人教A版2019必修第二册 同步备课试题 6-2-4向量的数量积 （含解析）

6.2.4向量的数量积（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2022秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
3．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2022秋·陕西汉中·高一统考期末）已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
5．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2022·高一课时练习）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．（2022秋·陕西渭南·高一校考期末）已知，，，则与的夹角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8．（2022秋·甘肃兰州·高一统考期末）已知等边三角形，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·高一课时练习）在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．（2022秋·辽宁抚顺·高一校联考期末）已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
11．（2022秋·北京昌平·高一校考期中）已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校联考阶段练习）边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，，和实数，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．（2022·高一课时练习）功就是力与力的方向上所产生的位移的________．
16．（2022秋·上海虹口·高一校考期末）已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________.
17．（2022秋·云南丽江·高一统考期末）已知向量的夹角为，且，则___________.
18．（2022·高一单元测试）已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______
19．（2022秋·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）已知非零向量满足，且，则__________．
20．（2022秋·广东梅州·高一统考期末）平面向量与的夹角为，，则___．
21．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值 ______________________________．
四、解答题
22．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）已知向量满足，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
24．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知，，．求：
(1)；
(2)．
25．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知，，．
(1)求；
(2)求的值．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）下列四个命题中，正确的个数是（ ）
① ② 零向量垂直于任何向量
③ “”等价于“存在实数，使得” ④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一假期作业）已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知非零平面向量，，，则说法正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使 B．若，则
C． D．若，则
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
三、填空题
7．（2022秋·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期末）向量在向量方向上的投影向量为________．
8．（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.
9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__．
10．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．
四、解答题
11．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．
(1)若是线段的中点，，求的值；
(2)若，，求解.
13．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知向量 的夹角为，且，设，.
(1)求；
(2)试用来表示的值；
(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
14．（2022春·广东阳江·高一阳江市第一中学校考期中）已知向量满足，且.
(1)求；
(2)记向量与向量的夹角为，求.
15．（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
6.2.4向量的数量积（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】利用在的方向上的投影即可求得在的方向上的投影向量的模长
【详解】，，和的夹角为，
则在的方向上的投影向量的模长为
故选：C
2．（2022秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量与投影之间的关系可知在方向上的投影为，进而根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，
故选：C
3．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据已知条件利用数量积的定义求解即可.
【详解】因为向量，，若与的夹角为，
所以，
故选：B.
4．（2022秋·陕西汉中·高一统考期末）已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【答案】C
【分析】直接利用数量定义求解即可
【详解】因为平面向量的夹角为，且，
所以，
故选：C
5．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】充分性用数量积的几何意义验证，必要性直接证明.
【详解】根据向量乘积的几何意义则表示与在上投影数量的乘积，同理
表示与在上投影数量的乘积，画图为：在的投影都为，但是
所以充分性不成立.
若，则成立,即必要性成立，所以B正确.
故选：B．
6．（2022·高一课时练习）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】由题意，先求出，然后根据向量的夹角公式即可求解.
【详解】解：因为，所以，
设与的夹角为，则，
因为，
所以，
故选：B.
7．（2022秋·陕西渭南·高一校考期末）已知，，，则与的夹角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】利用向量夹角余弦公式进行求解.
【详解】，
因为，
所以，
与的夹角是120°.
故选：C
8．（2022秋·甘肃兰州·高一统考期末）已知等边三角形，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量夹角的定义求解即可.
【详解】因为等边三角形，故与的夹角为，与的夹角和与的夹角互补，为.
故选：A
9．（2022·高一课时练习）在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】结合向量运算以及平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识，确定正确答案.
【详解】由，可得四边形ABCD是平行四边形．
由，，
所以，所以四边形ABCD为菱形．
故选：C
10．（2022秋·辽宁抚顺·高一校联考期末）已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解.
【详解】解：因为，
所以，
解得.
故选：A.
11．（2022秋·北京昌平·高一校考期中）已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】数形结合，取中点，由分析投影向量即可.
【详解】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向量上的投影向量为
故选：C
二、多选题
12．（2022秋·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解.
【详解】解：因为是两个单位向量，
所以，但两向量的方向不能确定，
，
故AB错误；CD正确.
故选：CD.
13．（2022秋·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校联考阶段练习）边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由向量加减法法则，可以判断选项ABD，再由向量数量积公式可判断C.
【详解】根据向量加法法则可知，，故A正确；
根据向量减法法则可得，故B错误；
由向量数量积公式得，故C正确；
根据向量加法法则可知，，所以D正确.
故选：ACD.
14．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，，和实数，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据数量积的运算律逐个选项判断即可.
【详解】由向量数量积的运算律可知ABC正确.
对于D，令，，则，而，，均为任意向量，所以不一定成立.
故选：ABC
三、填空题
15．（2022·高一课时练习）功就是力与力的方向上所产生的位移的________．
【答案】数量积
【分析】根据向量的定义和向量数量积的定义，即可求解.
【详解】根据功的计算公式，
其中力和位移都是既有大小又有方向的量，即向量，
所以功就是力与力的方向上所产生的位移的数量积.
故答案为：数量积.
16．（2022秋·上海虹口·高一校考期末）已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________.
【答案】
【分析】利用向量的数量积转化求解向量，在方向上的数量投影即可．
【详解】解：设向量与的夹角是，则向量在方向上的数量投影为：．
故答案为：
17．（2022秋·云南丽江·高一统考期末）已知向量的夹角为，且，则___________.
【答案】
【分析】由平面向量数量积的定义可得，再由，结合平面向量数量积的运算律即可得解.
【详解】因为向量，的夹角为，，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
18．（2022·高一单元测试）已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______
【答案】##
【分析】根据向量的线性运算化简后求值即可.
【详解】解：由题意得：
，即
故答案为：
19．（2022秋·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）已知非零向量满足，且，则__________．
【答案】
【分析】先求得，从而求得.
【详解】由两边平方得，
，.
所以.
故答案为：
20．（2022秋·广东梅州·高一统考期末）平面向量与的夹角为，，则___．
【答案】
【分析】先利用向量数量积运算法则计算，进而计算出
【详解】，
所以
故答案为：
21．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值 ______________________________．
【答案】##-0.5
【分析】利用，得到，根据，列出方程，可求出.
【详解】，，得
，
解得
故答案为：
四、解答题
22．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）已知向量满足，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的定义和运算律即可求解夹角.
（2）根据模长公式即可求解.
（1）
由，
得，因为，所以．
（2）
由题意得
23．（2022秋·山西晋中·高一榆次一中校考期中）设，为两个不共线的向量，若.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)若为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.
【答案】(1)－；
(2)2.
【分析】(1)若与共线，则存在实数，使得，根据，为两个不共线的向量可列出关于k和λ的方程组，求解方程组即可；
(2)若，则，代入，根据向量数量积运算律即可计算.
(1)
若与共线，则存在实数，使得，即，
则且，解得；
(2)
由题可知，，，
若，则，
变形可得：，
即.
24．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知，，．求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)
【分析】利用平方法进行求解﹒
(1)
由，得，则，所以；
(2)
因为，所以．
25．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知，，．
(1)求；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解.
（2）用公式，展开即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，即，
即，又，所以
（2）
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）下列四个命题中，正确的个数是（ ）
① ② 零向量垂直于任何向量
③ “”等价于“存在实数，使得” ④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】对于①，根据平面向量数量积的定义运算可知①不正确；；
对于②，零向量不谈垂直问题；
对于③，缺少条件；
对于④，.
【详解】对于①，等式左边，
等式右边，故①不正确；
对于②，零向量的方向是任意的，零向量不谈垂直问题，故②不正确；
对于③，“”等价于“存在实数，使得”，故③不正确；
对于④，，故④不正确.
故选：A
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的坐标运算，求解即可.
【详解】根据题意可得：，，
向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
3．（2022·全国·高一假期作业）已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据，求出与的夹角，再根据向量在向量上的投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意可知，，又，，代入可得
，，则，其中为与的夹角.
解得.则向量在向量上的投影向量为.
故选：A
4．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断．
【详解】向量，是两个单位向量，
由为锐角可得，
，
反过来，由两边平方可得，
，，
，不一定为锐角，
故“为锐角”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
二、多选题
5．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知非零平面向量，，，则说法正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使 B．若，则
C． D．若，则
【答案】BC
【分析】假设与共线，与，都不共线，可判断A；根据向量垂直的数量积表示及向量共线的概念可判断B；向量的数量积的定义可判断C；根据向量数量积法则，可判断D.
【详解】A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A错；
B选项，因为，,是非零平面向量，若，则，，所以，故B正确；
C选项，因为，故C正确；
D选项，若，则，
，所以，故D错误.
故选：BC.
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
【答案】ABD
【分析】根据向量相等判断A；根据向量共线判断BC；根据向量夹角得，解不等式可判断D.
【详解】解：对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；
对于B选项，向量与是共线向量，也可能是，故B错误；
对于C选项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D选项，向量，若与的夹角为锐角，则且与不共线，故，解得且，故D错误；
故选：ABD
三、填空题
7．（2022秋·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期末）向量在向量方向上的投影向量为________．
【答案】
【分析】利用投影向量的定义可求解．
【详解】根据投影向量的定义可得，
．
故答案为：．
8．（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.
【答案】
【分析】计算，，计算得到答案.
【详解】由题意得，
所以.
故答案为：
9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算可得出，运用平面向量数量积的运算性质解决即可.
【详解】由题知，中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，
所以为的中点，，
因为，
所以
,
因为，即
所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
所以的取值范围是，
故答案为：
10．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．
【答案】
【分析】由数量积及运算性质，利用列方程求解即可.
【详解】，即，即，解得或（舍）.
故答案为：3.
四、解答题
11．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．
(1)若是线段的中点，，求的值；
(2)若，，求解.
【答案】(1)；
(2)4.
【分析】（1）根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示出来，从而可求出，进而可求出的值；
（2）根据平面向量基本定理结合已知条件将，用表示出来，再由列方程可求出.
【详解】（1）因为点在边上，且，
所以，
因为是线段的中点，
所以
，
因为，不共线，
所以，
所以；
（2）由题意可得，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以，得，
所以.
12．（2022秋·广东江门·高一台山市华侨中学校考期中）已知平面向量，，，，且与的夹角为．
(1)求
(2)若与垂直，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的平方等于模长的平方和数量积公式求解即可；
（2）利用向量垂直数量积为0求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，
所以.
（2）因为向量与垂直，
所以，
解得.
13．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知向量 的夹角为，且，设，.
(1)求；
(2)试用来表示的值；
(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案.
（2）利用向量数量积运算求得正确答案.
（3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）.
（2）
.
（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.
其中，而，
于是实数的取值范围是.
14．（2022春·广东阳江·高一阳江市第一中学校考期中）已知向量满足，且.
(1)求；
(2)记向量与向量的夹角为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的定义求出，进而求出；
（2）利用夹角公式求出.
【详解】（1）因为，所以.
因为向量满足，所以，所以.
所以.
（2）因为，
所以.
15．（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
【答案】(1)或
(2)，此时
【分析】（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解.
(2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解.
(1)
因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或.
(2)
由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号.
所以.
设与夹角为，则此时.