2022-2023学年北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线 同步练习 （含答案）

北师大版八下 1.4 角平分线
一、选择题（共18小题）
1. 三角形中，到三边距离相等的点是
A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
2. 如图，在 中，，，， 平分 ，则点 到 的距离等于
A. B. C. D.
3. 如图，在 中，， 平分 ，交 于点 ，，垂足为点 ，若 ，则 的长为
A. B. C. D.
4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线 ，另一把直尺压住射线 ，并且与第一把直尺交于点 ，小明说：“射线 就是 的平分线．”他这样做的依据是
A. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
5. 如图，点 是 的两个外角平分线的交点，下列结论：①点 在 的平分线上；②点 到 的三边的距离相等；③ ．以上结论正确的有
A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③
6. 如图， 的外角的平分线 与 相交于点 ，若点 到 的距离为 ，则点 到 的距离为
A. B. C. D.
7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图，一把直尺压住射线 ，另一把直尺压住射线 并且与第一把直尺交于点 ，小明说：“射线 就是 的平分线．”他这样做的依据是
A. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
8. 在正方形网格中， 的位置如图所示，则到 两边的距离相等的点是
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
9. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A. 的三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点
10. 如图，已知 是 的平分线， 于点 ， 于点 ，，则 的长度是
A. B. C. D.
11. 如图，已知点 到 ，， 的距离恰好相等，则点 的位置：①在 的平分线上；②在 的平分线上；③在 的平分线上；④恰好在 ，， 的平分线的交点处，上述结论中，正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 如图，已知在四边形 中，， 平分 ，，，，则四边形 的面积是
A. B. C. D.
13. 如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相等，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
14. 如图，在 中，， 是角平分线，若 ，，则点 到 的距离是
A. B. C. D.
15. 如图，点 是 的中点，，， 平分 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，四个结论中成立的是
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③
16. 如图， 是 内一点，且 到三边 ，， 的距离 ，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
17. 如图，在 中，，，， 是 的平分线．若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.
18. 如图所示，，，垂足分别为 ，， 与 相交于点 ，若 ，则 与 的大小是
A. B. C. D. 无法确定
二、填空题（共10小题）
19. 如图， 是 的角平分线．若 ，，则点 到 的距离是 ．
20. 如图，点 在射线 上，，，， 是垂足．若 ，且 ，则 与 的位置关系是 ．
21. 如图，在 中，，， 是 的角平分线，，则 ．
22. 数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
（）用直尺的一边贴在 的 边上，沿着直尺的另一条边画直线 ；
（）再用直尺的一边贴在 的 边上，沿着直尺的另一条边画直线 ，直线 与直线 交于点 ；
（）作射线 ，射线 是 的平分线．
请回答：小明的画图依据是 ．
23. 如图，在 中，， 平分 ，，，则点 到 的距离为 ．
24. 如图， 是 内一点，且到三边的距离相等．若 ，则 ．
25. 如图，， 于点 ， 于点 ．若 ，则 ．
26. 在 轴， 轴上分别截取 ，再分别以点 ， 为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，若点 的坐标为 ，则 的值是 ．
27. 到三角形三边距离相等的点是三角形 ．
28. 如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 ，分别交边 ， 于点 ，．如果 ，，那么 的周长为 ．
三、解答题（共6小题）
29. 如图，在 中，， 平分 交 于点 ，，，求 ．
30. 如图，在 中，， 平分 ，交 于点 ，已知 ，，求点 到 的距离．
31. 已知：如图， 平分 ， 平分 ．
求证： 在 的平分线上．
32. 如图所示，已知 的角平分线 ， 相交于点 ．
（1）判断 是否平分 ，请说明理由；
（2）由此题你得到的结论是 ．
33. 如图，已知点 在 的平分线上，，，垂足分别为 ，，求证：．
34. 已知：如图， 是 上一点， 于点 ， 于点 ，， 分别是 ， 上的点，且 ，．求证： 是 的平分线．
答案
1. C
【解析】三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
2. C
【解析】如图，过点 作 于点 ，
，，
，
， 平分 ，，
，
即点 到 的距离为 ．
3. A
【解析】，
，
又 平分 ，，
，
故选A．
4. A
【解析】如图所示，过两把直尺的交点 作 ，，
两把长方形直尺完全相同，
，
又 ，，
平分 ，
依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
5. B
【解析】过 点作 于 ， 于 ， 于 ，如图．
平分 ，，，
，同理可得 ，
，
点 在 的平分线上，故①正确；
，故②正确；
不能确定 ，
不能确定 ，
不能确定 ，故③错误．
6. C
【解析】如图，过 作 ，垂足为点 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ．
的外角的平分线 与 相交于点 ，
，，
点 到 的距离为 ，即 ．
，即点 到 的距离为 ．
7. A
【解析】如图所示，过两把直尺的交点 作 ，，
两把直尺是完全相同的长方形直尺，
，
平分 （角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
8. C
【解析】从题图可以看出点 在 的平分线上，其他三点不在 的平分线上，所以点 到 两边的距离相等．故选C．
9. C 【解析】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 三条角平分线的交点．
10. D
【解析】 是 的平分线，，，
．
11. D
【解析】因为点 到 ， 的距离相等，
所以点 在 的平分线上，故①正确；
因为点 到 ， 的距离相等，
所以点 在 的平分线上，故②正确；
因为点 到 ， 的距离相等，
所以点 在 的平分线上，故③正确；
所以点 是 ，， 的平分线的交点，故④正确．
故选D．
12. B
【解析】如图，过 作 交 的延长线于 ，
平分 ，，
，
故选B．
13. B
【解析】因为 ，
所以 ，
因为点 到 三边的距离相等，
所以 平分 ， 平分 ，
所以 ，
所以 ．
14. C
【解析】，，
，
是角平分线，
点 到 的距离等于 的长，即点 到 的距离为 ．
故选C．
15. A
【解析】过 作 于 ，如图，
， 平分 ，
．
，，；
而点 是 的中点，
，
③错误；
，
，，
②正确；
，
④正确；
，
①正确．
16. C
【解析】因为 到三边 ，， 的距离 ，
所以点 是三角形三条角平分线的交点，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
在 中，．
17. C
【解析】如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
是 的平分线，
，这时 有最小值，即 的长度，
，，，
，
，
，
即 的最小值为 ．
18. A
【解析】，，
，，，
是角 的平分线，
．
故选：A．
19.
【解析】如图，过点 作 于 ，
是 的角平分线．
，，
，
点 到 的距离为 ．
20. 垂直
【解析】，，，
点 在 的平分线上，
，
，
．
21.
【解析】如图， 作 于 ，
是 的角平分线，，，
，
，，
，
．
22. 到一个角两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上
【解析】由作图方法可知：点 到 的 边的距离等于直尺的宽度，
点 到 的 边的距离等于直尺的宽度，则点 到 两边的距离相等，
点 在 的角平分线上，即射线 是 的平分线．
则小明的画图依据是：到一个角两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上．
23.
【解析】，
．
由角平分线的性质，得点 到 的距离等于 的长．
点 到 的距离为 ．
24.
25.
26. 或
【解析】，分别以点 ， 为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，
点 在 的角平分线上，
点 到 轴和 轴的距离相等，
即 ，
又 点 的坐标为 ，，
点 在第一、二象限，
．
27. 角平分线的交点
28.
29. 在 中，，
．
过点 作 于点 ，，．
设 ，
，，
，
．
30. 过点 作 ，垂足为 ，
由 ，，可得 ，，
可证 ，得 ，即 到 距离为 ．
31. 如图，过 作 ，， 的垂线 ，，，，， 为垂足．
平分 ，
，
同理，，
，
点 在 的平分线上．
32. （1） 平分 ．理由如下：
如图，过点 作 ，，，
的角平分线 ， 相交于点 ，
，，
，
平分 ．
（2） 三角形的三条内角平分线相交于一点．
33. 因为点 在 的平分线上，，，
所以 ，．
在 和 中，
所以 ，
所以 ．
34. 在 和 中，
，
，
是 上一点，，，
是 的平分线．