2022-2023学年华东师大版八年级数学上册14.2 勾股定理的应用 同步练习（含解析）

华师大版八上 14.2 勾股定理的应用
一、选择题（共14小题）
1. 如图，在 中，，， 是 的两条中线， 是 上一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是
A. B. C. D.
2. 如图，点 ， 在直线 的同侧，在直线 上找一点 ，使 最小，则下列图形正确的是
A. B.
C. D.
3. 如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴上一点，且到 和点 的距离相等，则线段 的长度为
A. B. C. D.
4. 如图，若圆柱的底面周长是 ，高是 ，从圆柱底部 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 处做装饰，则这条丝线的最小长度是
A. B. C. D.
5. 如图，， 是两个居民小区，快递公司准备在公路 上选取点 处建一个服务中心，使 最短．下面四种选址方案符合要求的是
A. B.
C. D.
6. 如图所示，正方体的棱长为 ，一只蜘蛛从正方体的一个顶点 爬行到另一个顶点 ，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是
A. B. C. D.
7. 【课后测 】如图，已知 ，点 为其内一定点，分别在 的两边上找点 ，，使 周长最小的是
A. B.
C. D.
8. 如图所示， 是一张纸片，，，，将斜边 翻折，使点 落在直角边 的延长线上的点 处，折痕为 ，则 的长为
A. B. C. D.
9. 如图，将一根长为 （）的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端 和 ，然后把中点 竖直地向上拉升 至 点，则拉长后橡皮筋的长度为
A. B. C. D.
10. 已知点 ，，则 ， 两点间的距离是
A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度
11. 如图，在四边形 中，，，， 分别是 ， 上的点，当 的周长最小时， 的度数为
A. B. C. D.
12. 如图， 中，，，， 是 的平分线，若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.
13. 如图，边长为 的等边 中， 是 上中线且 ，点 在 上，连接 ，在 的右侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值是
A. B. C. D.
14. 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 ，使从 到 的路径 最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）
A. B.
C. D.
二、填空题（共7小题）
15. 知识回顾．
如果直角平面内有两点 ，，那么 ， 两点的距离为 ．
16. 如图，直线 是 中 边的垂直平分线，点 是直线 上的动点，若 ，，，则 的周长的最小值是 ．
17. 如图，在一根长 的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为 ，彩色丝带均匀地缠绕了 圈，则彩色丝带的总长度为 ．
18. 如图，在 中，，，，将 沿直线 翻折，点 恰好落在 边上，则 长为 ．
19. 【例 】如图，在四边形 中，，，点 ， 分别是 ， 上两个动点，当 的周长最小时， 的度数为 ．
20. 【例 】如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为 ．
21. 如图，在四边形 中，，，， 面积为 ， 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ，，若点 和点 分别是线段 和 边上的动点，则 的最小值为 ．
三、解答题（共5小题）
22. 如图，某圆柱形水杯的高为 ，底面周长为 ，在外侧杯底的点 处有一只蚂蚁，与它相对的内测距杯口 的 处有一滴蜂蜜，求蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程．
23. 如图，小猪佩奇带着弟弟乔治从家（点 ）出来，打算先去河边 喝水，然后沿着河岸散步，最后去位于 地的湿地玩（散步的距离为线段 的长度，在河边任意位置都有船可过河），它们沿着什么路线走，能使总路程最短 画出图形，并写出必要的文字说明．
24. 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 点出发，走到河边的 点饮马后，再到 点宿营．请问： 点在何处时，才能使将军所走的总路程最短
25. 如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，点 ，，， 均在格点上．
（1） 的长等于 ；
（2）点 在射线 上，点 在射线 上，当 的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出 ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明）．
26. 今年第 号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 由 向 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 、 的距离分别为 ，，又 ，经测量，距离台风中心 及以内的地区会受到影响．
（1）求 的度数；
（2）海港 受台风影响吗 为什么
（3）若台风中心的移动速度为 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长
答案
1. B
【解析】如图连接 ，
，，
，
，
，
，
，， 共线时， 的值最小，最小值为 的长度．
2. B
【解析】 点 ， 在直线 的同侧，
作 点关于 的对称点 ，连接 与 的交点为 ，
由对称性可知 ，
，
当 ，， 三点共线时 最小，
故选：B．
3. C
【解析】设点 ，
根据题意得，，
解得：，
．
4. D 【解析】圆柱的侧面展开图如图，连接 ，
则 的长即为丝线的最小长度．
由勾股定理得 ，
即 ．
5. A
【解析】根据题意得，在公路 上选取点 ，使 最短．
则选项A符合要求．
6. D
【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上，连接 ，如图所示，
爬行的最短路径为线段 ．
由勾股定理得，，
故选D．
7. D
【解析】分别作点 关于 的两边的对称点 ，，连接 交 的两边于 ，，连接 ，，此时 的周长最小．
故选：D．
8. A
【解析】 在 中，，
，
．
由折叠的性质可得 ，
．
9. B
【解析】 中，，；
根据勾股定理，得：；
同理可得 ，
；
故拉长后橡皮筋的长度为 ．
故选：B．
10. B
【解析】由点 ， 知，，即 ， 两点间的距离是 个单位长度．
11. B
【解析】作 关于 和 的对称点 ，，连接 ，交 于 ，交 于 ，则 即为 的周长最小值．作 延长线 ．
，
，
，
，
，，
，
．
故选B．
12. B
【解析】如图所示．
作点 关于直线 的对称点 ，
是 的平分线，
点 在 上，连接 ，则 的最小值即为 的最小值，
当 ，， 三点共线且 时， 的值最小，
过点 作 于点 ，则 的最小值即为 的长．
，，
由勾股定理得出 ，
，
，
．
13. B
【解析】如图，
， 都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，，
点 在射线 上运动（），
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值 ，
故选：B．
14. D
【解析】根据垂线段最短，得出 是河的宽时， 最短，即 直线 （或直线 ），只要 最短就行，即过 作河岸 的垂线 ，垂足为 ，在直线 上取点 ，使 等于河宽．连接 交河的 边岸于 ，作 垂直于河岸交 边的岸于 点，所得 即为所求．
易得四边形 是平行四边形，则 ，即 ．
15.
16.
【解析】因为直线 垂直平分 ，
所以 ， 两点关于直线 对称，如图，设直线 交 于 ，连接 ．
则 ．
当 和 重合时， 的值最小，最小值等于 的长．
所以 的周长的最小值是 ．
17.
【解析】如图，
设彩色丝带的总长度为 ，
则 ，
．
18.
19.
【解析】如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，
连接 与 ， 的交点即为所求的点 ，．
，，
．
由轴对称的性质得：，．
．
故答案为：．
20.
【解析】作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，
则点 就是使 的值最大的点，，
连接 ，
为等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
．
21.
【解析】连接 ，过点 作 于 ．
面积为 ，，
，
，
垂直平分线段 ，
，
，
当 的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
，
，
的值最小值为 ．
22. 如图为圆柱的侧面展开图，
设点 关于杯口所在直线的对称点为 ，连接 ，
易得 ，，
在 中，
，
．
故蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程是 ．
23. 如图，
过点 作河岸 的平行线，并在平行线上截取 ，连接 ，交河岸 于点 ，作 交河岸 于点 ，则它们沿着路线 走，能使总路程最短．
24. 如图所示，从 点向河岸线引垂线，垂足为 ，在 的延长线上取 点关于河岸线的对称点 ，连接 ，与河岸线相交于 点，则 点的位置即为所求，连接 ，
将军只要从 点出发，沿线段 走到 点，饮马之后，再由 点沿线段 走到 点，这样将军所走的总路程就是最短的．
25. （1）
【解析】过 作 的垂线，交 与点 ，
根据网格的每个小正方形的边长为 ，则 ，
所以 ．
（2） 如图：
分别选取点 关于射线 ， 的对称点 ，，连接 ， 交 ， 于点 ，，连接 ，，
即为所求．
【解析】理由如下：
分别选取点 关于射线 ， 的对称点 ，，连接 ，，
则 的周长 ，
当 ，，， 在同一直线上时， 的周长最小．
26. （1） ，，，
，
是直角三角形，．
（2） 海港 受台风影响，
理由：过点 作 于 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响，
（3） 当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时），
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．