数关系式． 通过对问题的探究，理解函数图象上的特殊点的意义．解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系，能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集． 21世纪 理解函数图象交点的意义，能够利用一次函数的图象解二元一次方程组．
课堂练习 四、巩固训练1．如图，一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象相交于A(3，2)，则不等式k2x＋b2＞k1x＋b1的解集为_________．x＜32.用图象法解方程组解：由x-2y=-2，可得y=1/2x+1 同理，由2x-y=2，可得y=2x-2在同一直角坐标系内作出一次函数y=1/2x+1 的图象l1和y=2x-2的图象l2,如图所示 得l1，l2的交点为P(2，2). 3.画出函数y=2x+6的图象，利用图象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+6>0的解；（3）若 2≤y≤2求x的取值范围．解：图象为：（1）观察图象知：该函数图象经过点 ( 3，0)，故方程2x+6=0的解为x= 3；（2）观察图象知：当x> 3时，y>0，故不等式2x+6>0的解为x> 3；（3）当 2≤y≤2时， 4≤x≤ 2．4.如图，已知直线l1:y1=2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2:y2= x 2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．（1）求△APB的面积；（2）利用图象求当x取何值时，y1课堂小结 课堂小结1、在观察图形时主要看图形中的哪几个关键地方？①两坐标轴的含义；②两直线的交点；③与坐标轴的交点；④图象的高低；⑤直线的倾斜程度．2、利用函数的图象我们刚才解决了哪几个问题？（1）求方程组的交点坐标；（2）求不等式的解集．3、“数”用“形”表示，由“形”想到数，数与形合，是我们数学学习中一种很重要的思想方法，这就是数形结合法．
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17.5 实践与探索 教学设计
课题 17.5 实践与探索 单元 第17 单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 理解函数图象交点的意义,能够利用一次函数的图象解方程组、解不等式等.通过收集数据,利用函数图象整理数据,发现函数图象的特征,猜想函数的相应名称．
核心素养分析 利用一次函数的性质解决实际问题，提高解决实际问题的能力．提高学生形象思维能力和数学应用能力．强化数学建模思想，提高学生应用已有知识、灵活处理问题的能力．
学习目标 1、通过观察函数图象，能够从函数图象中获取信息．理解函数图象交点的意义，能够利用一次函数的图象解二元一次方程组．2、理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系，能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．
重点 利用一次函数的图象解方程组、不等式，利用函数图象性质解决问题.
难点 从函数的图象中提炼出有用的信息，选择恰当的函数图象、性质解决问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题活动一：问题1：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接 ( http: / / www.21cnjy.com )，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．21世纪教育网版权所21教育网 ( http: / / www.21cnjy.com )根据图象回答：(1)乙复印社的每月承包费是多少？(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？探究归纳问 “乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？21世纪教育网版权所答 “乙复印社的每月承包费”指当x＝0时，y的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元．问 “收费相同”在图象上怎样反映出来？21世纪教育网版权所答 “收费相同”是指当x取相同的值时，y ( http: / / www.21cnjy.com )相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解．【来源：21·世纪·教育·网】问 如何在图象上看出函数值的大小？答 作一条x轴的垂线，如下 ( http: / / www.21cnjy.com )图，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低．从图中可以看出，如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较低．21·世纪*教育网拓展与提高21世纪教育网版权所如果该校每月复印费预算为220元，应选择哪个复印社？ ( http: / / www.21cnjy.com )题后归纳：由函数图象解答问题时，首先要明确横、纵 ( http: / / www.21cnjy.com )轴表示的含义，函数图象的交点坐标表示两个图象上横、纵坐标都相同的点，在横轴上的一定范围内，位于上方图象的函数值要比位于下方的图象的函数值大. 21世纪活动二：师：利用幻灯片演示：二元一次方程 x+y=3 可改写成一次函数y=3-x．以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图象就是 一次函数 y=3-x 的图象．两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而这两个关系式可以看成关于x、y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解．师：由此你能想像出用图象法解方程组的一般步骤吗？生：动手操作，并交流解答过程和结果．图中的两条直线：y＝2x－5和y＝－x＋1，它们的交点坐标（2，－1）就是方程组的解． 思考自议观察函数图象完成探究问题． 通过对问题的探究引导学生观察图象，培养学生获得信息的能力．
讲授新课 二、提炼概念1. 二元一次方程与一次函数的区别与联系二元一次方程的解是一次函数图像上点的坐标； 一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解.2. 二元一次方程组的解法总共学习了哪几种 21世纪加减法;代入法;图象法.3. 图像法解方程组的方法归纳1、明确：“两对应”：1）、方程对 ( http: / / www.21cnjy.com )应着函数（不是解析式形式的方程可通过移项变为解析式形式）；2）、方程组的解对应函数图像的交点坐标。2、画出每个方程对应的函数图像；3、找出这两个图像的交点横纵坐标分别对应方程组的x、y值.三、典例精讲例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解．解：由 可得在同一直角坐标系内作出一次函数的图象l1和y=x+5 的图象l2,如图所示 SHAPE \* MERGEFORMAT 所以方程组 是 问题2画出函数的图象，根据图象，指出：（1）x取什么值时，函数值y等于零？（2）x取什么值时，函数值y始终大于零？解：有图象可知：（1）当x=-2时，y等于0.（2）当x＞-2时，y大于0.师：请同学们想一想，一元一次方程的解，不等式的解集与函数的图象有什么关系？说说你的想法并和同学讨论交流．归纳：从“数”的角度来看，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的函数值是0时，对应的x的值就是一元一次方程 kx＋b＝0的解；当一次函数y＝kx＋b的值大于0时，对应部分x的取值的集合，就是不等式 kx＋b＞0的解集；当一次函数y＝kx＋b的值小于0时，对应部分x的取值的集合，就是不等式 kx＋b＜0的解集．从“形”的角度看，直线 y＝kx＋b（k≠0）与x轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0的解；直线 y＝kx＋b位于x轴上方部分对应的x的值的集合就是不等式 kx＋b＞0的解集；直线 y＝kx＋b位于x轴下方部分对应的x的值的集合就是不等式 kx＋b＜0的解集．问题3 为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t（℃）变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：t(℃)-40-20-100V(cm3)998.3999.2999.61000t(℃)10 204060V(cm3)1 000.31 000.71 001.61 002.3你能否据此求出V和t的函数关系 师：请同学们在平面直角坐标系中将这些数值所对应的点在坐标系中描出．你们有什么发现？生：这些点大致位于一条直线上，可知V和t近似地符合一次函数关系．生：完成解答．师：请同学们讨论，如何解决这类问题？生：讨论．将这些数值所对应的点在坐标系中作出．我们发现，这些点大致位于一条直线上，可知V和t近似地符合一次函数关系．我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合，求出近似的函数关系式．如下图所示的就是一条这样的直线，较近似的点应该是(10，1000.3)和(60，1002.3)． 解：设V＝kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k＝0.04，b＝999.7．V＝0.04t＋999.7．归纳：我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式．但是现实 生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究．常用的方法是：把实践或调查中得到的一些变量的值，通过描点得出函数的近似图象，再根据画出的图象的特征，猜想相应的函数名称，然后利用待定系数法求出函数关系式． 通过对问题的探究，理解函数图象上的特殊点的意义．解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系，能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集． 21世纪 理解函数图象交点的意义，能够利用一次函数的图象解二元一次方程组．
课堂练习 四、巩固训练1．如图，一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象相交于A(3，2)，则不等式k2x＋b2＞k1x＋b1的解集为_________．x＜32.用图象法解方程组解：由x-2y=-2，可得y=1/2x+1 同理，由2x-y=2，可得y=2x-2在同一直角坐标系内作出一次函数y=1/2x+1 的图象l1和y=2x-2的图象l2,如图所示 得l1，l2的交点为P(2，2). 3.画出函数y=2x+6的图象，利用图象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+6>0的解；（3）若 2≤y≤2求x的取值范围．解：图象为：（1）观察图象知：该函数图象经过点 ( 3，0)，故方程2x+6=0的解为x= 3；（2）观察图象知：当x> 3时，y>0，故不等式2x+6>0的解为x> 3；（3）当 2≤y≤2时， 4≤x≤ 2．4.如图，已知直线l1:y1=2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2:y2= x 2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．（1）求△APB的面积；（2）利用图象求当x取何值时，y1
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