高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第四章综合检测卷（拔尖 C 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
2
3, x 1 1 1．己知函数 f x x f f ，则 （ ）
log x, x 1 3
3
A．1 B．2 C．3 D．4
1
2．已知函数 f (x)
4
x ， g(x) 2x a．若 x
x 1
,1 ， x2 [2,3]，使得 f x1 g x2 ，则实数 a的取值 2
范围是（ ）
( ,1] 1 1 A． B． ,1 C．[1, 2] D． 2
,
2
log2 x 1 , x 0
3．设函数 f x ，则满足 f x 1 2的 x 的取值范围为（ ）
x , x 0
A． 4,3 B． 5,2 C． 3, 4 D． , 3 4,
4．若 a e0.6，b 2e ln1.2， c 1.2e 0.21，则 a，b ， c的大小关系是（ ）
A．b a c B． c a b C． a b c D． a c b
5 f x x2．已知 x 1 ，不等式 f x m 2 x 1恒成立，实数m 取值范围是（ ）
A． 3 2 2,0 B． 3 2 2, 3 2 2
C． 3 2 2,0 D． , 3 2 2 3 2 2,
1
6．当0 x x时， 4 loga x，则 a的取值范围是（2 ）
2 2
A． 0, B．2
,1 C． (1, 2) D．
2
( 2, 2)
7．已知函数 f x ex e x g x ex e x， ，若 h x 的图象如图所示，则 h x 可能是（ ）
1 1 g x f x
A． h x h x h x h x f x B． g x C． f x D． g x
8 2．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，当 x 1,1 时， f x x ，函数
logg x a
x 1 , x 1
x ，若函数 h x f x g x 在区间 5,5 上恰有 8 个零点，则 a的取值范围为（ ）
2 , x 1
A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．对于函数 f x 的定义域中任意的 x1, x2 x1 x2 x，有如下结论:当 f x 2 时，上述结论正确的是（ ）
A． f x1 x2 f x1 f x2 B． f x1 x2 f x1 f x2
f x
C 1
f x2 x1 x2 f x1 f 0 f x ． D 2．
x
1 x2 2 2
1 2x, x 0,
10．已知 f x ln x, x 0, ，若 f f a 1，则实数 a 的值可以为（ ）
1 e
A． B 1． 2 C．1 D． e
e
2
11．对于函数 f x 和 g x ，设 x f x 0 ， x g x 0 ，若存在 ， ，使得 1，则称 f x
与 g x 互为“ x 1零点相邻函数”．若函数 f x e x 2与 g x x2 ax 1互为“零点相邻函数”，则实数 a的
取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数 f x ln x2 1 x x5 3，函数 g x 满足 g x g x 6 .则（ ）
f lg 7 f lg 1 A． 6
7
B．函数 g x 的图象关于点 3,0 对称
C．若实数 a、b 满足 f a f b 6 ，则 a b 0
D．若函数 f x 与 g x 图象的交点为 x1, y1 、 x2, y 2 、 x3 , y3 ，则 x1 y1 x2 y2 x3 y3 6
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． Sigmoid
1
函数是一个在生物学、计算机神经网格等领域常用的函数模型，其解析式为 S(x)
1 e x
，此
函数值域为_____________.
x, x 1
14．已知函数 f x log x 1 , x 1，则函数 y f f x 的所有零点所构成的集合为________. 2
15．已知 f x 1 log x x 1,8 2 22 ， ，设函数 g x f x f x ， g x g x max min _____.
ln x , x 0
16．已知 f x ，若方程 f x m m R 有四个不同的实数根 x1, x2 , x3 , x ，则 x x x2 4 1 2 3 x4
x 4x 5, x 1
的取值范围是__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于函数 f x ，若其定义域内存在实数 x 满足 f x f x ，则称 f x 为“准奇函数”.
(1)已知函数 f x x 2 ，试问 f x 是否为“准奇函数”？说明理由；
x 1
(2)若 g x 2x m 为定义在 1,1 上的“准奇函数”，试求实数m 的取值范围；
18．定义在 R 上的单调函数 f x 满足 f 3 log2 3且对任意 x, y R 都有 f x y f x f y .
（1）求证： f x 为奇函数；
（2）若 f k·3x f 3x 9x 2 0对任意 x R恒成立, 求实数 k 的取值范围．
2 x
19．已知函数 f x ln ，m 0，且 f 1 f 1 0．
2 mx
(1)证明： f x 在定义域上是增函数；
(2)若 f x ln 9 f x ，求 x 的取值集合．
20．已知函数 f(x)＝log 1 (x2－2ax＋3).
2
(1)若函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数 a 的值；
(2)若函数 f(x)的定义域为 R，值域为(－∞，－1]，求实数 a 的值；
(3)若函数 f(x)在(－∞，1]上为增函数，求实数 a 的取值范围.
21．已知函数 f x x 1 ．
x
(1) g x f x
1
设 ，求 g x 在 , 4 上的最大值；x 2
(2) 2若存在实数 m，使得关于 x 的方程 2 x 1 x x 1 2mx2 0恰有 4 个不同的正根，求实数 m 的取值范
围．
22．已知函数 p(x) mx 4 1(m 0 且m 1) 经过定点A ，函数 f x loga x(a 0且 a 1)的图象经过点A ．
(1)求函数 y f (2a 2x ) 的定义域与值域；
(2)若函数 g x f (2x ) f (x2 ) 4 1在[ , 4]上有两个零点，求 的取值范围．
4高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第四章综合检测卷（拔尖 C 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
2
f x 3, x 1 f f 1 1．己知函数 x ，则 （ ）
log x, x 1 3 3
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用分段函数和对数运算进行求解.
1
【详解】由题意，得 f 9， f f
1
f (9) 2 . 3 3
故选：B．
1
2．已知函数 f (x)
4
x ， g(x)
2x a．若 x1 ,1 ， x2 [2,3]，使得 f x1 g x2 ，则实数 a的取值x 2
范围是（ ）
A． ( ,1]
1 ,1 [1, 2] 1 B． C2 ．
D．
,
2
【答案】B
【分析】由题意，函数 f (x) 的值域是函数 g(x)的值域的子集，利用单调性求出函数 f (x) 与函数 g(x)的值域
即可求解.
1 17
【详解】解：因为函数 f (x) x
4
,1 在 上单调递减，所以 f x 5, ，
x 2 2
又函数 g(x) 2x a在[2,3]上单调递增，所以 g x 4 a,8 a ，
x 1因为 1 ,1
， x2 [2,3]，使得 f x1 g x2 ， 2
所以 5,
17
4 a,8 a ， 2
8 a 17 1
所以 2 ，解得 ≤ a≤1，
4 a 5
2
1
所以实数 a的取值范围是 ,1 2
，
故选：B.
log2 x 1 , x 0
3．设函数 f x ，则满足 f x 1 2的 x 的取值范围为（ ）
x , x 0
A． 4,3 B． 5,2 C． 3,4 D． , 3 4,
【答案】B
【分析】针对 x 的范围进行分类讨论，然后求解不等式 f x 1 2的解集.
log x 1 , x 0
【详解】由题意， f
x 2 ，
x , x 0
log2 x 2 , x 1
所以 f x 1 ，
x 1 , x 1
①当 x 1时， f x 1 2，即 log2 x 2 2 ，
解得 x 2 ，所以 1 x 2；
②当 x 1时， f x 1 2，即 x 1 2 ，
解得 x 5，所以 5 x 1；
综上是， f x 1 2时 x 的取值范围为 5,2 .
故选：B
【点睛】本题考查分段函数与不等式的结合问题，难度一般，解答时注意对自变量的范围进行分类讨论.
4．若 a e0.6，b 2e ln1.2， c 1.2e 0.21，则 a，b ， c的大小关系是（ ）
A．b a c B． c a b C． a b c D． a c b
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，再借助“媒介”数比较大小作答.
【详解】依题意， a e0.6 e0.5 e 1.6， c 1.2e 0.21 1.23 0.21 1.518，即 a c ，
1 2
又 c 1.2e 0.21 1.22 0.21 1.23，1.25 2.48832 e，则 ln1.2 ，b 2e ln1.2 e 1.2，即c b ，5 5
所以 a，b ， c的大小关系是 a c b .
故选：D
5．已知 f x x2 x 1 ，不等式 f x m 2 x 1恒成立，实数m 取值范围是（ ）
A． 3 2 2,0 B． 3 2 2, 3 2 2
C． 3 2 2,0 D． , 3 2 2 3 2 2,
【答案】A
【分析】将不等式 f x m 2 x 1 2恒成立转化为 x 1 x 1 mx ，令 g x x2 2x 1 x 1 ，若
g x x2 x, x 1 m x 1 g x x2 3x 2, x 1 x2，等价于 ；若 ，等价于 m 3 x 2 0min ，运用一元
二次不等式对应的一元二次方程根的分布分类讨论，求出m 的取值范围即可.
【详解】 f x x2 x 1 ， f x m 2 x 1，
x2 x 1 m 2 x 1 2，即 x 1 x 1 mx ，
令 g x x2 2x 1 x 1 ，
若 g x x2 x, x 1， x2 x mx，等价于m x 1，
令 h x x 1, x 1， h x 0， m 0，
若 g x x2 3x 2, x 1 x2 3x 2 mx x2， ，即 m 3 x 2 0，
① m 3 2当 8 0，即 3 2 2 m 3 2 2 时，
2
不等式 x m 3 x 2 0在 x 1上恒成立；
②当 m 3 2 8 0，即m 3 2 2 或m 3 2 2 时，
2
要使不等式 x m 3 x 2 0在 x 1上恒成立，
12 m 3 1 2 0
m 0
则有 m 3 m 3 2 8 ，解得 ， ，
1 m 3 2 2
3 2 2 m 0
2
综上所述，实数m 取值范围是 3 2 2,0 .
故选：A.
6．当0
1
x x时， 4 loga x，则 a的取值范围是（2 ）
0, 2
2
A． B． ,1 C． (1, 2) D．2 2 ( 2,2)
【答案】B
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，结合已知条件可得关于 a 的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，当 a 1时， y loga x是增函数，
0 1 x 时， loga x 0，不合题意；2
当 0 a 1时， y loga x在0
1
x 时单调递减， y 4x 递增，
2
1
4x log x 42 log 1 log
1
2 log a2要使得 a 成立，需满足 a ，即2 a a
，
2
a2 1则 2，解得 a 1 ，
2 2
故选:B
7 x x x x．已知函数 f x e e ， g x e e ，若 h x 的图象如图所示，则 h x 可能是（ ）
h x 1 h x 1 g x f xA． B． C． h x
f x g x f x D．
h x
g x
【答案】C
【分析】判断函数 f (x), g(x)的奇偶性，再计算 f (0), g(0)，由图象知函数 h(x) 为过原点的奇函数，利用奇函
数定义判断选项即可.
【详解】 f x ex e x , x R，f x e x ex f x ，
f (x)是偶函数，且 f (0) 2 .
g x ex e x , x R ， g x e x ex g(x)，
g(x) 是奇函数且 g(0) 0，
由图象知函数 h x 是奇函数且 h(0) 0，
1 1 1
对于 A， h x h x
h(x)
f x ， x R， f x f (x) ，函数不是奇函数，故错误；
1
对于 B， h x g x ，h(0)无意义，函数不过原点，故错误；
对于 C， h x
g x g x g xh x ， x R， h xf x f x f x ，函数是奇函数，故正确；
f x对于 D： h x
，h(0)g x 无意义，图象不过原点，故错误.
故选：C
8．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，当 x 1,1 时， f x x2 ，函数
logg x x 1 , x 1 ax ，若函数 h x f x g x 在区间 5,5 上恰有 8 个零点，则 a的取值范围为（ ）
2 , x 1
A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
【答案】A
【分析】将题意转化为函数 f x 与函数 g x 在区间 5,5 上有 8 个交点，再根据函数的性质画图，再列式，
根据对数函数的不等式解法求解即可
【详解】函数 h x f x g x 在区间 5,5 上恰有 8 个零点，则函数 f x 与函数 g x 在区间 5,5 上有
8 个交点
由 f x 2 f x 知， f x 是 R 上周期为 2 的函数，作函数 f x 与函数 g x 在区间 5,5 上的图像如下，
由图像知，当 x 5,1 时，图像有 5 个交点，故在 1,5 上有 3 个交点即可，则 a 1；
loga 3 1 1
故 ，解得 2 a 4；
loga 5 1 1
故选：A．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．对于函数 f x 的定义域中任意的 x1, x2 x1 x x2 ，有如下结论:当 f x 2 时，上述结论正确的是（ ）
A． f x1 x2 f x1 f x2 B． f x1 x2 f x1 f x2
f x1 f x2 0 f x1 x2 f x1 f x C． D． 2
x1 x
2 2 2
【答案】ACD
【解析】由指数幂的运算性质判断 A，B，由指数函数的单调性判断 C，由指数幂和根式的互化结合基本不
等式判断 D．
x x x x x x
【详解】对于 A， f x1 x 1 22 2 ， f x1 f x2 2 1 2 2 2 1 2 ， f x1 x2 f x1 f x2 ，正确；
B f x x 2x对于 ， 1 x2 ， f x f x 2x1 x21 2 1 2 2 ， f x1 x2 f x1 f x2 ，错误；
x f x f x
对于 C， f x 2 在定义域中单调递增， 1 2 0 ，正确；
x1 x2
x x x1 x2D f 1 2
1
2 2 2x1 x2 2x 2x f x1 2 1 f x x x对于 ， 2 ，又 x x ，则 f 1 2 f x1 f x2 2 1 2 ， 2 2 2 2
正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查指数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本
x1 x2
题的关键点是将指数幂形式化为根式，即 2 2 2x1 x2 2x1 2x2 ，利用指数幂的运算结合基本不等式放缩
得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
1 2x, x 0,
10．已知 f x ，若 f f a 1ln x, x 0, ，则实数 a 的值可以为（ ）
1 e
A． B 1． 2 C．1 D． e
e
2
【答案】ACD
【分析】根据分段函数，分别以 a 0，0 a 1， a>1讨论，求解方程可得答案.
1 2x, x 0,
【详解】解：因为 f x ， f f a 1ln x, x 0, ，所以
当 a 0时， f a 1 2a>0，所以 f f a f 1 2a ln 1 2a 1，
所以1 2a e，解得 a
1 e 1 e
0，所以 a 满足；
2 2
当0 a 1时， f a ln a 0，所以 f f a f ln a 1 2ln a 1，
所以 ln a 0，解得 a 1，满足题意；
当 a>1时， f a ln a>0，所以 f f a f ln a ln ln a 1，
所以 ln a e，解得 a ee，满足题意；
故选：ACD.
11．对于函数 f x 和 g x ，设 x f x 0 ， x g x 0 ，若存在 ， ，使得 1，则称 f x
与 g x 互为“零点相邻函数” f x ex 1．若函数 x 2与 g x x2 ax 1互为“零点相邻函数”，则实数 a
的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【分析】根据 f x 的单调性以及 f 1 =0，可得 f x 的零点为 1，由“零点相邻函数”的定义可将问题转化为
g x x2 ax 1 在区间 0,2 上存在零点，分离参数即可求解.
【详解】因为 f (x) ex 1 x 2是R 上的单调递增函数，且 f 1 =0，据此可知 1，
结合“零点相邻函数”的定义可得 1 1，则0 2，
2
据此可知函数 g x x ax 1 在区间 0,2 上存在零点，
即方程0 x2 ax 1 在区间 0,2 上存在实数根，
1
整理可得： a x ，
x
1
∵ x 2
1
，当且仅当 x ，即 x 1时取等号,
x x
又 x 0, x
1
，则在区间 0,2 x 1上， 2, ，故当 x 0,2 时， a 2
x x
故选：BCD
12 f x ln x2 1 x x5．已知函数 3，函数 g x 满足 g x g x 6 .则（ ）
1
A． f lg 7 f lg 6
7
B．函数 g x 的图象关于点 3,0 对称
C．若实数 a、b 满足 f a f b 6 ，则 a b 0
D．若函数 f x 与 g x 图象的交点为 x1, y1 、 x2, y 2 、 x3 , y3 ，则 x1 y1 x2 y2 x3 y3 6
【答案】AC
【分析】计算得出 f x f x 6，可判断 A 选项；利用函数对称性的定义可判断 B 选项；分析函数 f x
的单调性，可判断 C 选项；利用函数的对称性可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，对任意的 x R ， x2 1 x x x 0，
所以，函数 f x ln x2 1 x x5 3的定义域为R ，
f x f x ln x2 1 x x 5 3 ln x2 1 x x5 3
ln x2 1 x2 6 6，
所以， f lg 7 f lg
1
f lg 7 f lg 7 6 ，A 对；
7
对于 B 选项，因为函数 g x 满足 g x g x 6，故函数 g x 的图象关于点 0,3 对称，B 错；
对于 C 2选项，对于函数 h x ln x 1 x ，该函数的定义域为R ，
h x h x ln x2 1 x ln x2 1 x ln x2 1 x2 0，即 h x h x ，
所以，函数 h x 为奇函数，
当 x 0 时，内层函数u x2 1 x 为增函数，外层函数 y ln u 为增函数，
所以，函数 h x 在 0, 上为增函数，故函数 h x 在 ,0 上也为增函数，
因为函数 h x 在R 上连续，故函数 h x 在R 上为增函数，
又因为函数 y x5 3在R 上为增函数，故函数 f x 在R 上为增函数，
因为实数 a、b 满足 f a f b 6 ，则 f a 6 f b f b ，可得 a b ，即 a b 0，C 对；
对于 D 选项，由上可知，函数 f x 与 g x 图象都关于点 0,3 对称，
由于函数 f x 与 g x 图象的交点为 x1, y1 、 x2, y 2 、 x3 , y3 ，
不妨设 x1 x2 x3，若 x2 0，则函数 f x 与 g x 图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，
所以， x2 0，则 y2 3，由函数的对称性可知，点 x1, y1 、 x3 , y3 关于点 0,3 对称，
则 x1 x3 0， y1 y3 6，故 x1 y1 x2 y2 x3 y3 9，D 错.
故选：AC.
【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：
①函数 f x 的图象关于点 a,b 对称，则 f x f 2a x 2b；
②函数 f x 的图象关于直线 x a对称，则 f x f 2a x .
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
Sigmoid S(x) 113． 函数是一个在生物学、计算机神经网格等领域常用的函数模型，其解析式为 ，此
1 e x
函数值域为_____________.
【答案】 0,1
【分析】结合指数函数的值域求解即可
【详解】因为 e x 0，
所以 e x 1 1，
0 1所以
e x
1，
1
所以此函数值域为 0,1 ，
故答案为： 0,1
x, x 1
14．已知函数 f x
log x 1 , x 1，则函数 y f f x 的所有零点所构成的集合为________. 2
【答案】 0, 2,5
【分析】令 t f x ，根据 f t 0，求得 t 0或 t 2，再根据 f x 0 和 f x 2，结合分段函数的解析
式，即可求解.
【详解】令 t f x ，由 f t 0，即 x 0或 log2 (x 1) 0，解得 t 0或 t 2，
当 f x 0 时，解得 x 0或 x 2；当由 f x 2，解得 x 5，
即函数 y f f x 的所有零点所构成的集合为 0, 2,5 .
故答案为： 0, 2,5 .
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法和分
段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查换元思想，以及推理与运算能力.
15．已知 f x 1 log2 x ， x 1,8 ，设函数 g x f 2 x f x2 ， g x g x max min _____.
33
【答案】
4
3
【分析】首先求出函数的定义域，再求出 g x 的解析式，令 t log2 x ，则 t 0, ，将函数转化为关于 t 2
的二次函数，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：因为 f x 1 log2 x ， x 1,8 ， g x f 2 x f x2 ，
1 x 8
由 1 x2 8， 1 x 2 2 ，
所以 g x 1 log x 22 1 log x22 = log2 x
2 4log2 x 2，
令 t log x t
0, 3 h t t 22 ， ，则 4t 2
在 0,
3
上单调递增，
2 2
g x h 3 41 ， g x h 0 2max ， 2 4 min
g x gmax x
33
min ；4
33
故答案为：
4
f x
ln x , x 0
16．已知 ，若方程 f x m m R 有四个不同的实数根 x2 1, x2 , x3 , x4 ，则 x1 x2 x3 x4
x 4x 5, x 1
的取值范围是__________．
【答案】 3, 4
2
【分析】利用函数图像的平移对称变换作出 f x ln x x 0 及 f x x 4x 5, x 1的图像，结合图
像，进而可知1 m 2，由此可推得 x1x2 1， x3 x4 4，1 x3 2， 2 x4 3，再利用二次函数的单调性
即可得到 x3x4 的范围，进而得到 x1 x2 x3 x4 的取值范围.
【详解】先将 y ln x 的图像关于 y 轴翻折得到 y ln x 的图像，再保留 y ln x 在 x 轴上方的图像，同
时将在 x 轴下方的图像向上翻折，即可得到 f x ln x x 0 的图像，再画出 f x x2 4x 5, x 1的
图像，由此得到 y f x 的图像，如图，
由方程 f x m m R 有四个不同的实数根，得函数 y f x 的图像与直线 y m有四个不同的交点，由
图可知，当两图像有四个不同的交点时，1 m 2；
设 y m与 y ln x x 0 交点的横坐标为 x1, x2 ，不妨设 x1 x2，则 x1 1， 1 x2 0，
则由 ln x1 ln x2 得 ln x1 ln x2 ，所以 x1 x2 1，即 x1x2 1；
设 y m与 y x2 4x 5 x 1 的交点的横坐标为 x3 ， x4，不妨设 x3 x4，则1 x3 2， 2 x4 3，且
x3 x4 2 2 4 ，
所以 x3x4 x3 4 x3 x3 2
2 4，由二次函数的单调性及1 x3 2，易知 x3x4 3, 4 ，
则 x1x2x3x4 3, 4 ．
故答案为： 3, 4 .
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于函数 f x ，若其定义域内存在实数 x 满足 f x f x ，则称 f x 为“准奇函数”.
(1)已知函数 f x x 2 ，试问 f x 是否为“准奇函数”？说明理由；
x 1
(2)若 g x 2x m 为定义在 1,1 上的“准奇函数”，试求实数m 的取值范围；
5 , 1
【答案】(1)不是，理由见解析；(2) 4
x 2 x 2
【分析】（1）根据题意分析 是否有解即可；
x 1 x 1
（2）根据题意可得 2 x m 2x m在 1,1 上有解，化简可得 2m 2x 2 x 在 1,1 上有解，令
2x t 1 , 2 ，再根据函数的单调性分析值域即可. 2
f x f x f x
【详解】（1）假设 为“准奇函数”， 存在 x 满足 ，
x 2 x 2
有解，化为 x2 2 0 ，无解， f x 不是“准奇函数”；
x 1 x 1
2 g x 2
x m 1,1
（ ） 为定义在 的“准奇函数”，
2 x m 2x m 在 1,1 x x上有解， 2m 2 2 在 1,1 上有解，
2x 1 1 1令 t
, 2 2
， 2m t 在 t ,2
t 2
上有解，
1 1
又对勾函数 y t 在 ,1
1 5
上单调递减，在 1, 2 上单调递增，且 t 时， y ；t 2 2 2
5
t 2时， y ，
2
ymin 1 1 2
5 5
， ymax , y
1
t 2, 的值域为 ，2 t 2
2m 5 5 , 2
， m
2
, 1
4
18．定义在 R 上的单调函数 f x 满足 f 3 log2 3且对任意 x, y R 都有 f x y f x f y .
（1）求证： f x 为奇函数；
（2 x x x）若 f k·3 f 3 9 2 0对任意 x R恒成立, 求实数 k 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ( , 1 2 2)．
【详解】
2
又 t 2＞0 时， t 2 t 2 =2 2 ，当且仅当 t= t= 2 时， …12 分
t t t
∴ k 1<2 2 ……13 分
综上所述， k< 1 2 2 时，f (k ·3x )+ f (3 x－9 x－2)＜0 对任意 x∈R 恒成立. …14 分
1 k
【方法 2：h(t)的其对称轴 x= …….11 分
2 K^S*5U.C#
1 k
1)当 0 k 1时，h(0)＝2>0, 而且 h(t)在(0,+∞)上是单调增函数，所以 h(t)＞0 对任意 t＞0 恒成
2
立．符合题意. #高&考*￥资%源#网 12 分
1 k
2)当 >0 k> 1时，则须 =(1 k)2 4 2<0 1 2 22
则得 1综上所述， k< 1 2 2 时，f(k 3x)+ f(3x－9x－2)<0 对任意 x∈R 恒成立. ……14 分】
19．已知函数 f x ln 2 x ，m 0，且 f 1 f 1 0．
2 mx
(1)证明： f x 在定义域上是增函数；
(2)若 f x ln 9 f x ，求 x 的取值集合．
x | 2 x 1
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由条件等式，结合对数运算法则可解出 m，即有 f x g x 2 x解析式，用定义法证 的单调
2 x
性，最后结合复合函数的单调性即可证明；
（2）结合对数运算法则得 f x f x ，即可化简不等式，最后结合 f x 单调性即可求得解集.
3 1 3
f 1 f 1 0 ln ln ln 2 0
【详解】（1） ， 2 m 2 m 4 m ，
2 f x ln 2 x m 1，又m 0， m 1， ．
2 x
2 x
由 0，解得 2 x 2， f x 的定义域为 2,2 ．
2 x
令 g x 2 x 1 4 ，任取 x1, x2 2,2 ，且 x1 x ，则2 x 2 x 2
g x g x 4 4 4 x x 1 2 1 22 ． x1 2 x2 2 x1 2 x2
又 x1 x2 0， 2 x1 0， 2 x2 0 ， g x1 g x2 0，即 g x1 g x2 ，
又 y ln x 在 0, 上是增函数，由复合函数的单调性知： f x 在 2,2 上是增函数．
f x ln 2 x 2 x ln f x
（2） 2 x 2 x ，
原不等式可化为 2 f x ln 9 f x ln 1，即 f 1 ．
3
由（1）知， f x 是增函数， x 1．
又 f x 的定义域为 2,2 ， x 的取值集合为 x | 2 x 1
20．已知函数 f(x)＝log 1 (x2－2ax＋3).
2
(1)若函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数 a 的值；
(2)若函数 f(x)的定义域为 R，值域为(－∞，－1]，求实数 a 的值；
(3)若函数 f(x)在(－∞，1]上为增函数，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1)2；(2)±1；(3)[1，2)
【分析】(1)由 x2－2ax＋3>0 的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，即得相应一元二次方程的根，从而可得参数值；
(2)题意说明二次函数 y＝x2－2ax＋3 的最小值为 2，由此可得参数值；
(3)由二次函数 y＝x2－2ax＋3 在(－∞，1]上为减函数，且 y>0，可昨参数范围．
【详解】(1)由 x2－2ax＋3>0 的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，
得 2a＝1＋3，所以 a＝2，即实数 a 的值为 2.
(2)因为函数 f(x)的值域为(－∞，－1]，
则 f(x)max＝－1，
所以 y＝x2－2ax＋3 的最小值为 ymin＝2，
由 y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，
得 3－a2＝2，
所以 a2＝1，所以 a＝±1.
(3)f(x)在(－∞，1]上为增函数，则 y＝x2－2ax＋3 在(－∞，1]上为减函数，且 y>0，
a 1, a 1,
所以 1≤1 2a 3 0,即 a 2,故 a
<2.
所以实数 a 的取值范围是[1，2).
x 1
21．已知函数 f x ．
x
f
(1) g x x 设 ，求 g x
1
在 , 4
上的最大值；x 2
(2)若存在实数 m，使得关于 x 的方程 2 x 1 2 x x 1 2mx2 0恰有 4 个不同的正根，求实数 m 的取值范
围．
(0, 1 )
【答案】(1)2；(2) 16
【分析】（1）分段讨论，脱掉绝对值符号，结合二次函数的最值求法，求得答案;
2 | x 1|
2 | x 1|
（ ）将原方程变形 2 2m 0即 2 f 2 (x) f (x) 2m 02 ，采用换元法转化为方程 2t
2 t 2m 0
x x
在( 0, 1) 内有两个不等的实数根，列出不等式组，求得答案.
x 1,1 x 4
g(x) f (x)
x 1 2
2
x
x x 1 x 1
2 , x 1
【详解】（1）由题意得 x 2 ，
g(x) x 1 1 1 1 1 1 1当1 x 4时， 2 2 ( )
2 ，当 x 2时， g(x) ；
x x x x 2 4 max 4
1
当 x 1 g(x)
1 x (1 1)2 1 时， 2 ，2 x x 2 4
1 1 1
因为1
1
≤2 2，所以当 2时， g(x)
x x max
(2 ) 2；
2 4
综上述， g x 1 在 , 4 上的最大值为 2； 2
x 1f x f x 1 1
2 f x 0,1 （ ）因为 x ，当 x 1时， x 为增函数，且 ，
1
当0 x 1时， f x 1为减函数，且 f x (0, )，
x
作出 f x x 1 在 x 0时的大致图象：
x
m x 2 x 1 2若存在实数 ，使得关于 的方程 x x 1 2mx2 0恰有 4 个不同的正根，
| x 1|22 | x 1|可化为
x2
2m 0恰有 4 个不同的正根，
x
即 2 f 2 (x) f (x) 2m 0 ，令 t f (x) ，则 2t 2 t 2m 0，
2
即存在实数 m，使得关于 x 的方程 2 x 1 x x 1 2mx2 0恰有 4 个不同的正根，
即需 2t 2 t 2m 0在( 0, 1)内有两个不等的实数根，
1 16m 0
2m 0
故需满足 2 12
1
1 2m 0 ，解得 0 m ，
16
2 1 1 2m 0
16 4
1
故实数 m 的取值范围为 (0, ) .
16
22．已知函数 p(x) mx 4 1(m 0 且m 1) 经过定点A ，函数 f x loga x(a 0且 a 1)的图象经过点A ．
(1)求函数 y f (2a 2x ) 的定义域与值域；
(2)若函数 g x f (2x ) f (x2 ) 4在[1 , 4]上有两个零点，求 的取值范围．
4
【答案】(1)定义域为 ( ,2) ，值域为 ( ,2) ；(2)[1，+∞）
【分析】（1）根据对数函数的性质，求得定点 A(4,2)，代入函数 f x loga x，求得 a 2，进而求得
y f (2a 2x ) log x2 (4 2 )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；
（2）由（1 2）知，化简得到函数 g x 2 (log2 x) 2log2 x 4，设 t log2 x ，则 t [ 2,2]，转化为
h x 2 t 2 2t 4在[ 2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
p(4) m0【详解】(1)解：令 x 4 0，解得 x 4，所以 1 2，所以函数 p(x)过点 A(4,2)，
将点A 的坐标代入函数 f x loga x，可得 loga 4 2，解得 a 2，
又由函数 y f (2a 2x ) log2 (4 2
x )，
由 4 2x 0，解得 x 2 ，所以函数 y f (2a 2x ) 的定义域为 ( ,2) ，
又由0 4 2x 4，所以函数 y f (2a 2x ) 的值域为 ( ,2) .
(2) 1 g x f (2x
) f (x2 ) 4 log2 (2x
) log x2 4
解：由（ ）知，函数 2
2 (log x)22 2log2 x
1
4在[ , 4]上有两个零点，
4
设 t log2 x ，则 t [ 2,2]，
因为 t
1
为关于 x 的单调递增函数，所以 g x 在[ , 4]有两个零点，
4
2
等价于函数 h x 2 t 2t 4在[ 2,2]上有两个零点，
①当 0 时，由 h x 2t 4 0，可得 t 2，函数 h x 只有一个零点，所以 0 不合题意；
Δ 4 32 0
2 1 2
②当 0时，由 2 ，解得 1；
h 2 8 8 0
h 2 8 0
Δ 4 32 0
2 1 2
③当 0 时，由 2 ，此时不等式组的解集为空集，
h 2 8 8 0
h 2 8 0
综上可得，实数 的取值范围是[1, ) .
