6.5 垂直关系——2022-2023学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练（含解析）

6.5 垂直关系——2022-2023学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
1.如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱，，则它的五个面中，互相垂直的共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
2.设，，为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.如图，在三棱锥中，是以BD为斜边的直角三角形，是以BC为斜边的直角三角形，平面平面BCD，在三棱锥的四个面中，相互垂直的平面组数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.设l是直线，，是两个不同的平面( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
5.在四边形ABCD中，，，，.如图，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成三棱锥.则在三棱锥中，下列结论正确的是( )
A.平面平面ABC B.平面平面BDC
C.平面平面BDC D.平面平面ABC
6.在空间四边形ABCD中，若，，则有( )
A.平面平面ADC B.平面平面ADB
C.平面平面DBC D.平面平面DBC
7.如图，在斜三棱柱中，，，则点在平面ABC上的射影点H必在( )
A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.内部
8. （多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，则下列说法正确的是( )
A.在线段AD上存在一点M，使平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角的大小为45°
D.平面PAC
9. （多选）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是( )
A.若，，，则
B.若m，，，，则
C.若，，，则
D.若，，，，则
10. （多选）如图，在三棱锥中，平面，，，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
A.平面 B. C.平面 D.平面
11.若四边形ABCD是正方形，平面ABCD，则在平面PAB、平面PBC、平面PCD、平面PDA和平面ABCD中，互相垂直的平面一共有____________________对.
12.已知矩形ABCD所在的平面，则图中相互垂直的平面有_____对.
13.已知平面和直线m，给出以下条件：
(1)；(2)；(3)；(4).
要使，则所满足的条件是_________.(填所选条件的序号)
14.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，，
（1）求证：平面平面BCF.
（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.
15.如图，四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PA上一点，且.
（Ⅰ）证明：平面平面PAC；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，，所以，，所以，.因为，所以底面ABCD.因为平面PAB，平面PAD，所以平面平面ABCD，平面平面ABCD.因为四边形ABCD是正方形，所以平面PAD，可得平面平面PAD，平面PAB，可得平面平面PBC，平面PAD，可得平面平面PCD.故选C.
2.答案：C
解析：在A选项中，，，，则和m可能平行或相交，故A错误；在B选项中，，，，则m与相交或或，故B错误；在C选项中，因为，，所以，又，所以，故C正确；在D选项中，由，，不能推出，所以由不能推出，故D错误.故选C.
3.答案：B
解析：因为平面平面BCD，平面平面，平面BCD，，所以平面ABD.又因为平面ABD，所以.因为，，，所以平面ACD.又平面ABC，平面ABD，所以平面平面ABC，平面平面ABD.又由题知平面平面BCD，则共有三组互相垂直的平面，故选B.
4.答案：B
解析：A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；B选项中，，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知，故B正确；C选项中，若，，则或，故C错误；D选项中，若，，则l与相交、平行或，故D错误.故选B.
5.答案：D
解析：在平面图形中，，折起后仍然满足.因为平面平面BCD，所以平面ABD，.又因为，所以平面ADC，所以平面平面ABC.
6.答案：D
解析：，，，平面DBC.
又平面ADC，平面平面DBC.
7.答案：A
解析：连接.，，平面.又平面ABC，平面平面ABC，点在平面ABC上的射影点H必在平面与平面ABC的交线AB上，故选A.
8.答案：ABC
解析：对于A选项，如图，取AD的中点M，连接PM，BM，连接AC，BD，交于点O.侧面PAD为正三角形，.又底面ABCD是菱形，，是等边三角形，.又，PM，平面PMB，平面PBM，故A正确.对于B选项，平面PBM，，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确.对于C选项，平面平面，，平面PBM.，平面PBM，，，是二面角的平面角.设，则，.在中，，即，故二面角的大小为45°，故C正确.对于D选项，与PA不垂直，与平面PAC不垂直，故D错误.故选ABC.
9.答案：AD
解析：A选项，若，，则，，则，所以该选项正确；B选项，若m，，，，只有m与n相交，才能得出，所以该选项错误；C选项，若，，，则m，n可能平行也可能异面；D选项，根据面面垂直的性质可得，若，，，，则该选项正确.故选AD.
10.答案：ABC
解析：因为平面ABC，所以，又，，PA，平面PAB，所以平面PAB，故A正确；
由平面PAB，得，又，D是PB的中点，所以，又，PB，平面PBC，所以平面PBC，所以，故B，C正确；
由平面PAB，得，因此PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D错误.故选A，B，C.
11.答案：5
解析：互相垂直的平面有平面PAB和平面ABCD，平面PBC和平面PAB，平面PCD和平面PDA，平面PDA和平面ABCD，平面PAB和平面PDA，共5对.
12.答案：5
解析：因为矩形ABCD所在的平面且平面平面PDC.
所以平面平面ABCD，平面平面ABCD，
又因为四边形ABCD为矩形，所以.
因为矩形ABCD所在的平面，所以.
因为，
所以平面平面PDC.
因为平面平面PBC，
所以平面平面PAD，平面平面PCD，
又，所以平面PAD，
又平面PAB，所以平面平面PAD.
综上相互垂直的平面有5对.
13.答案：②④
解析：由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的条件，故由②④可推出.
即②④是的充分条件，故当时，应满足的条件是②④.
14、（1）答案：见解析
解析：如图，矩形ABCD中，，
平面平面
平面平面ABEF，
所以平面ABEF
又平面ABEF
，又AB为圆O的直径，
则
，BC，平面BCF，
所以平面BCF，且平面ADF
所以平面平面BCF.
（2）答案：6
解析：几何体是四棱锥，是三棱锥，过F点作，交AB于H
平面平面ABEF，平面ABCD
则，，
所以.
15.答案：（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）平面ABCD，平面ABCD，
在直角梯形ABCD中，，，，，
，
，，
又.平面PAC，
平面EBC，
平面平面PAC；
（Ⅱ），
由（Ⅰ）可知平面PCE，
所以三棱锥的高为，
，，，
.
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