人教A版2019必修第二册 同步备课试题 6-2-3向量的数乘运算（含解析）

6.2.3向量的数乘运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·高一单元测试）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2022秋·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·吉林通化·高一校联考期末）正方形 中， 点 是 的中点， 点 是 的一个三等分点， 那么 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）若是内一点，，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
6．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·高一课时练习）是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
二、多选题
8．（2022秋·山东东营·高一统考期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．和能构成一组基底
三、填空题
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）若，则__．
10．（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）化简______.
11．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）已知向量，则___________．
12．（2022·高一单元测试）平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________．
13．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.
四、解答题
14．（2022·高一课时练习）计算：
(1)；
(2).
15．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知，是两个不共线的向量，若，，，求证：，，三点共线．
（2）已知，，三点共线，为直线外任意一点，若，求的值．
16．（2022·全国·高一专题练习）已知在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若，试用，表示.
17．（2022秋·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考阶段练习）如图所示，平行四边形中，，，，， 试用向量，来表示，．
18．（2022秋·高一课前预习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为平面上任一点，，，三点满足． 求的值；
19．（2022·全国·高一专题练习）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):
(1);
(2);
(3).
20．（2022·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
22．（2022·高一课时练习）设两个不共线的向量，若向量，，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？
【能力提升】
一、单选题
1．（2022春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
2．（2022·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022·全国·高一假期作业）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（　 ）
A．1 B．
C．1或 D．或
4．（2022·高一课时练习）在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A．2 B．１
C．-2 D．－1
5．（2022秋·四川凉山·高一统考期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022秋·安徽安庆·高一校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若点是边靠近点的三等分点，则
C．若点在边的中线上且，则点是的重心
D．若，则与的面积相等
三、填空题
8．（2022·全国·高一假期作业）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则=______．
9．（2022·全国·高一假期作业）已知是的外心，，若，且，则的值为___________.
10．（2022·全国·高一假期作业）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，设四边形的对角线交于点O，若，则___________________．
11．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在中，点G满足，若存在点O，使得，且，则______．
12．（2022·全国·高一专题练习）已知点A(0，0)，B(，0)，C(0，1)．设AD⊥BC于D，那么有其中λ＝________.
13．（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）已知等边三角形的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题：
①；
②若，则；
③若，则；
④设M为内部(含边界)任一点，则的最大值是．
其中所有真命题的序号为______．
四、解答题
14．（2022秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.
（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.
15．（2022·高一课时练习）已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值.
16．（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）两个非零向量不共线．
(1)若，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使与共线．
17．（2022·全国·高一假期作业）（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且.
（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.
6.2.3向量的数乘运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·高一单元测试）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质即可求出．
【详解】在平行四边形中，，所以．
故选：B．
2．（2022秋·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.
【详解】由题意，.
故选：B.
3．（2022秋·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用图形进行向量的加减、数乘运算，求出答案
【详解】连接AC，BD相交于点O，则
故选：C
4．（2022秋·吉林通化·高一校联考期末）正方形 中， 点 是 的中点， 点 是 的一个三等分点， 那么 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算结合图象即可得解.
【详解】解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，
∴．
故选：D．
5．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）若是内一点，，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】B
【分析】设的中点为，由题可得，进而即得.
【详解】设的中点为，连接，
由，得，
∴三点共线，是的三等分点，即是的重心.
故选：B,
6．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】.
故选：B
7．（2022·高一课时练习）是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
【答案】B
【分析】根据共线定理可知即与共线，从而可确定点一定在边所在直线上．
【详解】
，
，
，即与共线
∴点一定在边所在直线上.
故选：B．
二、多选题
8．（2022秋·山东东营·高一统考期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．和能构成一组基底
【答案】BCD
【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对于A选项，，A选项错误.
对于B选项，，B选项正确.
对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，
故，所以选项C正确.
对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）若，则__．
【答案】1
【分析】由，得到，又，代入后即可求解.
【详解】，
，
又，
，
，解得，，
，
故答案为：1．
10．（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）化简______.
【答案】
【分析】根据向量的线性运算直接求解即可.
【详解】.
故答案为:.
11．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）已知向量，则___________．
【答案】
【分析】根据向量的运算法则，即可求解.
【详解】根据向量的运算法则，可得.
故答案为：.
12．（2022·高一单元测试）平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________．
【答案】
【分析】根据平面向量的运算法则计算即可.
【详解】如图所示，
，
所
故答案为：
13．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.
【答案】4
【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出.
【详解】由题意可知与共线，
所以存在实数使，
因为不共线，
所以解得或，
因为向量与的方向相同，所以，即，
故答案为：4
四、解答题
14．（2022·高一课时练习）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
【详解】（1）原式=
.
（2）原式=
.
15．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知，是两个不共线的向量，若，，，求证：，，三点共线．
（2）已知，，三点共线，为直线外任意一点，若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）分别求出和，根据定义判断即可；
（2）先设，得到即可求解.
【详解】（1），又，所以，共线
因为与有交点，所以，，三点共线．
（2）因为，，三点共线，为直线外任意一点，所以设，
所以，所以，
因为，所以，，所以.
16．（2022·全国·高一专题练习）已知在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若，试用，表示.
【答案】，
【分析】依据向量的加减法以及向量的数乘，用，去表示
【详解】
17．（2022秋·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考阶段练习）如图所示，平行四边形中，，，，， 试用向量，来表示，．
【答案】，
【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，结合题设条件及数形结合法，应用、表示、即可.
【详解】由，即，
所以，
由，则，
所以；
18．（2022秋·高一课前预习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为平面上任一点，，，三点满足． 求的值；
【答案】4
【分析】利用向量的几何运算，将转化为间的关系，进而可得的值.
【详解】∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，，点共线且．
19．（2022·全国·高一专题练习）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)共线；
(2)共线；
(3)不共线.
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件计算，再利用共向量定理直接判断作答.
(1)
因，则有，所以共线.
(2)
因，，则，所以共线.
(3)
假设，则，即，
因不共线，于是得，此方程组无解，因此不存在实数，使得，
所以不共线.
20．（2022·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】根据平面向量数乘运算的运算律，对每个小问进行逐一运算，即可求得结果.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
21．（2022秋·高一课前预习）设，是两个不共线的非零向量，已知，，，试判断A，C，D三点是否共线.
【答案】三点共线
【分析】利用平面向量共线定理证得与共线，即可得证.
【详解】证明：∵，
且，
故，∴与共线，
∵与有公共起点C，
∴A，C，D三点共线
22．（2022·高一课时练习）设两个不共线的向量，若向量，，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？
【答案】存在，λ＝－2μ
【分析】利用共线向量基本定理，假设与共线，则存在实数k使；
【详解】∵
要使与共线，则存在实数k使，即：.由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使与共线．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
【分析】设出的中点，利用向量的运算法则化简；据向量共线的充要条件得到在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
2．（2022·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，
所以，解得，
所以，，
则，
由，
得，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
3．（2022·全国·高一假期作业）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（　 ）
A．1 B．
C．1或 D．或
【答案】B
【分析】由与反向共线，则，再利用向量相等可得到的关系，进而求解.
【详解】由于与反向共线，则存在实数k，使得，
则有，即，
又向量，不共线，所以，
整理得，因为，解得.
故选：B
4．（2022·高一课时练习）在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A．2 B．１
C．-2 D．－1
【答案】C
【分析】由可得为线段的三等分点中靠近的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得，即可求得.
【详解】解：如图所示：
因为，
所以为线段的三等分点中靠近的点，
所以=,
所以，
所以.
故选：C.
5．（2022秋·四川凉山·高一统考期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据向量的几何意义去求解的值
【详解】分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE.
则，
则，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点
故选：D
二、多选题
6．（2022秋·安徽安庆·高一校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．
【详解】解：如图：
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，
故选：BCD．
7．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若点是边靠近点的三等分点，则
C．若点在边的中线上且，则点是的重心
D．若，则与的面积相等
【答案】AD
【分析】A选项转化为，即可判断；B选项转化为，即可判断；C选项，分析可得点为边的中线的中点，即可判断；D选项，可得点在直线上，点与点到边的距离相等即可判断
【详解】A若，，即点是边的中点，故正确；
B当时，，点是边靠近点的三等分点，故错误；
C点在边的中线上且，点为边的中线的中点，故不是重心；
D设，，则，，故点在直线上，点与点到边的距离相等，故与的面积相等.
故选：AD
三、填空题
8．（2022·全国·高一假期作业）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则=______．
【答案】##0.3
【分析】根据，确定点O的位置即可求解.
【详解】∵，∴．
设中点为，中点为，则,
∵为的中位线，且，
∴，即．
故答案为：．
9．（2022·全国·高一假期作业）已知是的外心，，若，且，则的值为___________.
【答案】##0.75
【分析】根据已知条件及向量中点公式，再利用向量共线定理及三角形外心的定义，结合锐角三角函数即可求解.
【详解】如图所示，
因为，
所以，即，
于是有，
取的中点为，则，所以.
又点是的外心，所以.
在中，.
所以的值为.
故答案为：.
10．（2022·全国·高一假期作业）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，设四边形的对角线交于点O，若，则___________________．
【答案】##
【分析】设，利用正切的二倍角公式可得，再由商数关系得到及可得答案.
【详解】都为直角三角形，
，∴，，
，解得，
∴，
∴．
故答案为：.
11．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在中，点G满足，若存在点O，使得，且，则______．
【答案】
【分析】由可得，又，结合已知得，从而可得结果.
【详解】，
∴，
，可得，
∵
∴则.
故答案为：.
12．（2022·全国·高一专题练习）已知点A(0，0)，B(，0)，C(0，1)．设AD⊥BC于D，那么有其中λ＝________.
【答案】##
【分析】由题得C、D、B三点共线，再求出,即得解.
【详解】如图，，
由于AD⊥BC，且所以C、D、B三点共线，
由题得,所以.
所以.即λ＝.
故答案为：
13．（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）已知等边三角形的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题：
①；
②若，则；
③若，则；
④设M为内部(含边界)任一点，则的最大值是．
其中所有真命题的序号为______．
【答案】①②④
【分析】①②根据重心的几何性质和向量的线性运算即可判断；
③已知，将化成已知方程形式，对比即可判断；
④结合图形可知，，则由即可表示出，数形结合即可求其最大值.
【详解】对于①，，即，∴①正确；
对于②，由题意，可知O是的重心，∴，∴x＝y＝z＝1，∴②正确；
对于③，可化为：，即，∴，解得，∴③错误；
对于④，∵，，
∴，
∴，
∴，当且仅当点M与点A重合时取等号，∴④正确．
故答案为：①②④．
四、解答题
14．（2022秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.
（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由平面向量的线性运算求解即可；
（2）由平面向量的共线定理求解即可
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）由，不共线可知为非零向量，而与共线，
所以存在唯一实数，使得，
因为，不共线，
所以，
解得
15．（2022·高一课时练习）已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值.
【答案】.
【分析】利用平面向量的线性运算、共线的性质进行求解.
【详解】由B，C，D三点共线，得，
又，
所以，
，
所以，即，
所以，解得.
16．（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）两个非零向量不共线．
(1)若，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使与共线．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）要证明A、B、D三点共线，只需证明共线，即说明即可；
（2）由与共线，则存在实数，使得，从而由不共线得到关于的方程组，解方程组即可得出答案.
(1)
证明：因为，
所以，则，
所以共线，两个向量有公共点，
所以A、B、D三点共线.
(2)
若与共线，则存在实数，使得，
所以，
所以.
17．（2022·全国·高一假期作业）（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且.
（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）设，利用向量的减法可得，继而可得，由此可得结论；
（2）利用（1）的结论，先设设BE、CF交于一点G，只需要证明AD过点G，利用向量证明证明，说明A、G、D三点共线，即可证明结论.
【详解】（1）证明：因为是直线上的动点，
所以不妨设（为实数），
则，，
令，，
则有，并且,
所以存在实数，，使得，并且.
（2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
求证：AD、BE、CF交于一点.
证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，
因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
所以，，，
根据（1）的结论得，
在中，，，，为实数.
在中，，，，为实数.
所以 ， ，解得 ，
所以，
即，，A、G、D三点共线，
所以AD、BE、CF交于一点.
18．（2022·全国·高一专题练习）用向量运算刻画三角形的重心．
(1)已知，求一点G满足．
(2)求证：满足条件的点G是的重心．
（提示：说明点G同时在的三条中线上．）
【答案】(1)详解见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)如图，根据向量加法的平行四边形法则和重心的定义可得，进而得出；
(2)如图，根据向量加法的平行四边形法则和可得，结合平行四边形的性质可得G在中线CD上且CG=2GD，同理可证G也在其它两边的中线上，即可证明G为的重心.
(1)
设点D、F分别是AB、BC的中点，连接CD、AF交于点G，则G为的重心，
延长CD到点E，使得DE=GD，连接AE、BE、BG，如图，
由向量加法的平行四边形法则，得，
因为G为的重心，所以，
故，所以，
所以的重心G满足题意；
(2)
因为，所以，
以GA、GB为邻边作，连接GE，由向量加法的平行四边形法则，
，所以，
设AB与GE交于点D，由平行四边形的性质可知点D为AB和GE的中点，
所以，即G在中线CD上，且CG=2GD，
同理可证G也在其它两边的中线上，即G是三角形三条中线的交点，
所以G为的重心.