2022-2023学年北师大版八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线同步练习 （含答案）

北师大版八下 1.3 线段的垂直平分线
一、选择题（共17小题）
1. 如图， 中，，， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ，则下列关系式不正确的是
A. B. C. D.
2. 如图， 中，，边 的垂直平分线 分别交 ， 于 ，，且 ，则 的周长为
A. B. C. D.
3. 如图，，，则
A. 垂直平分 B. 垂直平分
C. 平分 D. 以上结论都不正确
4. 线段 的垂直平分线上一点 到点 的距离为 ，则点 到点 的距离
A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 无法确定
5. 在 中， 为钝角．用直尺和圆规在边 上确定一点 ．使 ，则符合要求的作图痕迹是
A. B.
C. D.
6. 如图在 中，，， 平分 ，，则以下结论错误的是
A. 点 在 的垂直平分线上 B. 点 到 的距离为
C. 点 到 的距离为 D. 点 到 的距离为
7. 通过如下尺规作图，能确定点 是 边中点的是
A. B.
C. D.
8. 如图，下列四种基本尺规作图分别表示：
①作一个角等于已知角；
②作一个角的平分线；
③作一条线段的垂直平分线；
④过直线外一点作已知直线的垂线．
则对应选项中作法错误的是
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9. 如图，在钝角三角形 中， 为钝角，以点 为圆心， 的长为半径画弧，再以点 为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ，与 的延长线交于点 ．下列结论错误的是
A. 垂直平分 B. 平分
C. 是等腰三角形 D. 是等边三角形
10. 如图，点 ，，，， 在一条直线上，且 ，我们知道按如图所作的直线 为线段 的垂直平分线．下列说法正确的是
A. 是线段 的垂直平分线 B. 是线段 的垂直平分线
C. 是线段 的垂直平分线 D. 是 的垂直平分线
11. 下列说法中，正确的是
A. 过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线
B. 若直线 是线段 的垂直平分线，则 也是 的垂直平分线
C. 线段 的中垂线平分线段
D. 线段 的中垂线有无数条
12. 如图，点 ，，，， 在一条直线上，且 ，我们知道按如图所作的直线 为线段 的垂直平分线．下列说法正确的是
A. 是线段 的垂直平分线 B. 是线段 的垂直平分线
C. 是线段 的垂直平分线 D. 是 的垂直平分线
13. 如图所示的四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是
A. ① B. ② C. ③ D. ④
14. 如图， 中， 垂直平分边 ，若 ，，则 的周长为
A. B. C. D.
15. 一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口 ，，（，， 不在同一条直线上），要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在
A. 的三边高线的交点处
B. 的三角平分线的交点处
C. 的三边中线的交点处
D. 的三边垂直平分线的交点处
16. 下列说法正确的是
A. 垂线段就是垂直于已知直线的线段
B. 垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线相交的线段
C. 垂线段是一条竖起来的线段
D. 过直线外一点向该直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段
17. 已知 是线段 的垂直平分线，下列说法正确的是
A. 若 交 于 ，则 ，且
B. 平分线段
C. 的垂直平分线是 ，且平面内只有 这一条
D. 可以是射线，也可以是直线或线段
二、填空题（共7小题）
18. 如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 的周长为 ，，则 的周长为 ．
19. 如图，点 在 的边 上，且 ，则点 在 的 上．
20. 如图，直线 是 中 边的垂直平分线，点 是直线 上的动点，若 ，，，则 的周长的最小值是 ．
21. 如图，在等腰三角形 中，底边 ， 的面积是 ，腰 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ，，点 为 边上的中点， 为 上的动点．
（）当 周长的最小时，请在图中作出满足条件的 （保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（） 周长的最小值是 ．
22. 如图，已知钝角 ，求作这个三角形底边 上的高．
下面是小戴设计的相应的尺规作图过程，并保留了作图痕迹．
步骤 ：以 为圆心， 长为半径画弧①；
步骤 ：以 为圆心， 长为半径画弧②，交弧①于点 ；
步骤 ：连接 ，交 延长线于点 ．则 即为所求．
则小戴作图的依据是：两点确定一条直线和 .
23. 如图，，，点 在 的垂直平分线上，若 ，，则 的长为 ．
24. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算 ．
三、解答题（共5小题）
25. 如图，在四边形 中，，，，．分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，点 是 的中点．
（1）求证：；
（2）求 的长．
26. 如图，在 中，， 为三角形外一点，且 ．
（1）求证： 垂直平分 ；
（2）若点 在 上，求证：．
27. 已知 中，．
（1）尺规作图：作 的垂直平分线，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（）的条件下，，．求 的周长．
28. 如图，在四边形 中， 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 ，且 ．求证：点 一定在 的垂直平分线上．
29. 如图，已知线段 和点 ．
（1）过点 画直线 的垂线，垂足为点 ．
（2）用直尺、圆规作线段 的垂直平分线，垂足为点 ．
答案
1. D
2. A
【解析】 是线段 的垂直平分线，
，
3. B
【解析】由已知条件 ，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点 在 的垂直平分线上，同理，点 也在 的垂直平分线上，所以 垂直平分 ．
4. A
【解析】 点 在线段 的垂直平分线上，
．
5. B
【解析】 且 ，
．
当点 是线段 的垂直平分线与 的交点时，．
设 的垂直平分线与 交于点 ．
在 与 中
，
．
当点 是线段 的垂直平分线与 的交点时，有 ．
6. C
7. A
【解析】作线段 的垂直平分线可得线段 的中点．由此可知选项A符合条件．
8. C
【解析】①利用有三条边相等的两个三角形全等及全等三角形对应角相等可作一个角等于已知角，故①正确；
②利用有三条边相等的两个三角形全等及全等三角形对应角相等可作一个角的平分线，故②正确；
③根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可作已知线段的垂直平分线，但是这里只确定了一个点，不能确定直线，故③错误；
④根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可过直线外一点作已知直线的垂线，故④正确．
9. D
【解析】由题意可得 ，，
直线 是 的垂直平分线，即 垂直平分 ，故A选项结论正确；
，，
，即 平分 ，故B选项结论正确；
，
是等腰三角形，故C选项结论正确；
与 不一定相等，
不一定是等边三角形，故D选项结论错误．
10. A
【解析】如图，
A选项， 直线 为线段 的垂直平分线，
，．
，
，即 ，
为线段 的垂直平分线，故此选项正确；
B选项，，
不是线段 的垂直平分线，故此选项错误；
C选项，，
不是线段 的垂直平分线，故此选项错误；
D选项， 为直线， 不能平分直线 ，
不是 的垂直平分线，故此选项错误．故选A．
11. C
12. A
【解析】设直线 与 交于点 ，
直线 为线段 的垂直平分线，
，．
，
，即 ，
为线段 的垂直平分线，故选项A正确．
13. C
【解析】①作一个角等于已知角的作法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点 作已知直线的垂线的作法正确．
14. B
15. D
【解析】三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
故选D．
16. D
17. C
【解析】根据线段垂直平分线的定义可知，线段的垂直平分线是直线，而非射线、线段，并且在平面内是唯一的，分析各选项可知C正确．
18.
【解析】由已知得， 垂直平分 ，
，
19. 垂直平分线
【解析】由 ，得 ，
点 在 的垂直平分线上．
20.
【解析】因为直线 垂直平分 ，
所以 ， 两点关于直线 对称，如图，设直线 交 于 ，连接 ．
则 ．
当 和 重合时， 的值最小，最小值等于 的长．
所以 的周长的最小值是 ．
21. （）如图所示， 即为所求．
（）
【解析】（）连接 交 于点 ，连接 ，
垂直平分线段 ，
，
点 是 的中点，
，
，
，
当点 在线段 与 的交点处时， 的周长最小，
即为所求．
（）
，
周长的最小值为 ．
22. 到线段两个端点距离相等点在这条线段的垂直平分线上
【解析】，，
点 ，点 在线段 的垂直平分线上，
直线 垂直平分线段 ．
故答案为：到线段两个端点距离相等点在这条线段的垂直平分线上．
23.
【解析】因为 ，，
所以 ．
又因为点 在 的垂直平分线上，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
24.
25. （1） ，
，
，，
，
．
（2） 连接 ，
易证 垂直平分 ，
，
由（）知 ，
，．
在 中，
，
，
，
．
26. （1） ，，
点 ，点 在线段 的垂直平分线上，
又 两点确定一条直线，
垂直平分 ．
（2） 垂直平分 ，点 在 上，
．
27. （1） 如图，点 为所作．
（2） 由作法得 ，
所以 的周长 ．
28. 如图，连接 ，．
因为点 是 ， 的垂直平分线的交点，
所以 ，，
又因为 ，
所以 ，
所以点 一定在 的垂直平分线上．
29. （1） 略
（2） 略