高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第四章综合检测卷（基础 A 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．已知函数 f (x) 2x 2 x ，若 f m ＝4，则 f 2m ＝（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
2．已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x
5
f x 0
5 x
，当 x 0时， f x 2 a，则 f 16
2 4
（ ）.
A．-50 B 1． 2 C．2 D．50
3x 1 , x 0
3．已知函数 f (x) ，若 f (a) 2，则 f (a 1) （ ）
log3(x 1), x 0
A． log3 2 B． log3 10 C． log3 5 D．1
(3a 2)x 4a, x 1
4．已知函数 f (x) log x, x 1 的值域为 R ，则实数 a的取值范围是（ ）
1 2
2 2
A． 2,
2
B． , 2 C． , D． 0,
2
3 3 3 3
5 x x2．已知关于 的方程 2 m 2 x m2 4 0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大
21.则实数m 的值是（ ）
A．17 B．－1 C．17 或－1 D．－17 或 1
2
6．函数 y log1 (4x 5x 1) 的单调增区间为（ ）
5
A． ,
1 5 5
4
B． , C． (1, ) D． , 8 8
2
1 ax 2x 37 f x ．若函数 的最大值是 2，则a （ ）
2
1 1 1
A． B． C 1．
4 4 2
D．
2
8 2．已知集合 A x x 3x 2 0 ，B {x N | x2 mx 1 0}(m R) .若 A B A B，则 m 的取值范围为
（ ）
A． ,
10 5
B． ,
3 2
10 , 5 10 5C．
D． ,
3 2 3 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
a a x , x 0
9．若函数 f x a 0 a 1 a
3
R
a 1 x, x 0 且 在 上为单调递增函数，则 的值可以是（ ）
2
A．3 B． C3 ． 2 D． 2
10．已知当 x y 1时， lg x lg y 0．根据上述结论，若10a 4 ，10b 25，则（ ）
A． a b 2 B．b a 1 C 2． ab 8 lg 2 D．b a lg 6
11．已知函数 y f x 的图象在区间 0,1 上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若 f 0 f 1 0，则 y f x 在 0,1 内至少有一个零点
B．若 f 0 f 1 0，则 y f x 在 0,1 内没有零点
C．若 y f x 在 0,1 内没有零点，则必有 f 0 f 1 0
D．若 y f x 在 0,1 内有唯一零点， f 0 f 1 0，则 f x 在 0,1 上是单调函数
12．已知函数 f x ln x ，0 a b，且 f a f b ，下列结论正确的是（ ）
1
A． b B． a 2b 2 2
a
2
C． b 3 D． a 1 2 b 1 2 8
a
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 f x 1 a 3 a x．若函数 （ a 0，且a 1）是指数函数，则a ________．
2
2
14．若 x log4 3，则 2x 2 x ______
15．函数 y log0.2 5x 4 的定义域_____________
16 f x x2．已知函数 2ax 1在区间 1,2 上有零点，则 a的取值范围为___________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17 62 2
1
．计算： 3 2 ( 3 )2 3 16 0.75 5
2 (4 5 ) 2 ．
27 3
1 x
2 3x 2
18．求函数 y 的单调区间和值域．
2
19．已知 f x loga x loga (4 x)（ a 0且a 1），且 f (2) 2 .
(1)求 a 的值及 f x 的定义域；
f x 1, 7 (2)求 在 上的值域. 2
20．已知函数 f（x）=2x-4x-m，x∈[-1，1].
（1）当 m=-2 时，求函数 f（x）的零点；
（2）若函数 f（x）在[-1，1]上有零点，求实数 m 的取值范围.
21．上世纪 30 年代，查尔斯 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量
的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式
为: M lg A lg A0 ，其中，A 是被测地震的最大振幅， A0 是一个常数（本题中取 A0 0.001）.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震的最大振幅是 40，请计算这次地震的震
级;（结果精确到 0.1）
(2)5 级地震给人的震感已比较明显，计算 7.9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍 （结果精
确到 0.1）
22．函数 f x 对任意的实数 m，n，有 f m n f m f n ，当 x 0时，有 f x 0．
（1）求证： f 0 0．
（2）求证： f x 在 , 上为增函数．
x x
（3）若 f 1 1，解不等式 f 4 2 2．高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第四章综合检测卷（基础 A 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．已知函数 f (x) 2x 2 x ，若 f m ＝4，则 f 2m ＝（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
【答案】B
【分析】根据指数式的运算即可求解.
2
【详解】因为 f (x) 2x 2 x ，所以 f (m) 2m 2 m 4，则 f (2m) 22m 2 2m 2m 2 m 2 14，
故选:B．
5 5
2 x．已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x f x 0，当 x 0时， f x 2 a，则 f 16
2 4
（ ）.
A．-50 B 1． 2 C．2 D．50
【答案】B
【分析】由奇函数性质确定 a值，再由已知确定函数的周期性，然后由周期性、奇函数性质求值．
【详解】 f (x) 是奇函数，∴ f (0) 1 a 0， a 1，
f x 5
5
f x 0，即 f (x ) f (x)，
2 2
f (x 5 5) f (x ) f (x) ， f (x) 是周期函数，周期是 5，
2
又 f (x) 是奇函数，
∴ f (16) f (3 5 1) f (1) f ( 1) (2 1 1)
1
．
2
故选：B．
3x 1 , x 0
3．已知函数 f (x) ，若 f (a) 2，则 f (a 1) （log (x 1), x 0 ） 3
A． log3 2 B． log3 10 C． log3 5 D．1
【答案】B
【分析】由 f (a) 2即可求出a 8，则可求出 f (a 1)的值.
【详解】当 a 0时， f (a) 3a 1 2，无解，
当 a 0时， f (a) log3(a 1) 2 a 8，
所以 f (a 1) f (9) log3 10，
故选：B.
(3a 2)x 4a, x 1
4．已知函数 f (x) log x, x 1 的值域为 R ，则实数 a的取值范围是（ ）
1
2
2 2
A
2 2
． 2, 3
B． , 2 C． , D． 0,
3 3 3
【答案】A
【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为 f x log 1 x， x 1值域为 ,0 ，所以
2
f x 3a 2 x 4a， x 1的值域应包含 0, ，所以判断出函数的单调性和 f 1 的正负，从而求出实数
a的取值范围
【详解】当 x 1时， f x log 1 x，其值域为 ,0 ，
2
当 x 1时， f x 3a 2 x 4a的值域应包含 0, ，所以 f x 为减函数，
所以3a 2 0 ，且 3a 2 1 4a 0，解得 2 2 a .
3
故选：A
5 2．已知关于 x 的方程 x 2 m 2 x m2 4 0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大
21.则实数m 的值是（ ）
A．17 B．－1 C．17 或－1 D．－17 或 1
【答案】B
【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为 x1，x2 ，用韦达定理表示出 x1 x2，x1x2 ，结合方程有两实根条
件，把问题转化为含参数m 的方程来解即可.
【详解】设方程 x2 2 m 2 x m2 4 0 2的两个实根分别为 x1，x2 ，则 x1 x2＝ 2(m 2)，x1x2 m 4 .
2 2
由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大 21 得： x1 x2 x1x2 21，
x 21 x2 3x1x2 4(m 2)2 3 m2 4 m2 16m 4 21，
解得：m 1或m 17，
又 2 2方程 x 2 m 2 x m 4 0有两个实数根，
4(m 2)2 4 m2 4 0，得m 0， m 1 .
故选：B
y log (4x26．函数 1 5x 1) 的单调增区间为（ ）
5
1 5 5
A． ,
B． ,
C
4 8 ．
(1, ) D． ,
8
【答案】A
【分析】根据对数复合函数的单调性判断增区间即可.
5
【详解】令 t 4x2 5x 1 (4x 1)(x 1) 0，且对称轴为 t ，
8
t x ( , 1所以 在 )上递减，在 x 1, 上递增，又 y log1 t 在定义域内递减，
4 5
所以 y log1 (4x
2 5x 1) 1的单调增区间为 ,
.
5 4
故选：A
ax2 2x 3
7．若函数 f x 1 的最大值是 2，则a （ ）
2
1 1 1
A B 1． ． C．
4 4 2
D．
2
【答案】A
【分析】根据 f (x) 有最大值及指数复合函数的单调性，可得u ax2 2x 3在定义域上先减后增，再由二次
函数性质求参数即可.
1 u
【详解】由 y ( ) 在定义域上递减，
2
要使 f (x) 有最大值，则u ax2 2x 3在定义域上先减后增，
当 f (x) 2max 2 ，则u ax 2x 3的最小值为 1，
a 0
1
所以 1 ，可得 a .
3 1 4
a
故选：A
8．已知集合 A x x2 3x 2 0 ，B {x N | x2 mx 1 0}(m R) .若 A B A B，则 m 的取值范围为
（ ）
10 5
A． , B． ,
3 2
10 , 5 10 5 C． 3 2
D． ,
3 2
【答案】D
A {1, 2} A B B {1,2} f x x2【分析】由题意可得 ， ，所以 ，将问题转化为二次函数 mx 1的两根在( 0, 1)
和 (2,3]之内，由二次函数图象性质及零点存在性定理求解即可.
【详解】解：由 A B A B，得 A B ；
因为 A x x2 3x 2 0 1,2 ，
所以B {x N | x2 mx 1 0} {1,2}，
f x x2令 mx 1，结合二次函数图象性质及零点存在性定理，
f (0) 1 0
m 2 0
f (1) 0 10 5
得 f (2) 0 ，即
2m 5 0 ，解得 m ，
3 2
10 3m 0 f (3) 0
10 5
所以实数m 的取值范围为 , . 3 2
故选:D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
a a x , x 0
9．若函数 f x a 0 a 13 且 在Ra 1 x, x 0 上为单调递增函数，则
a的值可以是（
）
3 2A． B． C3 ． 2 D． 2
【答案】AD
【分析】由分段函数单调性可直接构造不等式组求得结果.
a 1
【详解】 f x 在R 上单调递增， a 1 0，解得： a 2，
3 a 1
a 的取值可以为选项中的3或 2 .
故选：AD.
10．已知当 x y 1时， lg x lg y 0．根据上述结论，若10a 4 ，10b 25，则（ ）
A． a b 2 B．b a 1 C． ab 8 lg 2 2 D．b a lg 6
【答案】ACD
【分析】由对数函数的性质和运算法则，分析各选项即可.
【详解】由10a 4 ，10b 25，得 a lg 4，b lg 25，
选项 A： a b lg 4 lg 5 lg100 2，正确；
选项 BD：b a lg 25 lg 4 lg
25 25 6 lg 25 ，因为 ，所以 lg 6，B 错误，D 正确.
4 4 4
选项 C： ab 2 lg 2 2 lg5 4lg 2 lg 4 8 lg 2 2 ，正确.
故选 ACD．
11．已知函数 y f x 的图象在区间 0,1 上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若 f 0 f 1 0，则 y f x 在 0,1 内至少有一个零点
B．若 f 0 f 1 0，则 y f x 在 0,1 内没有零点
C．若 y f x 在 0,1 内没有零点，则必有 f 0 f 1 0
D．若 y f x 在 0,1 内有唯一零点， f 0 f 1 0，则 f x 在 0,1 上是单调函数
【答案】AC
【分析】根据零点存在定理逐一判断即可．
【详解】因为 f (x) 在[0，1]上连续，
A ． f (0) f （1） 0，由零点存在定理可知， y f (x) 在( 0, 1)内至少有一个零点，故正确；
1
B ．当 f (x) x2 x 时，满足 f (0) f （1） 0 ，但在( 0, 1) 14 内有一个零点 2 ，故错误；
C ． y f (x) 在( 0, 1)内没有零点，则必有 f (0) f （1） 0等价于 f (0) f （1） 0，则 y f (x) 在( 0, 1)内有
零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；
D． y f (x) 在( 0, 1)内有唯一零点， f (0) f （1） 0，但 f (x) 在( 0, 1)上不一定是单调函数，比如
2
f (x) 1 x
1
4
，故错误．
4
故选： AC ．
12．已知函数 f x ln x ，0 a b，且 f a f b ，下列结论正确的是（ ）
1
A． b B． a 2b 2 2
a
2
C 2 2． b 3 D． a 1 b 1 8
a
【答案】CD
【分析】由题意得 a,b关系后对选项逐一判断
【详解】由题意得 a 1 b，且 ln a ln b，则ab 1，
1
故 b ，故 A 错误，
a
2
对于 B， a 2b a
2
，而 0 a 1，故 a 1，故 Ba 错误，a
2
对于 C， b 3b 3，故 C 正确，
a
D a 1 2对于 ， b 1 2 a2 b2 2(a b) 2 2ab 4 ab 2 8，故 D 正确，
故选：CD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1
13．若函数 f x a 3
x
a （ a 0，且a 1）是指数函数，则a ________．
2
【答案】8
【分析】根据指函数的定义求解即可.
1
【详解】解：因为函数 f x a 3 a x 是指数函数，
2
1
所以 a 3 1，所以a 8．
2
故答案为：8.
2
14．若 x log4 3，则 2x 2 x ______
4
【答案】
3
【分析】将 x 化为以 2 为底的对数，代入式子即可得到答案.
2
【详解】因为 x log4 3
1
log2 3 log2 3 ,所以 2x 2 x 2 2
log2 3 2 log2 3 2
2
3
1
3 2 3
1 1 4
.
3 3 3 3
4
故答案为： .
3
15．函数 y log0.2 5x 4 的定义域_____________
4
【答案】 ,1
5
【分析】由对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可.
【详解】要使函数 y log0.2 5x 4 有意义，
5x 4 0 5x 4 0 4
需满足 x 1
log (5x 4)
，即
0 0 5x 4 1，解得0.2 5
4
故函数定义域为 ,1
5
4
故答案为： ,1
5
16．已知函数 f x x2 2ax 1在区间 1,2 上有零点，则 a的取值范围为___________.
5
【答案】 , 1
4
【分析】函数 f x 在区间 1,2 上有零点，即 f x 0在 1,2 有方程根，按 0和 0两种情况讨论，可
解出 a的取值范围．
2 2
【详解】函数 f x x 2ax 1在区间 1,2 上有零点，即 f x x 2ax 1 0在 1,2 有方程根，
当 4a2 4 0时， a 1，
若 a 1， f x x 1 2 ，在区间 1,2 上没有零点，
若 a 1， f x x 1 2 ，在区间 1,2 上有零点，故 a 1满足题意；
当 4a2 4 0，即 a 1或 a 1时， f x x2 2ax 1在区间 1,2 上有零点，
即 x2 2ax 1 0在 1,2 有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，
应有 f 1 f 2 0，即 2a 2 4a 5 0 5，解得 a 1，
4
5
故答案为： , 1 . 4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
62 2 117．计算： 3 2 ( 3 )2 3 16 0.75 5
2 (4 5 ) 2 ．
27 3
【答案】 19 .
【分析】根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答.
2
3
2 0.75 1 1 2 2 11 1 4
【详解】原式= 3 3 3 24 25 22 5 3 2 3 25 25 3 24 2 19 .
3 3 3 3
x2 3x 2
18 1 ．求函数 y 的单调区间和值域．
2
x2
y 1
3x 2 17
3 3
【答案】 在 ,
上为增函数，在 ,
上为减函数；值域为 0,2 4 ．
2 2 2
1
t
【分析】令 t x2 3x 2，先算出二次函数 t 的单调区间， y 在 R 上为减函数，根据复合函数单调性
2
2
1 x 3x 2 x
2 3x 2
即可判断出 y 的单调区间， t x
2 3x 2 1取得最小值时 y 取得最大值，即可求出
2 2
x2 3x 2
y 1 的值域.
2
2
1 x 3x 2
【详解】函数 y 的定义域为 R ．
2
3 3 3 1 t
令 t x2 3x 2 ，对称轴为 x ，在 , 上是减函数，在 , 上是增函数，而 y 在 R 上为减2 2 2 2
1 x
2 3x 2
3 3
函数．所以由复合函数的单调性可知， y 在 , 上为增函数，在 , 2
上为减函数．
2 2
3 17
又 t x2 3x 2在 x 时， tmin ，2 4
1
t
t 17
17
y 在 时，取得最大值 y 4 ．
2 4 max 2
17
所求函数的值域为 0,2 4 .
19．已知 f x loga x loga (4 x)（ a 0且a 1），且 f (2) 2 .
(1)求 a 的值及 f x 的定义域；
7
(2)求 f x 在 1, 上的值域. 2
【答案】(1) a 2， 0,4 ；(2) log2 7 2,2
【分析】（1）根据 f 2 2求出参数 a的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，
即可求出函数的定义域；
（2）由（1）可得 f (x) log (x 2)2 4 t x (x 2)2 2 ，设 4 ， x 1,
7
，根据二次函数的性质求出 t x 2
的取值范围，从而求出 f x 的值域.
f 2 2
【详解】（1）解：由 得 loga 2 loga (4 2) 2 2loga 2 2 log 2 1，即 ，所以 a ，解得 a 2，
所以 f x log2 x log2 (4 x)，
x 0
由 ，解得 0 x 4，故 f x 的定义域为 0,4 ；
4 x 0
f (x) log x log (4 x) log x(4 x) log (x 2)2 4
（2）解：由（1）及条件知 2 2 2 2 ，
2 7
设 t x (x 2) 4 ， x 1, ，则当 x 2时， t x 4 2 max ，
当 x 1时， t x 3 x 7 7；当 时， t x ，
2 4
7 7 7
所以当 x 1, 时， t x t x , 4 2 min ，即
，4 4
所以 f (x)max log2 4 2 ， f (x)min log
7
2 log2 7 2，4
f x 1, 7 所以 在 的值域为 log2 2 7 2,2 .
20．已知函数 f（x）=2x-4x-m，x∈[-1，1].
（1）当 m=-2 时，求函数 f（x）的零点；
（2）若函数 f（x）在[-1，1]上有零点，求实数 m 的取值范围.
1
【答案】（1） x 1．（2）[ 2 ， ]4 ．
【分析】（1）通过解方程求解即可．
（2）函数 f（x）有零点转化于方程 2x 4x m 有解，设 t 2x ，求出 t [
1
， 2]2 ，利用二次函数的性质求解最
值，再求解m 的取值范围．
【详解】（1）当m 2时， f (x) 2x 4x 2，得： 2x 4x 2 0．
2x 2或 2x 1舍去，解得 x 1．
函数的零点为 x 1．
（2） f (x) 2x 4x m 0 2x 4x m，
令 g(x) 2x 4x ，
函数 f（x）有零点等价于方程 2x 4x m 有解，等价于m 在 g(x)的值域内，
1
设 t 2x ， x [ 1，1]， t [2 ，
2]，
2 1 2 1 1 1
则 t t (t ) ， t 时， g(x)2 4 2 max
， t 2时， g(x) 24 min ．
g(x) 1的值域：[ 2 ， ]4 ．
m的取值范围为[ 2
1
， ]4 ．
21．上世纪 30 年代，查尔斯 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量
的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式
为: M lg A lg A0 ，其中，A 是被测地震的最大振幅， A0 是一个常数（本题中取 A0 0.001）.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震的最大振幅是 40，请计算这次地震的震
级;（结果精确到 0.1）
(2)5 级地震给人的震感已比较明显，计算 7.9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍 （结果精
确到 0.1）
【答案】(1)4.6 级；(2) 794.3倍
【分析】（1）将最大振幅A 和常数 A0 代入M lg A lg A0 即可求得．
（2）将里氏震级M 7.9和M 5 分别代入M lg A lg A0 后，两式相减变形即可求得．
M lg A lg A lg A lg 40 0 4.6
【详解】（1）解：由题可得 A 40，则 A0 0.001 ．
即这次地震的震级为 4.6 级．
5 lg A5 lg A0
2 7.9 lg A lg A A 0.001 lg A 3 lg A 2, lg A 4.9（ ）解：由题可得： 8 0 ，因为 0 ，则 0 ，所以 5 8 ，
所以 lg A8 lg A5 lg
A8 2.9 A8 102.9 794.3
A ，则 A ，5 5
即 7.9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的794.3倍．
22．函数 f x 对任意的实数 m，n，有 f m n f m f n ，当 x 0时，有 f x 0．
（1）求证： f 0 0．
（2）求证： f x 在 , 上为增函数．
（3）若 f 1 1 x x，解不等式 f 4 2 2．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） x | x 1
【分析】（1）令m n 0 ，代入等式，可求得 f 0 0；
（2）令 n m ，代入等式，结合 f 0 0，可得到 f m f m ，从而可知 y f x 是奇函数，然后用
定义法可证明 f x 在 , 上为增函数；
x x
（3）原不等式可化为 f 4 2 f 2 ，结合函数 f x 的单调性，可得出 4x 2x 2，解不等式即可.
【详解】（1）证明：令m n 0 ，则 f 0 0 f 0 f 0 2 f 0 ，∴ f 0 0 .
（2）证明：令 n m ，则 f m m f m f m ，
∴ f 0 f m f m 0，∴ f m f m ，
∴对任意的m ，都有 f m f m ，即 y f x 是奇函数．
在 , 上任取x1，x2，且 x1 x2，则 x2 x1 0，
∴ f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 0 ，即 f x1 f x2 ，
∴函数 y f x 在 , 上为增函数.
3 x x（ ）原不等式可化为 f 4 2 1 1 f 1 f 1 f 2 ，
由（2）知 f x 在 , x x上为增函数，可得 4x 2x 2，即 2 2 2 1 0，
∵ 2x 1 0，∴ 2x 2 0，解得 x 1，
故原不等式的解集为 x | x 1 .
