高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第四章综合检测卷（培优 B 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1 a 3 3 3．若 ，b 4 2 4 ，则 a b 的值为（ ）
A．1 B．5 C． 1 D． 2 5
2．若函数 f (x) a x （ a 0且a 1）在[ 1, 2]上的最大值为 4，最小值为 m，实数 m 的值为（ ）
A 1
11 1 1 1
． 2 B． C． D． 2 或42 16 16
2
3 r．点声源在空间中传播时，衰减量 L与传播距离 r （单位：米）的关系式为 L 10lg （单位： dB），
4
取 lg 5 0.7，则 r 从 5 米变化到 40 米时，衰减量的增加值约为（ ）
A．12dB B．14dB C．18dB D． 21dB
1 x4 ．函数 f x 2 loga x 2 （ a 0且a 1）在 2a 3, 上是增函数，则 S 4a 4a 3的取值范围
a
是（ ）
A． 3,11 B． 3,11 C． 6,11 D． 6,11
a, x 1
5．已知函数 f (x)
1 x 1 ，若方程 2 f
2 (x) (2a 3) f (x) 3a 0有 5 个不同的实数解，则 a的范围
( ) 1, x 1 2
是（ ）
(1, 3A． ) (
3 , 2) B． (1,2) (2,3)
2 2
C． (1, ) D． (1,3)
2 4
6 4 3 3．已知a ,b
2 ,c log 3，则 a，b，c 的大小关系是（ ）2
5 3
A． a b c B．b a c C． a c b D． c a b
a 2 x 1, x 1,
7．已知函数 f x x a ,1 x 2, （ a 0且a 1），若对任意两个不相等的实数x1，x2，
x2 2ax a, x 2
x1 x2 f x1 f x2 0恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 2,4 B． 1,4 C． 2, D． 2,4
8．设函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，对任意 x R ，都有 f 1 x f 1 x ，且当 x 0,1 时， f (x) 2x 1，
若函数 g x f x loga x 2 （ a 0且a 1）在 1, 7 上恰有 4 个不同的零点，则实数 a的取值范围是
（ ）
A ． 0,
1 1
7, B
． 0, 9,
7 7
C 0,
1
． 7,
1
D ． 0,
9,
9 9
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若函数 f x 的定义域为 0，2 ，则函数 f 2x 的定义域为 0，4
f x x 1B． 图象关于点 2，1 成中心对称
x 2
1 x
2 1
C y
1
． 的最大值为
2 2
D f x m2．幂函数 3m 3 x3m 4 在 0， 上为减函数，则m 的值为1
10．已知 log2 3 m ， log3 7 n，则 log42 56的值不可能是（ ）
mn 3 m n 3 mn 3 mn 3
A． B． C． D．
mn 1 2m n 1 mn m 1 mn m 1
x2 2x 3, x 0
11．已知函数 f x ，则下列说法正确的是（ ）
ln x 2, x 0
A． f f (1) 3 B． f (x) 的值域为 R
C．方程 f (x) k 最多只有两个实数解 D．方程 f f (x) 0有 5 个实数解
1 x
12．关于函数 f (x) ln ，下列说法中正确的有（
1 x ）
A． f x 的定义域为 , 1 1,
B． f x 为奇函数
C． f x 在定义域上是减函数
x x
D．对任意x1， x2 1,1 ，都有 f x1 f x 1 22 f
1 x1x
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若 f x 1 a x R 是奇函数，则实数a x ___________.3 1
14．已知2a 3，b log 5，则4a 3b8 ______．
3
15．若函数 f x loga 2x ax2 在区间 1, 上为减函数，则 a 的取值范围是________. 2
16．函数 f x ln x x2 3的零点个数为________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 f x 为偶函数， g x 为奇函数，且 f x g x 1 x ．e
(1)求函数 f x 和 g x 的解析式；
(2)若 f 2x ag x a 在 x 0, 恒成立，求实数 a的取值范围．
18．已知函数 f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中 a，b 均为实数．
1
(1)若函数 f（x）的图象经过点 A（0，2），B（1，3），求函数 y f x 的值域；
(2)如果函数 f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求 a+b 的值．
19．已知函数 f (x) x2 ax a b(a,b R) .
(1)若b 2, y ln f (x)在 x [1,3]上有意义且不单调，求 a 的取值范围；
(2)若集合 A x f x 0 , B x f f x 1 0 ，且 A B ，求 a 的取值范围.
x
20 2．已知函数 f x .
2x 1
(1)用定义证明函数 f x 在 , 上为减函数；
(2)若 x 1, 2 ，求函数 f x 的值域；
a
(3)若 g x f x ，且当 x 1,2 时， g x 0恒成立，求实数 a的取值范围．
2
21．已知函数 f x 2x a 2 x （ a为常数， a R ）
(1)讨论函数 f x 的奇偶性；
(2)当 f x 2x 2 x ，若方程 f 2x kf x 3在 x 0,1 上有实根，求实数 k 的取值范围．
22．（1）已知函数 g x a 1 x 2 1 a 0 的图像恒过定点 A，且点 A 又在函数 f x log 3 x a
的图像上，求不等式 g x 3的解集；
1 x 1 x2 1 （ ）已知 1 log 1 x 1，求函数 y
2 4
4 2
2 的最大值和最小值.
高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第四章综合检测卷（培优 B 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1 3 4．若 a 3 3 ，b 4 2 ，则 a b 的值为（ ）
A．1 B．5 C． 1 D． 2 5
【答案】A
【分析】根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解.
【详解】依题意， a 3 3 3 3 b 4 2 4， | 2 | 2，
则 a b (3 ) ( 2) 1，所以 a b 的值为 1.
故选：A
2．若函数 f (x) a x （ a 0且a 1）在[ 1, 2]上的最大值为 4，最小值为 m，实数 m 的值为（ ）
1 11 1 1 1A． 2 B． C． D． 或42 16 2 16
【答案】D
【分析】分 a 1和 0 a 1两种情况，由函数的单调性结合函数的最大值为 4，求出 a的值，从而可求出函数
的解析式，进而可求出函数的最小值.
【详解】 a 1时， f (x) a x 在[ 1, 2]上单调递增，
则 f (x)max f (2) a
2 4，解得 a 2，
1
此时 f (x) 2x ，m f (x)min 2
1 .
2
当 0 a 1时， f (x) a x 在[ 1, 2]上单调递减，
所以 f (x)max f ( 1) a
1 4 a 1 ，解得 ，
4
f (x) 1
x 1 2 1
此时 4
，m f (x)min f (2) .
4 16
m 1
1
综上， 的值为 2 或 ，16
故选：D.
2
3 r．点声源在空间中传播时，衰减量 L与传播距离 r （单位：米）的关系式为 L 10lg （单位： dB），
4
取 lg 5 0.7，则 r 从 5 米变化到 40 米时，衰减量的增加值约为（ ）
A．12dB B．14dB C．18dB D． 21dB
【答案】C
2
【分析】根据衰减量 L与传播距离 r r（单位：米）的关系式为 L 10lg 求解.
4
r 2
【详解】解：因为衰减量 L与传播距离 r （单位：米）的关系式为 L 10lg ，
4
所以 r 从 5 米变化到 40 米时，衰减量的增加值约为：
10lg 40
2 52
10lg 10lg 64 60lg 2 60 1 lg5 60 0.3 18，
4 4
故选：C
1 x4．函数 f x loga x 2 （ a 0且a 1）在 2a 3, 上是增函数，则 S 4a2 4a 3的取值范围
a
是（ ）
A． 3,11 B． 3,11 C． 6,11 D． 6,11
【答案】C
【分析】讨论 a 1， 0 a 1判断 f (x) 单调性，结合已知单调区间求 a的取值范围，再利用二次函数的性质
求解.
x
1
【详解】因为 f x loga x 2 ，所以 f x 的定义域为 ( 2, )，
a
1 x
当 a 1，则 y 在 ( 2, )上单调递减， y loga x 2 在 ( 2, )上单调递增，
a
1 xf x 所以 loga x 2 在 ( 2, )上单调递减，不满足；
a
x
当 0 a 1，则 y
1
在 ( 2, )上单调递增， y loga x 2 在 ( 2, )上单调递减，
a
x
所以 f x 1 loga x 2 在 ( 2, )上单调递增；
a
1 x
因为 f x loga x 2 在 2a 3, 上是增函数，
a
1 1
所以 2a 3 2，解得 a ，即 a 1，
2 2
S 4a2 4a 3 4(a 1 )2 2 1因为 ，故 S 4a2 4a 3在[ ,1)2 上单调递增，2
所以6 S 11，故 A，B，D 错误.
故选：C.
a, x 1
5．已知函数 f (x) 1 x 1 ，若方程 2 f
2 (x) (2a 3) f (x) 3a 0有 5 个不同的实数解，则 a的范围
( ) 1, x 1 2
是（ ）
3 3
A． (1, ) ( , 2) B． (1,2) (2,3)
2 2
C． (1, ) D． (1,3)
【答案】A
3
【分析】解方程 2 f 2 (x) (2a 3) f (x) 3a 0得 f (x) a或 f (x) ，根据 a的取值分类讨论即可.
2
2 3【详解】方程 2 f (x) (2a 3) f (x) 3a 0，解得 f (x) a或 f (x) ，
2
3
, x 1
若 a
3
， f (x)
2 3 ，
2 (1) x 1 1, x 1 2
2
3
解得 x 1或 0 或 2，不符合题意，所以 a ，
2
由 f (x)
3
，可得原方程有 3 个不等实根 x 1或 0 或 2；
2
(1)|x 1|所以只要 1 a 有 2 个不等实根即可．
2
由 | x 1| 0 0 (
1 |x 1|
可得 ) 1，即有1 a 2 ，
2
综上可得 a (1,
3) 3 ( , 2)．
2 2
故选：A．
2 4
6 4 3 3．已知a 2 ,b ,c log 3，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
5 3 2
A． a b c B．b a c C． a c b D． c a b
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，利用中间量法即可得出答案.
【详解】解： c log2 3 log2 2 1，
4 0
2 1
1 4
3 4 4
a 5 5
，
5 5
4
b 2
1
3
2 2
3
，
3 3
因为1
4 2
，所以 c a b .
5 3
故选：D.
a 2 x 1, x 1,
7 x．已知函数 f x a ,1 x 2, （ a 0且a 1），若对任意两个不相等的实数x1，x2，
x2 2ax a, x 2
x1 x2 f x1 f x2 0恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 2,4 B． 1,4 C． 2, D． 2,4
【答案】D
a 2 0,
a 1,
2a
【分析】由题意可得：函数 f x 在R 上为增函数，则有 2, ，解不等式即可得出答案.
2
a 2 1 a,
2
a 4 4a a,
【详解】对任意两个不相等的实数x1，x2， x1 x2 f x1 f x2 0恒成立，
a 2 0,
a 1,
2a
所以函数 f x 在R 上为增函数，则有 2, 解得： 2 a 4 .
2
a 2 1 a,
2
a 4 4a a,
故选：D.
8．设函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，对任意 x R ，都有 f 1 x f 1 x ，且当 x 0,1 时， f (x) 2x 1，
若函数 g x f x loga x 2 （ a 0且a 1）在 1, 7 上恰有 4 个不同的零点，则实数 a的取值范围是
（ ）
1
A 0,
1
． 7
7, B． 0, 9,
7
1C
1
． 0, 7, 9 D
． 0,
9,
9
【答案】C
【分析】分析可知，函数 f (x) 的周期为 4，作出函数 f (x) 的图像，依题意可得数 y f (x) 与 y loga (x 2)
的图像在 ( 1,7)上有 4 个不同的交点，然后分 a 1及 0 a 1讨论即可．
【详解】解： 函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，当 x 0,1 时， f (x) 2x 1，
当 x 1,0 时， x 0,1 ，所以 f (x) f ( x) 2 x 1，
即当 x 1,0 时 f (x) 2 x 1，
又对任意 x R ，都有f (1 x ) f (1 x )，则 f x 关于 x 1对称，且 f x f 2 x f x ，
f (x) f (x 4)，即函数 f (x) 的周期为 4，
又由函数 g(x) f (x) loga (x 2)(a 0 且 a 1)在 ( 1,7)上恰有 4个不同的零点，
得函数 y f (x) 与 y loga (x 2)的图像在 ( 1,7)上有 4个不同的交点，又 f 1 f 5 1
f 1 f 3 f 7 1，
当 a 1时，由图可得 loga (5 2) 1 loga a ，解得 a 7；
1
当 0 a 1时，由图可得 loga (7 2) 1 log
1
a a ，解得0 a ．9
a 0, 1 综上可得 7, .
9
故选：C．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若函数 f x 的定义域为 0，2 ，则函数 f 2x 的定义域为 0，4
f x x 1B． 图象关于点 2，1 成中心对称
x 2
1 x
2 1
C y
1
． 的最大值为
2 2
D．幂函数 f x m2 3m 3 x3m 4 在 0， 上为减函数，则m 的值为1
【答案】BD
1 x 1
【分析】对于 A，由复合函数的定义域的求法判断；对于 B，通过平移函数 y 的图象判断函数 y
x x 2
的图象的对称中心；对于 C，根据指数函数的单调性进行判断；对于 D，通过幂函数的定义和单调性得到关
于 m 的关系式，进而求解 m 的值.
【详解】对于 A，函数 f x 的定义域为 0，2 ，由0 2x 2 得0 x 1，
则函数 f 2x 的定义域为 0,1 ，A 错误；
1
对于 B，函数 y 的图象的对称中心为 0,0 ，
x
y 1 1 x 1将函数 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到函数 y 1 的图象，
x x 2 x 2
y x 1则函数 的图象的对称中心为 2,1 ，B 正确；
x 2
1
x
对于 C，函数 y 2 在 R 上单调递减，且 x 1 1，
2
2
1 x 1 1 1 x
2 1
y
1
则 ，即当 x 0时，函数 y 取得最小值 2 ，无最大值，C 错误； 2 2 2
对于 D，因为函数 f x m2 3m 3 x3m 4 为幂函数，
m2 3m 3 1
所以 ，解得m 1，D 正确.
3m 4 0
故选：BD.
10．已知 log2 3 m ， log3 7 n，则 log42 56的值不可能是（ ）
mn 3 m n 3 mn 3 mn 3
A． B． C． D．
mn 1 2m n 1 mn m 1 mn m 1
【答案】ABD
【分析】利用对数运算的公式计算即可.
【详解】由换底公式得： log2 7 log2 3 log3 7 mn， log7 2
1
， log42 56 log42 7 8 log42 7 logmn 42
8，
log 1 1 1 1 mn
其中 42
7
log7 42 1 log7 6 1 log7 2 log7 3 1 1 1 mn m 1，
mn n
log 3 3 3 mn 3 mn 342 8 3log42 2 log2 42 log2 6 log2 7 1
log 56
m mn ，故 42 mn m 1 1 m mn mn m 1
故选：ABD.
2
11．已知函数 f x
x 2x 3, x 0
，则下列说法正确的是（ ）
ln x 2, x 0
A． f f (1) 3 B． f (x) 的值域为 R
C．方程 f (x) k 最多只有两个实数解 D．方程 f f (x) 0有 5 个实数解
【答案】ABD
【分析】根据函数解析式可求 f f (1) 的值，故可判断 A 的正误，解方程 f f (x) 0后可判断 D 的正误，画
出 f x 的图象后可判断 BC 的正误.
【详解】 f f (1) f ln1 2 f 2 3，故 A 正确.
x 0 x 0
f x 0 等价于 x2 或 2x 3 0 ln x 2 0
，
故 x 3或 x e2 ，故方程 f x 0 有 2 个实数解，
下面考虑 f f (x) 0的解，令 t f x ，则 f t 0的解为 t 3或 t e2 ，
2
再考虑 f x 3或 f x e 的解，
x 0 x 0 x 0 x 0
即 或 或
x
2 2x 3 3 x
2 2x 3 e2 ln x 2 3
或 ，
ln x 2 e
2
1
故 x 2 或 x 0或 x 1 4 e2 或 x 或 x e2 e
2
，共 5 个不同的解，
e
故 D 正确.
f x 的图象如图所示：
由图象可得 f (x) 的值域为 R，故 B 正确.
当 4 k 3时，直线 y k 与 y f x 的交点个数为 3，
故此时 f x k 有 3 个不同的实数根，故 C 错误.
故选：ABD.
f (x) ln 1 x12．关于函数 ，下列说法中正确的有（
1 x ）
A． f x 的定义域为 , 1 1,
B． f x 为奇函数
C． f x 在定义域上是减函数
x 1,1 f x f x f x1 x D．对任意x1， 2 ，都有 1 2 2
1 x1x
2
【答案】BCD
【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断
1 x
【详解】对于 A，由 0得 1 x 1，故 f x 的定义域为 ( 1,1) ，故 A 错误，
1 x
对于 B， f x 的定义域为 ( 1,1) ， f ( x) ln 1 x f (x)，则 f x 为奇函数，故 B 正确，
1 x
1 x 1 2对于 C， ，由复合函数的单调性知 f x 在 ( 1,1) 上是减函数，故 C 正确，
1 x 1 x
x1 x2
对于 D，任意x ， x2 1,1 ， ( 1,1)1 1 x x ，1 2
1 x x 1 2
f x f x ln[ (1 x1)(1 x ) 2 ] x1 x2 f ln( 1 x1x2 ) ln[(1 x1)(1 x )1 2 2 ](1 x1)(1 x
，
2 ) 1 x x
1 x1 x
，故 D 正确，
1 2 2 (1 x1)(1 x2 )
1 x1x2
故选：BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若 f x 1 a x x R 是奇函数，则实数a ___________.3 1
【答案】 2
【分析】利用 f 0 0可求得 a，验证可知满足题意.
a
【详解】 f x 定义域为R ，且 f x 为奇函数， f 0 1 0，解得： a 2 ；
2
x x x
当 a 2 f x 1 2 3 1时， x x ， f x
3 1 1 3
f x ，
3 1 3 1 3 x 1 1 3x
f x 为R 上的奇函数，满足题意；
综上所述： a 2 .
故答案为： 2 .
14．已知2a 3，b log8 5，则4a 3b ______．
9
【答案】 25
【分析】由指数与对数的运算性质求解
【详解】因为2a 3，所以 a log2 3，又b log8 5，所以b
1
log2 5，3
a 3b log 3
2log 32 9
所以 a 3b 52 ， 4 2 ，5 25
9
故答案为： 25
3
15．若函数 f x loga 2x ax2 在区间 1, 上为减函数，则 a 的取值范围是________. 2
(0, 2【答案】 ] (1,
4)
3 3
【分析】令 t(x) 2x ax2 ，分 a 1和 0 a 1两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】解：令 t(x) 2x ax2 ，则 t(x) 0，
y log x f x log 2x ax2 1, 3当 a 1时， a 是增函数，由 a 在区间 上为减函数， 2
1
1
1
1
a a
3 3 9 4
则 t(x) 2x ax2
在 1, 上为减函数，故 t 0，即 3 a 0，解得1 a ； 2 2 4 3
a 1 a 1
当 0 a 1时， y loga x是减函数，由 f x loga 2x
3
ax2 在区间 1, 上为减函数， 2
1 3 1 3 a 2
3 a 2 2
则 t(x)
2x ax2 在 1,
上为增函数，故 t 1 0 ，即 2 a 0，解得0 a ， 2 3
0 a 1 0 a 1
综上， a的取值范围是. (0,
2] (1, 4) .
3 3
故答案为： (0,
2] (1, 4)
3 3
16．函数 f x ln x x2 3的零点个数为________．
【答案】1
【分析】解法一，将函数 f x ln x x2 3的零点转化为函数 y ln x 与 y 3 x2 图象的交点问题，作出函
数图象，数形结合，可得答案；
解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.
【详解】解法一：令 f x 0，可得方程 ln x x2 3 0 ，即 ln x 3 x2 ，
故原函数的零点个数即为函数 y ln x 与 y 3 x2 图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．
由图可知，函数 y 3 x2 与 y ln x 的图象只有一个交点，
故函数 f x ln x x2 3只有一个零点，
故答案为：1
解法二：∵ f 1 ln1 12 3 2 0， f 2 ln 2 22 3 ln 2 1 0，
∴ f 1 f 2 0，
又 f x ln x x2 3的图象在 1,2 上是不间断的，
∴ f x 在 1, 2 上必有零点，
又 f x ln x x2 3在 0, 上是单调递增的，
∴函数 f x 的零点有且只有一个，
故答案为：1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
17．已知函数 f x 为偶函数， g x 为奇函数，且 f x g x ．
ex
(1)求函数 f x 和 g x 的解析式；
(2)若 f 2x ag x a 在 x 0, 恒成立，求实数 a的取值范围．
x
(1) f x e e
x x x
【答案】 ， g x e e ；(2) 1,4 2 6
2 2
1 f x g x f x g x ex【分析】（ ）利用奇偶性可得 ，与已知等式构成方程组，解方程组即可求
得 f x , g x ；
e2x e 2x ex e x
（2）由（1）可化简不等式得到 a 1 ，令 x x ，将不等式化为
2 2 e e t 0
t 2 at 2a 2 0，分别在 、 0和 0的情况下，结合二次函数的性质可构造不等式求得 a的范围.
1 f x g x f x g x f x g x e
x
【详解】（ ） 为偶函数， 为奇函数， ，
f x g x ex
x x x x
由 得： 1 f x
e e e e
， g x .
f x g x
ex 2 2
e2xf 2x e
2x
（2）由（1）得： 2 ，
e2x e 2x x x e e 由 f 2x ag x a 得： a 12 ， 2
y ex e x 在 0, 上单调递增， y e0 e0 0，
令 ex x
2
e t 0，则 e2x e 2x ex e x 2 t 2 2 ，
t 2 2 a t 2 ，即 t 2 at 2a 2 0对 t 0, 恒成立；
令 y t 2 at 2a 2，则 a2 4 2a 2 a2 8a 8，
①当 ，即 4 2 6 a 4 2 6 时， t 2 at 2a 2 0恒成立，符合题意；
a
②当 0，即 a 4 2 6 或 a 4 2 6 时， y t 2 at 2a 2的对称轴为 t ，2
a
当 a 4 2 6 时， t 0，则 t 2 at 2a 2 0在 0, 上恒成立，符合题意；2
a a
当 a 4 2 6 时， t 0 ，则当 t 时， t 2 at 2a 2 0，不合题意；2 2
a 4 2 6 ；
③当 0，即 a 4 2 6 或 a 4 2 6 时，
a
0
若 a 4 2 6 ，则需 2 ，解得： 1 a 0， 1 a 4 2 6 ；
2a 2 0
若 a 4 2 6 ，则 t 2 at 2a 2 0在 0, 上不恒成立，不合题意；
综上所述：实数 a的取值范围为 1, 4 2 6 .
18．已知函数 f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中 a，b 均为实数．
1
(1)若函数 f（x）的图象经过点 A（0，2），B（1，3），求函数 y f x 的值域；
(2)如果函数 f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求 a+b 的值．
3
【答案】(1)（0，1）；(2)a+b 2
1
【分析】（1）由题意先求得 a、b 的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数 y f x 的值
域．
（2）根据函数 f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得 a、b 的值，可得 a+b 的值．
【详解】（1）函数 f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中 a，b 均为实数，
1 b 2
函数 f（x）的图象经过点 A（0，2），B（1，3），∴ ，
a b 3
a 2 1 1
∴ ∴b 1 ， 函数 f（x）＝
2x+1＞1，函数 y
f x 2x
＜
1 1．
1 1 1
又 ＞f x 2x 1 0，故函数
y
f x 的值域为（0，1）．
（2）如果函数 f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，
1
b 1
若 a＞1，函数 f（x）＝ax+b 为增函数，∴ a ，求得 a、b 无解．
1 b 0
1
b 0
a
1
若 0＜a＜1，函数 f（x）＝ax+b 为减函数，∴ a ，求得 2 ，
1 b 1 b 2
3
∴a+b ．
2
19．已知函数 f (x) x2 ax a b(a,b R) .
(1)若b 2, y ln f (x)在 x [1,3]上有意义且不单调，求 a 的取值范围；
(2)若集合 A x f x 0 , B x f f x 1 0 ，且 A B ，求 a 的取值范围.
【答案】(1) ( 2 2 3, 2)；(2)[ 2,2] .
【分析】（1）根据题意得到二次函数 f x 的对称轴在 1,3 之间，且 f x 在 1,3 上恒为正，结合二次函数
的性质即得；
（2）设m, n m n 为方程 f x 0的两个根，计算B x | m 1 f x n 1 ，得到
f (x) 4( a 1) a
2
min a 2，进而即得.4
2
【详解】（1）当b 2 时， f (x) x ax a 2，
由题知：二次函数 f (x) 的对称轴在 (1,3)之间，且 f (x) 在[1,3]上恒正，
a
1 3
2
∴ ，
f a a
2
a 2 0
2 4
解得 2 2 3 a 2，
即a ( 2 2 3, 2)；
（2）因为 A ，不妨设m,n(m n)为方程 f (x) 0 的两个根，
∴ B x f f x 1 0 x m f x 1 n x m 1 f x n 1 ，
由 A B ，得 n 1 0，即 n 1，且 f (x)min m 1，
由 f (n) f (1) 0，得b 1，
∴ f (x) x2 ax a 1，
∵ A x f (x) 0 ，
∴ a2 4( a 1) (a 2)2 0 ，
∴ a R ，
又m,n(m n)为方程 f (x) 0 的两个根，
∴ m a 1，
∴ f (x) 4( a 1) a
2
min a 2，解得 2 a 2，4
∴ a [ 2,2] .
x
20 2．已知函数 f x x .2 1
(1)用定义证明函数 f x 在 , 上为减函数；
(2)若 x 1, 2 ，求函数 f x 的值域；
(3)若 g x a f x ，且当 x 1,2 时， g x 0恒成立，求实数 a的取值范围．
2
4
,
2
8
【答案】(1)证明见解析；(2) 5 3
a
；(3) 5
【分析】（1）利用函数的单调性的定义及 y 2x 的单调性进行证明；
（2）利用函数的单调性求其值域；
4 a
（3）先求出当 x 1,2 时 g x 的值域，再令 0即可求解.
5 2
(1) f x 【详解】 证明：函数 的定义域为 R，
设 x1, x2 R 且 x1 x2，
2x1 2x2 x2 x1
则 f x 2 21 f x2 x .2 1 1 2x2 1 (2x1 1)(2x2 1)
因为 x1 x2，所以 2x1 2x2 ， 2x1 1 0 ， 2x2 1 0，
所以 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ．
所以函数 f x 在 , 上为减函数．
(2) f x , 解：因为函数 在 上为减函数，
所以当 x [1,2]时， f (x)
2
max f (1) ，3
f (x)min f (2)
4
.
5
4 , 2所以当 x [1,2]时， f (x)
的值域为 5 3
.
(3)解：由(2)得，当 x [1,2]时，
4 2
f (x) 的值域为 ,
，
5 3
因为 g x a f x ，
2
所以当 x [1,2]时， g x [ 4 a , 2 a ] .
5 2 3 2
因为 g x 0在 x [1,2]上恒成立，
4 a
所以 0，解得 a
8
，
5 2 5
8
即实数 a的取值范围为 a .
5
21．已知函数 f x 2x a 2 x （ a为常数， a R ）
(1)讨论函数 f x 的奇偶性；
(2)当 f x 2x 2 x ，若方程 f 2x kf x 3在 x 0,1 上有实根，求实数 k 的取值范围．
1
k 1
【答案】(1)见解析；(2) 2 2
【分析】（1）直接使用奇偶性的定义进行求解；
（2）在函数 f (x) 为偶函数的条件下，确定函数的解析式，并通过函数零点和方程根的关系，求解实数 k 的
取值范围．
f (x) 2x a 2 x
【详解】（1） 函数 的定义域为 x R ，
又 f ( x) 2 x a 2x
①当 f ( x) f (x) 时，即 2 x a 2x 2x a 2 x 时，可得 a 1
即当 a 1时，函数 f (x) 为偶函数；
②当 f ( x) f (x) 时，即 2 x a 2x (2x a 2 x ) 2x a 2 x 时，可得 a 1
即当 a 1时，函数 f (x) 为奇函数；
③当 a 1时，函数 f (x) 为非奇非偶函数．
（2）由（1）可得，当函数 f (x) 为偶函数时， a 1，
即 f (x) 2x 2 x 时， f (2x) 22x 2 2x (2x 2 x )2 2
由题可得， (2x 2 x )2 2 k(2x 2 x ) 3 (2x 2 x )2 k(2x 2 x ) 5 0
2
令 t 2x 2 x t 2 kt 5 k k 20，则有 0 t
2
x 0,1 ， 2x [1, 2], 2 x [1 ,1]
2
2x 2 x 2x 1 2 x 1又 x ，当且仅当 2 x x 0时，等号成立2 2
x x 5
根据对勾函数的性质可知， 2 2 [2, ]，即 t [2,
5]
2 2
① k k
2 20
2 化简得 k 2 20 k 2 8k 16，解得 k
1
2 2
k k 2 20 5 1
化简得 k 2 20 k 2 10k 25，解得 k
2 2 2
此时 k 的取值不存在；
2
② k k 20 2化简得 k 2
1
20 k 2 8k 16，解得 k
2 2
k k 2 20 5 1
化简得 k 2 20 k 2 10k 25，解得 k
2 2 2
k 1 k 1此时，可得 的取值为
2 2
1 k 1综上可得
2 2
22．（1）已知函数 g x a 1 x 2 1 a 0 的图像恒过定点 A，且点 A 又在函数 f x log 3 x a 的图像
上，求不等式 g x 3的解集；
x 1 x
2 1 log 1 x 1 y 1 4 1 （ ）已知 ，求函数 2 的最大值和最小值.2 4 2
5
【答案】（1） 3, ；（2） ymin 1， ymax .4
【分析】（1）结合指数函数性质首先求 a的值，再解指数不等式；
x
（2）通过换元，设 t 1 ，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.
2
【详解】（1）由题意知定点 A 的坐标为 2,2 ，
∴ 2 log 3 2 a 解得 a 1 .
∴ g x 2x 2 1 .
∴由 g x 3得， 2x 2 1 3 .
∴ 2x 2 2 .
∴ x 2 1.
∴ x 3 .
∴不等式 g x 3的解集为 3, .
x
（2）由 1 log 1 x 1
1
得 x 2令 t 1 1 2
2 2 2
，则 t ，
4 2
2
y 1 4t 2 4t 2 4 t
2
1 .
x
∴当 t
1
1 1，即 ， x 1时， y2 2 2 min
1，
t 1 1
x
1 5
当 ，即 ， x 2时， y4 2 4 max
.
4
