2022-2023学年华东师大版八年级数学上册14.1 勾股定理 同步练习（含解析）

华师大版八上 14.1 勾股定理
一、选择题（共9小题）
1. 如图所示，在 中，，，点 ， 是中线 上的两点，则图中阴影部分的面积是
A. B. C. D.
2. 下列各组 个整数是勾股数的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内
4. 如图，在 中， 是 上一点，已知 ，，，，则 的长为
A. B. C. D.
5. 用反证法证明“”时，第一步应假设
A. B. C. D.
6. 已知 ， 是线段 上的两点，，，以点 为圆心， 长为半径画弧；再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ，，则 一定是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
7. 已知直角平面内点 ，，那么线段 的长等于
A. B. C. D.
8. 下列五组数：① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，；⑤ ，，，其中是勾股数的组数为
A. B. C. D.
9. 用反证法证明“在 中，如果 ，那么 ”时，应假设
A. B. C. D.
二、填空题（共9小题）
10. 用反证法证明“圆内不是直径的两条弦，不能互相平分”时，假设 ．
11. 如图， 中，，，， 是 的中点，则 ．
12. 下列命题：
①若 是正整数，则 ，， 是一组勾股数；
②若 是整数且 ，则 ，， 是一组勾股数；
③若 是正整数，则 ，， 是一组勾股数；
④若 ， 都是正整数，且 ，则 ，， 是一组勾股数，
其中是真命题的有 ．（填序号）
13. 如图，已知 是等边三角形，边长为 ， 是三角形的重心，那么 ．
14. 用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设： ．
15. 已知直角三角形的直角边长为 ，，斜边长为 ，将满足 的一组正整数称为“勾股数组”，记为 ，其中 ．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为 ．类似的勾股数组还有很多 ．例如：，，，，，．如果 （ 为正整数），那么 ．（用含 的代数式表示）
16. 如图是“赵爽弦图”，，， 和 是四个全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形，如果 ，，那么 等于 ．
17. 如图，直线 ， 被直线 所截，， 是同位角，如果 ，那么 与 不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： ．
18. 若 的三边长分别为 ，，．下列条件：① ；② ；③ ；④ ．其中能判断 是直角三角形的是 （填序号）．
三、解答题（共7小题）
19. 如图，在边长为 的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段 且使 ，连接 ；
（2）线段 的长为 ， 的长为 ， 的长为 ；
（3） 为 三角形，四边形 的面积为 ．
20. 如图是 个边长为 的正方形拼成的图形，连接这些小正方形的顶点，可得到一些长度不同的对角线（如：最长的对角线是 ，最短的对角线是 等），从中找出一条长度是有理数的对角线，用字母表示该对角线并写出它的长；找出两条长度为无理数的对角线，也用字母表示该对角线并写出它的长．
21. 判断下列各组数是不是勾股数：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，．
22. 已知 的面积为 ，斜边长为 ，两直角边长分别为 ，．求代数式 的值．
23. 【阅读】能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数 ，， 被称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为 其中 ，， 是互质的奇数．
【应用】当 时，求有一边长为 的直角三角形的另外两条边长．
24. 【拓展阅读】
无理数的发现
在 多年前，古希腊毕达哥拉斯学派弟子希帕斯发现：以一个正方形的边为长度单位去量这个正方形的对角线，这一对角线的长度不能用有理数表示，从而发现了无理数 ，导致了第一次数学危机．后来，古希腊人终于正视了希帕斯的发现，并进一步给出了证明过程．
阅读材料
假设 是一个有理数，那么可得 ，其中 ， 是整数， 与 互素，且 ，则 ，即 ， 是 的倍数．再设 ，其中 是整数，则 ，即 ， 是 的倍数．那么 与 不互素，与前面假设 与 互素相矛盾．因此 不可能是一个有理数．
【任务】
（1）材料中证明 是无理数的方法是： ．
（2）模仿材料中的证明方法，请判断 是否为无理数，并给出理由．
25. 如图，在四边形 中，，，，，．
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）求 的长．
答案
1. A
【解析】，， 是 的中线，
，，
，，
，
故选：A．
2. D
3. D
【解析】反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是点在圆上或圆内．
4. A
【解析】，，，
，，即 ，
为直角三角形，且 ，
，
，，
，
．
故选A．
5. C
【解析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，因此可假设 ．
故选C．
6. B
7. B
8. B
【解析】①中 ；
②中的数不全是正整数；
③中 ；
④中 ；
⑤中 ．
故有 组勾股数．
9. A
10. 圆内不是直径的两条弦，能互相平分
【解析】利用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，即本题假设“圆内不是直径的两条弦，能互相平分”．
11.
【解析】，，，
，
由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，
．
12. ①②③④
【解析】① ，
正整数 ，， 是一组勾股数，
①是真命题．
② ，
正整数 ，， 是一组勾股数．
②是真命题．
③ ，
正整数 ，， 是一组勾股数，
③是真命题．
④ ，
正整数 ，， 是一组勾股数，
④是真命题．
综上，填①②③④．
13.
【解析】延长 交 于 ，
是三角形的重心，
，，
由勾股定理得，，
．
故答案：．
14. 这两条直线不平行
【解析】根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，即“这两条直线不平行”．
15.
【解析】观察“勾股数组”，当 为奇数时，，
又 （ 为正整数），
由勾股定理可得：，即 ，
解得 ，
，
．
16.
17.
【解析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论的反面成立，可据此进行填空．
18. ①②④
【解析】，
，
，
，
是直角三角形，故①符合题意；
，
，
是直角三角形，故②符合题意；
，，
，，，
不是直角三角形，故③不符合题意；
，
，
是直角三角形，故④符合题意．
19. （1） 如图：
（2） ；；
（3） 直角；
20. 长为有理数的：，无理数的：，，，， 等．
21. （1） 因为 ，所以这组数不是勾股数．
（2） 因为 ，， 不是正整数，所以这组数不是勾股数．
（3） ，但 和 不是正整数，所以这组数不是勾股数．
（4） 因为 ，，，且 ，所以这组数不是勾股数．
22. 的面积为 ，
，
解得 ，
根据勾股定理得：，
．
23. 当 时，
直角三角形有一边长为 ，
①当 时，解得 （不合题意，舍去）．
②当 时，，．
③当 时，解得 ．
，
．
，．
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 ， 或 ，．
24. （1） 反证法
（2） 是无理数．
理由：假设 是一个有理数，那么可得 ，其中 ， 是整数， 与 互素，且 ，则 ，即 ， 是 的倍数．再设 ，其中 是整数，则 ，即 ， 是 的倍数．那么 与 不互素，与前面假设 与 互素相矛盾．因此 不可能是一个有理数．
25. （1） 是直角三角形．
理由如下：在 中，
，，
，
是直角三角形．
（2） 在四边形 中，
，
，
由（）得 ，
，
在 中，，，
．