福建省福州第四十中学2022-2023学年高二下学期开学考数学试卷（含解析）

福州第四十中学2022-2023学年高二下学期开学考 数学
一．选择题（每小题5分）
1．已知等差数列的前项和为，且，则的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
2．空间中，直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲面和双曲抛物面，比如，中心在原点的椭球面的方程为，，，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图，若某建筑准备采用半椭球面设计（如图，半椭球面方程为，该建筑设计图纸的比例（长度比）为（单位：，则该建筑的占地面积为　　
A． B． C． D．
4．已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为　　
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是　　
A．平面 B．
C．直线与所成角的范围为
D．二面角的大小为
6．在数列中，已知，则　　
A．0 B．1 C．2 D．3
7．正四面体各棱长均为，，，分别是，，的中点，则　　
A． B． C．1 D．
8．已知第一象限内的点既在双曲线的渐近线
上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为，
，若的焦点为，且△是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为　　
A．2 B． C． D．
二．多选题（每小题5分，未选全得2分，选错不得分）
9．下列结论中不正确的是　　．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是　　
A． B．
C．若是纯虚数，那么
D．若，在复平面内对应的向量分别为，为坐标原点），则
11．设等差数列的前项和为，公差为，若，，，则下列结论正确的有　　
A．数列是单调递增数列 B．当取得最小值时，或6
C． D．数列中的最小项为
12．椭圆的上下顶点分别、，焦点为、，为椭圆上异于、的一动点，离心率为，则　　
A．△的周长为 B．离心率越接近1，则椭圆越扁平
C．直线、的斜率之积为定值 D．存在点使得，则
三．填空题（每小题5分）
13．已知函数，则　　．
14．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则　　．
15．已知是椭圆和双曲线
的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，
若，则的取值范围为 　　．
16．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，
且，为内部一动点，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，．则以下结论中所有正确结论的序号是 　　．
①直线与直线是异面直线；
②为定值；
③三棱锥的外接球表面积的最小值为；
④当时，平面与平面的夹角为．
四．解答题
17．（10分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若的面积为，，求的周长．
18．（12分）已知点，圆．
（1）若直线过且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）点，，点是圆上的任一点，求点到直线的距离的最小值．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在，单调递增，求实数的取值范围．
20．（12分）已知等比数列的前项和为，．为等差数列，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
22．（12分）已知圆上的动点在轴上的投影为，动点满足．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）动直线与曲线交于，两点，问：是否存在定点，使得为定值，若存在，请求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知等差数列的前项和为，且，则的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】选．根据等差数列前项和公式得，，由等差数列的性质可知，
所以，解得．
2．空间中，直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】选．①当时，则或，充分性不成立，
②当时，则，，必要性成立，综上，是的必要不充分条件．
3．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲面和双曲抛物面，比如，中心在原点的椭球面的方程为，，，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图，若某建筑准备采用半椭球面设计（如图，半椭球面方程为，该建筑设计图纸的比例（长度比）为（单位：，则该建筑的占地面积为　　
A． B． C． D．
【解答】选．令，半椭球面方程为，即，这是一个半径为的圆，
又建筑设计图纸的比例（长度比）为，圆的实际半径为，
则建筑的占地面积为．
4．已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】选．设直线与抛物线相交于，两点，，，，，代入抛物线方程，
可得，，两式相减，可得，
的中点为，，设直线的斜率为，，解得．
这条弦所在的直线的方程为，即
5．如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是　　
A．平面 B．
C．直线与所成角的范围为
D．二面角的大小为
【解答】选．对于，因为平面平面，平面，则平面，
故选项正确；
对于，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，
则，0，，，1，，，0，，，0，，设，，，，
所以，因为，则，即，
故选项正确；
对于，，设直线与所成角为，
所以，当时，最大值为，则的最小值为，
当时，最小值为0，则的最大值为，故选项错误；
对于，二面角即二面角，
因为，，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
在正方形中，，故二面角的大小为，故选项正确．
6．在数列中，已知，则　　
．0 B．1 C．2 D．3
【解答】选．因，所以，，
，，，
且的值以4为周期循环出现，所以数列是以4为周期的数列，
所以．
7．正四面体各棱长均为，，，分别是，，的中点，则　　
A． B． C．1 D．
【解答】选．正四面体各棱长均为，
则，
，，分别是，，的中点，，，
，．
8．已知第一象限内的点既在双曲线的渐近线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为，，若的焦点为，且△是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为　　
A．2 B． C． D．
【解答】选．由题意可得，，则，则，则，
不妨设，又双曲线的渐近线方程为，则，即，即，
则双曲线的离心率为，
二．多选题（共4小题）
9．下列结论中不正确的是　　．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】选．对于．，错误；对于．，错误；
对于，正确；对于．，错误．
10．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是　　
A． B．
C．若是纯虚数，那么
D．若，在复平面内对应的向量分别为，为坐标原点），则
【解答】选．对于，虚数不能比较大小，故错误；
对于，，，
，，故，故正确；
对于，，若是纯虚数， 则，解得，故正确；
对于，，，则，，
故，即，故错误．
11．设等差数列的前项和为，公差为，若，，，则下列结论正确的有　　
A．数列是单调递增数列 B．当取得最小值时，或6
C． D．数列中的最小项为
【解答】选．对于，，，，，
，解得，数列是单调递增数列，故正确；
对于，，，，得，，
可得，由数列是单调递增数列前6项都是负的且和最小，故错误；
对于，由，，，得，解得，故错误；
对于，，当时，，，，当时，，，，
当时，，，，数列中的最小项在之间，
在时，，且逐渐增大但逐渐减少，且逐渐增大，
逐渐增大，最小，故正确．
12．椭圆的上下顶点分别、，焦点为、，为椭圆上异于、的一动点，离心率为，则　　
A．△的周长为 B．离心率越接近1，则椭圆越扁平
C．直线、的斜率之积为定值 D．存在点使得，则
【解答】选．对于：为椭圆上异于、的一动点，△的周长为，而，
所以周长是，故正确；
对于：，当越接近1，的值越小，所以椭圆越扁平，故正确．
对于：椭圆的上下顶点分别，，设，，
则，而，代入可得：，故错误．
对于：当点在短轴端点时最大，若，则，所以，
，，故，故正确．
三．填空题（共4小题）
13．已知函数，则　　．
【解答】因为，所以，所以（2）．
14．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则　25　．
【解答】设数列的公比为，则，由题意知，，所以，
因为，所以，即，解得或（舍，所以．
15．已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，
则的取值范围为 　　．
【解答】设，，点在椭圆上，，①，
又点在双曲线上，，②，则①②得；①②，
在△中：，，
，，，，
令，则，，
又在上单调递减，．
16．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，为内部一动点，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，．则以下结论中所有正确结论的序号是 　②③　．
①直线与直线是异面直线；
②为定值；
③三棱锥的外接球表面积的最小值为；
④当时，平面与平面所成的锐二面角为．
【解答】解：对于②，设，，，由题意，
即，所以，
即为定值，故②正确；
对于③，设三棱锥的外接球的半径为，由题意可知，，两两垂直，
则
，
当且仅当时，取等号，所以的最小值为，即的最小值为，
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故③正确；
对于④，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以，此时，为的中心，
，
因为，，，所以平面，
故即为平面的一条法向量，
，设平面的法向量为，
则有，可取，则，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，故④错误，
由④可知，当为的中心时，，，0，，，2，，则，
所以，所以直线与直线共面，故①错误．
四．解答题（共7小题）
17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若的面积为，，求的周长．
【解答】（1）．由正弦定理可得：，
可得：，为三角形内角，，解得，，．
（2），，
由余弦定理得，，即，解得，
的周长为．
18．已知点，圆．
（1）若直线过且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）点，，点是圆上的任一点，求点到直线的距离的最小值．
【解答】解：（1）圆，其圆心坐标为，半径为，点，
①当直线斜率不存在时，直线方程为：，此时圆心到轴的距离，
由勾股定理可得，弦长为，符合题意
②当直线斜率存在时，设过的直线方程为：，化为一般方程：，
圆心到直线的距离．又，得：，所以，
综上可得直线或；
（2）直线的方程为，即．
圆，其圆心坐标为，半径为，
可得圆心到直线的距离为，圆上的点到直线距离的最小值为．
19．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在，单调递增，求实数的取值范围．
【解答】（1）函数的定义域为，，由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数的最小值为（e）；
（2），，由得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3），因为函数在，单调递增，
所以在，恒成立，即，
因为，，所以，所以，故的取值范围为．
20．已知等比数列的前项和为，．为等差数列，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
【解答】解：（1）当时，，，当时，，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，
又，，解得，所以等差数列公差，从而得；
（2）因为，
所以，
，
所以，
所以．
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【解答】（1）四边形为正方形，则，
平面平面，平面平面，平面．
（2）如图，取的中点为，连接，在正中，，平面，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，取，则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，
，0，，，，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，，，
设直线与平面所成角为，，，
直线与平面所成角的正弦值为．
（3）由（2）知，2，，由（2）知，，，
点到平面的距离为．
22．已知圆上的动点在轴上的投影为，动点满足．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）动直线与曲线交于，两点，问：是否存在定点，使得为定值，若存在，请求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设，，，则，
由得， 即，
将代入得，即，所以动点的轨迹方程；
（2）设，，，，，联立与
可得，所以，
因为
为定值，
所以，，所以，，
所以存在定点，使得为定值．