6.6 简单几何体的再认识——2022-2023学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练（含解析）

6.6 简单几何体的再认识——2022-2023学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
1.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
2.如图，已知四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面平面APB，G为PC上一点，且平面APC，，则三棱锥体积最大值为( )
A. B. C. D.2
3.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.古代将圆台称为“圆亭”，九章算术中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为( )
A.立方丈 B.立方丈 C.立方丈 D.立方丈
5.鳖臑(biēnào)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼.已知三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，，，则三棱锥的外接球的体积是( )
A. B. C. D.
6.已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为9的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
8. （多选）把一张长为4宽为3的矩形白纸卷成圆柱（缝隙忽略不计），圆柱的体积是（ ）
A. B. C. D.
9. （多选）一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（ ）
A. B. C. D.
10. （多选）在正方体中,如图,分别是正方形,的中心.则下列结论正确的是( )
A.平面与的交点是的中点
B.平面与的交点是的三点分点
C.平面与的交点是的三等分点
D.平面将正方体分成两部分的体积比为
11.已知两个平行平面间的距离为2，这两个平面截球O所得两个截面圆的半径分别为1和，则球O的表面积等于______.
12.在三棱锥中，，平面，三棱锥的顶点都在球O的球面上.若三棱锥的体积为，则球O的表面积为___________.
13.已知空间四边形ABCD的各边长及对角线的长度均为6，平面平面CBD，则空间四边形ABCD外接球的表面积为______.
14.如图，在直三棱柱中，，，D，F分别为和的中点，E为棱上一点，且A，D，E，F四点共面.
（1）求的长；
（2）求三棱锥的体积.
15.已知在底面半径为3、母线长为5的圆锥中内接一个高为2的圆柱．
(1)求圆柱的体积；
(2)在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与(1)中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的高；若不存在，请说明理由．
答案以及解析
1.答案：A
解析：本题考查三棱锥和球.设AB的中点是，可知，又，则三棱锥的高是，故体积是.
2.答案：A
解析：四棱锥中，四边形ABCD为正方形，
，
平面平面APB，平面平面，
平面ABP，平面ABP，，
G为PC上一点，且平面APC，平面ABP，
，平面PBC，平面PBC，
平面PBC，平面PBC，，
令，，则，，
当且仅当时，取“=”，
三棱锥体积最大值为.故选：A.
3.答案：C
解析：设圆锥的内切球的半径为r，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的体积.故选C.
4.答案：B
解析：通过题目可知，圆台上底周长2丈，则上底半径为丈.
同理，下底周长3丈，下底半径为丈.
根据圆台体积公式得(立方丈).
故选：B.
5.答案：D
解析：依题意，三棱锥可放在长方体中，如图所示
易得三棱锥的外接球的直径为AD，则，故三棱锥的外接球的半径，所以.
故选：D.
6.答案：B
解析：根据题意，可得截面是边长为3的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为3，
所以其表面积.
故选：B.
7.答案：A
解析：设底面半径为r，高为h，则母线，又展开图为半圆，则弧长，，
故，，，故，解得，
故，故选A.
8.答案：CD
解析：若底面周长为，则，，圆柱体积.
若底面周长为，则，，圆柱体积.
故选：CD
9.答案：BCD
解析：设长方体的另外两条棱长分别为x，y，则，
长方体的对角线长，
，，.
当且仅当时等号成立，，
.
结合选项可得，BCD正确，A错误.故选：BCD.
10.答案：BC
解析：如图,取的中点,延长,并交于点,连接
并延长,设,连接并延长交于点.连接,则平面四边形就是平面与正方体的截面,如图所示.
经过作图过程中的数据计算,点是线段靠近点的三等分点,点是线段靠近点的三等分点,点是线段靠近点的三等分点.作出线段的另一个三等分点,作出线段靠近的三等分点,连接.
易知,,
所以,从而平面将正方体分成两
部分体积比为.
11.答案：
解析：设球半径为R，球心O到截面距离分别为，，则，，
若球心O在两个截面的同侧，故，即，
两边平方化简得，不合题意.
若球心O在两个截面之间，则，即，解得.
所以球O的表面积等于.
故答案为：
12.答案：
解析：依题意设，则，即，解得，设外接圆的半径为r，则，设三棱锥外接球的半径R，则，所以球O的表面积；
故答案为：
13.答案：
解析：由题意知和为等边三角形，取BD中点为E，连接AE，CE，如图所示，则.
由平面平面CBD，平面平面.平面ABD
故AE⊥平面CBD，有
球心O在平面BCD的投影为的外心，球心O在平面ABD的投影为的外心，有，，
则在中，，
所以外接球半径
空间四边形ABCD外接球的表面积
故答案为：.
14.答案：(1).
(2).
解析：(1)延长AF交直线于M，连接DM，则DM与的交点即为E.
因为F为的中点，则为的中点，故为E为的中线MD,的交点，
即E为的重心，则；
(2)因为，
且平面，
故.
15.答案：(1).
(2)存在另外一个内接的圆柱与(1)中圆柱体积相等，该圆柱的高为.
解析：(1)如图，
已知，，，
圆锥的高，
因为，
所以，
又，，
所以，
则，
故圆柱的体积.
(2)假设存在另一个符合题意的圆柱，设其高为h，底面半径为r，
则，即，
所以，
则，
整理得，
解得或，
因为，
故不符合题意，舍去，
故存在另外一个内接的圆柱与(1)中圆柱体积相等，该圆柱的高为.
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