2022-2023学年北师大版八年级数学下册1.2 直角三角形 同步练习（含解析）

北师大版八下 1.2 直角三角形
一、选择题（共17小题）
1. 如图，， 于 ， 于 ，下列结论不一定正确的是
A. B.
C. D.
2. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，两个滑梯的倾斜角 和 之间的关系是
A. B.
C. D.
3. 在 中，，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
4. 如图，在 中，，则 为
A. B. C. D.
5. 如图， 为 的平分线，，，垂足分别是 ，，则下列结论错误的是
A. B.
C. D.
6. 下列说法中错误的是
A. 在 中，，则 为直角三角形
B. 在 中，若 ，则 为直角三角形
C. 在 中，若 ，，则 为直角三角形
D. 在 中，若 ，则 为直角三角形
7. 下列各命题的逆命题成立的是
A. 全等三角形的对应角相等
B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 如果两个角都是 ，那么这两个角相等
8. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是
A. 已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式
B. 如果 的相反数为 ，那么 为
C. 如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除
D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数
9. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是
A. 三内角之比为 B. 三边长的平方之比为
C. 三边长之比为 D. 三内角之比为
10. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是
A. 已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式
B. 如果 的相反数为 ，那么 为
C. 如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除
D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数
11. 下列说法中错误的是
A. 三角形的三个内角中，最多有一个钝角
B. 三角形三个内角中，至少有两个锐角
C. 直角三角形中有两个锐角互余
D. 三角形中两个内角和必大于
12. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是
A. 已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式
B. 如果 的相反数为 ，那么 为
C. 如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除
D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数
13. 如图，在 和 中，，，有以下结论：① ；② 平分 ；③ 平分 ，其中，正确结论的个数是
A. B. C. D.
14. 下列说法正确的是
A. 在 中，若 ，则 是直角三角形
B. 在直角 中，一边长为 ，另一边长为 ，则第三边长一定为
C. 三边长分别为 ，， 的三角形不是直角三角形
D. 在 中，若 ，则 是直角三角形
15. 如图，在 中，，则
A. B. C. D.
16. 如图，，，，要根据“”证明 ，则还要添加的一个条件是
A. B. C. D.
17. 中，，， 的对边分别记为 ，，，由下列条件不能判定 为直角三角形的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共10小题）
18. 如图， 中， 于 ，要使 ，若根据“”判定，还需加条件 ．
19. 在具备下列条件的 中，
① ；② ；③ ；④ ．
则不能成为直角三角形的是 （填序号）．
20. 命题“如果 ，那么 ”的逆命题是 ，原命题是 命题，逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
21. 如图，，，利用“”说明 ，从而得到 ．
22. 下列命题中，其逆命题成立的是 （只填写序号）．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长 ，， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形．
23. 若直角三角形的一个锐角为 ，则另一个锐角等于 ．
24. 在 中，，，那么 ．
25. 在 中，若 ，则 是 三角形．
26. 如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的 倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度．
27. 若 的三边长分别为 ，，．下列条件：① ；② ；③ ；④ ．其中能判断 是直角三角形的是 （填序号）．
三、解答题（共6小题）
28. 在 中，，．
求证： 是直角三角形．
29. 如图，锐角\triangleABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠ABC＝65°，求∠CBD的度数．
30. 如图， 是直角 斜边 上的高，求证：，．
31. 已知 的两个顶点分别为 ，，顶点 在直线 ： 上．
（1）若 ，求点 的坐标．
（2） 面积为 ，设点 坐标 ，求 与 函数关系式．
（3）在直线 上是否存在点 ，使得 是直角三角形．若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由．
32. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
33. 利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．已知：如图，，，点 在 上．求证：．
答案
1. D
2. D
【解析】由题意可知 ，，，，
与 都为直角三角形．
在 和 中，
（），
．
，
．
3. A
【解析】在 中，，，
则 ，
4. D
【解析】在 中，，则 ，解得 ，
所以 ，即 ．
故选D．
5. B
【解析】 为 的平分线，，，
，．
在 与 中，
，
，．
A，C，D结论正确．
6. D
7. C
8. B
【解析】A．已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式是假命题；
B．如果 的相反数为 ，那么 为 是真命题，它的逆命题是如果 为 ，那么 的相反数为 ，是真命题；
C．如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除是真命题，它的逆命题是如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除，是假命题；
D．如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数，是假命题．
故选：B．
9. D
10. B
【解析】A、已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式是假命题；
B、如果 的相反数为 ，那么 为 是真命题，它的逆命题是如果 为 ，那么 的相反数为 ，是真命题；
C、如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除是真命题，它的逆命题是如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除，是假命题；
D、如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数，是假命题．
11. D
【解析】A、三角形的三个内角中，最多有一个钝角，正确．
B 、三角形三个内角中，至少有两个锐角，正确．
C、直角三角形中有两个锐角互余，正确，
D、三角形中两个内角和必大于 ，错误，比如钝角三角形的两个锐角的和小于 ．
12. B
【解析】A、已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式是假命题；
B、如果 的相反数为 ，那么 为 是真命题，它的逆命题是如果 为 ，那么 的相反数为 ，是真命题；
C、如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除是真命题，它的逆命题是如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除，是假命题；
D、如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数，是假命题．
故选：B．
13. D
【解析】在 和 中，
所以 ，
所以 ，，，
所以 平分 ， 平分 ，
所以①②③正确，正确结论的个数是 ．
14. D 【解析】A、在 中，若 ，则 ，，，则 不是直角三角形，所以A选项的说法错误；
B、在 中，若两边长分别为 和 ，则第三边长为 或 ，所以B选项的说法错误；
C、三边长分别为 ，，，则 ，所以三边长分别为 ，， 的三角形是直角三角形，所以选项的说法错误；
D、在 中，若 ，所以 ，那么这个三角形是直角三角形，所以D选项的说法正确．
故选：D．
15. D
【解析】在 中，，
则 ，
解得 ，
所以 ，
即 ．
16. A
【解析】添加的条件是 ．
理由：，，
，
在 和 中，
．
17. B
【解析】A、因为 ，，
所以 ，
所以 为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设 ，，，
，
解得：，
则 ，
所以 不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、因为 ，
所以 ，
所以 为直角三角形，故此选项不合题意；
D、因为 ，
设 ，，，
因为 ，
所以能构成直角三角形，故此选项不合题意．
18.
19. ④
【解析】①由于 ，
，
因此 ，
解得 ，
所以 是直角三角形；
②由于 ，
因此 ，
所以 ，
因此， 是直角三角形；
③由 ，
，
因此 ，
解得 ，
所以 是直角三角形；
④由 得 ，
因此 ， 是钝角三角形；
综合上述，只有④中的三角形不是直角三角形．
20. 如果 ，那么 ，真，真
21. ，
22. ①④
23.
【解析】 直角三角形的一个锐角为 ，
另一个锐角 ．
24.
【解析】，
，
，
，
．
25. 直角
26.
【解析】设直角三角形的最小内角为 ，另一个内角为 ，
由题意得，
解得：
答：该三角形的最小内角等于 ．
27. ①②④
【解析】，
，
，
，
是直角三角形，故①符合题意；
，
，
是直角三角形，故②符合题意；
，，
，，，
不是直角三角形，故③不符合题意；
，
，
是直角三角形，故④符合题意．
28. ，
，
，
，
是直角三角形．
29. ∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴\triangleBCE和\triangleCBD是直角三角形，
在\mathrm {Rt}\triangleBCE和\mathrm {Rt}\triangleCBD中，
，
∴\mathrm {Rt}\triangleBCE≌\mathrm {Rt}\triangleCBD（HL），
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC＝65°，
∴∠ACB＝65°，
∴∠CBD＝90°﹣∠ACB＝25°．
【解析】略
30. 略．
31. （1）
（2） 当 时，；当 时，．
（3） 存在，，，，．
32. （1） 两直线平行，内错角相等，为真命题．
（2） 相等的角是对顶角，为假命题．
（3） 对应角相等的三角形是全等三角形，为假命题．
（4） 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题．
33. 连接 ．
，
点 在线段 的垂直平分线上．
，
点 在线段 的垂直平分线上，
是线段 的垂直平分线（两点确定一条直线）．
点 在 上，
．