人教A版2019必修第二册 同步备课试题 6-2-2向量的减法运算（含解析）

6.2.2向量的减法运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022秋·四川绵阳·高一校考期末）在中，点D在BC边上，且.设，则可用基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·江苏南通·高一统考期末）在中，已知是边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．若为平行四边形，则
B．若则
C．互为相反向量的两个向量模相等
D．
4．（2022·高一课前预习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·高一单元测试）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·北京朝阳·高一统考期末）如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·吉林·高一吉林省实验校考阶段练习）化简得（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·高一课时练习）下列各式中能化简为的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2022·高一课前预习）＝________.
11．（2022秋·江西南昌·高一南昌十中校考期中）化简______．
12．（2022春·青海海南·高一海南藏族自治州高级中学校考期末）化简___________.
13．（2022·高一课时练习）下列四个等式：
①＋＝＋；②－(－)＝；③＋＋＝；④＋(－)＝.
其中正确的是______(填序号)．
14．（2022·高一课时练习）在中，分别是的中点，则___________.
15．（2022·高一课前预习）向量可以写成：①；②；③；④.
其中正确的是________(填序号).
16．（2022·高一课前预习）如图所示，O为ABC内一点，，，，求作向量.
17．（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，，，试用向量表示向量，，.
18．（2022·高一课前预习）化简下列式子：
(1)；
(2)；
【能力提升】
一、单选题
1．（2022春·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·北京丰台·高一统考期末）若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
3．（2022秋·浙江绍兴·高一校考阶段练习）如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，.若，则实数的值为（ ）
A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5
4．（2022秋·陕西西安·高一统考期末）如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·山西长治·高一校考期中）在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
6．（2022·全国·高一专题练习）已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一专题练习）已知A，，，是以为球心，半径为2的球面上的四点，，则不可能等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
8．（2022秋·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022秋·吉林长春·高一德惠市第一中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点是的重心
C．若，则点在边的延长线上
D．若，且，则是面积的一半
三、填空题
11．（2022·高一课时练习）如图所示，中心为O的正八边形中，，，则______．（结果用，表示）
12．（2022秋·上海杨浦·高一校考期中）已知，则的取值范围是___________.
13．（2022秋·河南安阳·高一安阳一中校考阶段练习）已知平面向量，满足 ，且， 与夹角余弦值的最小值等于 _________ .
四、解答题
14．（2022·高一课时练习）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点.若，，试以为基底表示，.
15．（2022·高一单元测试）如图，O为内一点，，，.求作：
(1)+-；
(2)--.
16．（2022·全国·高一专题练习）已知，.求的最大值和最小值.
17．（2022·高一课时练习）已知点是的重心，点在边上，
（1）用和表示；
（2）用和表示．
18．（2022·高一课时练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
6.2.2向量的减法运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022秋·四川绵阳·高一校考期末）在中，点D在BC边上，且.设，则可用基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】在中根据，然后，然后在用向量的减法化简.
【详解】解析：因为，所以.
所以.
故选：C
2．（2022秋·江苏南通·高一统考期末）在中，已知是边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的减法运算即可得到答案．
【详解】解：，
则有，
可得．
故选：C.
3．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．若为平行四边形，则
B．若则
C．互为相反向量的两个向量模相等
D．
【答案】B
【分析】利用向量相等的定义判断A；举例说明判断B；利用互为相反向量的定义判断C，利用向量加法、减法法则计算判断D作答.
【详解】对于A，中，，且向量与同向，则，A正确；
对于B，当时，与不共线，也满足，B不正确；
对于C，由互为相反向量的定义知，互为相反向量的两个向量模相等，C正确；
对于D，，D正确.
故选：B
4．（2022·高一课前预习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.
【详解】根据平面向量减法原则，，而，
故.
故选：C
5．（2022·高一单元测试）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】解：，
故选：A.
6．（2022秋·北京朝阳·高一统考期末）如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向量的减法可判断C选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
7．（2022秋·吉林·高一吉林省实验校考阶段练习）化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算直接求解.
【详解】
.
故选：C
二、多选题
8．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据向量的加法法则判断逐一判断即可.
【详解】解：由向量的加法法则可得：，故正确，错误；
当点在线段上时，，否则,故错误，D正确．
故选：AD.
9．（2022·高一课时练习）下列各式中能化简为的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由向量的加法与减法法则逐一验证即可
【详解】对于A：，故A 错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
10．（2022·高一课前预习）＝________.
【答案】
【分析】根据向量减法运算法则即可求解.
【详解】解：，
故答案为：.
11．（2022秋·江西南昌·高一南昌十中校考期中）化简______．
【答案】
【分析】利用向量加减法运算化简，注意相反向量的应用.
【详解】.
故答案为：
12．（2022春·青海海南·高一海南藏族自治州高级中学校考期末）化简___________.
【答案】
【分析】利用向量的加法运算，即可得到答案；
【详解】，
故答案为：
13．（2022·高一课时练习）下列四个等式：
①＋＝＋；②－(－)＝；③＋＋＝；④＋(－)＝.
其中正确的是______(填序号)．
【答案】①②③④
【分析】根据向量加减法及其运算律即可判断.
【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．
故答案为：①②③④.
14．（2022·高一课时练习）在中，分别是的中点，则___________.
【答案】
【分析】由向量的加法与减法法则求解即可
【详解】利用三角形中位线定理知，
所以.
故答案为：
15．（2022·高一课前预习）向量可以写成：①；②；③；④.
其中正确的是________(填序号).
【答案】①④
【分析】①利用向量的加法运算；②③④利用向量的减法运算
【详解】①；
②；
③；
④；
故答案为：①④
四、解答题
16．（2022·高一课前预习）如图所示，O为ABC内一点，，，，求作向量.
【答案】答案见解析
【分析】以，为邻边作平行四边形OBDC，连接OD，AD，即为所求.
【详解】解：以，为邻边作平行四边形OBDC，连接OD，AD，
所以＝＋＝，
所以＝＝.
17．（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，，，试用向量表示向量，，.
【答案】，，
【分析】根据向量加法与减法的运算法则即可求解.
【详解】解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，
所以.
18．（2022·高一课前预习）化简下列式子：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】按照向量的加法，减法运算法则化简即可.
（1）
原式
（2）
原式
【能力提升】
一、单选题
1．（2022春·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减法以及三角形中位线即可得到答案.
【详解】连接，，点为线段中点，
点为线段的中点，
,
又，
.
故选：B.
2．（2022春·北京丰台·高一统考期末）若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案.
【详解】由题意知，且,
当同向时，取得最小值，；
当反向时，取得最大值，；
当不共线时，取得最小值，，
故 的取值范围是，
故选：C
3．（2022秋·浙江绍兴·高一校考阶段练习）如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，.若，则实数的值为（ ）
A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5
【答案】D
【分析】根据向量线性运算，结合线段关系，用，表示出，，，由平面向量的基本定理，即可求得的值．
【详解】因为D为BC的中点，且，，故，即，
又AE=EC，可得，，
又，故，
因为，共线，由平面向量的基本定理可知满足，解得，
故选：D．
4．（2022秋·陕西西安·高一统考期末）如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正八边形的几何性质可知，结合向量的减法运算，可得答案.
【详解】因为，所以，
故选:A.
5．（2022秋·山西长治·高一校考期中）在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
【答案】C
【分析】以为邻边作平行四边形，根据m，n的长度相等可知平行四边形一定是矩形,即可判断.
【详解】以为邻边作平行四边形，则由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．
故选：C.
6．（2022·全国·高一专题练习）已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取、为基底，把，都用、表示，再计算.
【详解】因为，则，
所以，，所以，，即，
因此.
故选：D.
【点睛】方法点睛：向量运算的技巧：
（1）构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
（2）树立“基底”意识，利用基向量进行运算.
7．（2022·全国·高一专题练习）已知A，，，是以为球心，半径为2的球面上的四点，，则不可能等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
【答案】A
【分析】利用向量的定义得，从而，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值.
【详解】由，
由得，，
而，当且仅当同向时，等号成立，
而A，，，在球面上，不可能共线，即不同向，
故
且均小于直径长4，即，观察选项，只有A取不到.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用向量不等式，向量模长之间的关系，判断线段和的最值.
8．（2022秋·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可.
【详解】
故选：B
二、多选题
9．（2022秋·吉林长春·高一德惠市第一中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，计算得到AD正确；，B错误；，C错误.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：BC
10．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点是的重心
C．若，则点在边的延长线上
D．若，且，则是面积的一半
【答案】ABD
【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据重心的性质即可判断；对C，根据向量的运算得到，即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解.
【详解】解：对A，，
即，
即，
即点是边的中点，故A正确；
对B，设的中点为，
，
即点是的重心，故B正确；
对C，，
即，
即，
即点在边的延长线上，故C错误；
对D，，且，
故，且，
设，
则，且，
故三点共线，且，
即是面积的一半，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．（2022·高一课时练习）如图所示，中心为O的正八边形中，，，则______．（结果用，表示）
【答案】
【分析】根据向量的加减运算即可求得答案.
【详解】由题图可知，
,
故答案为：
12．（2022秋·上海杨浦·高一校考期中）已知，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用，将的模与联系起来，即可得到的范围.
【详解】 ，
，
，
即 .
故答案为：
13．（2022秋·河南安阳·高一安阳一中校考阶段练习）已知平面向量，满足 ，且， 与夹角余弦值的最小值等于 _________ .
【答案】
【解析】根据平面向量数量积的运算律化简,结合题中所给模长用表示出,即可用表示出与夹角的余弦值;利用换元法令,由平面向量数量积定义及三角函数的值域,求得的范围.代入中求得m的取值范围.再根据平面向量数量积定义,用m表示出与夹角余弦值,即可由m的取值范围结合表达式的性质得解.
【详解】平面向,满足,则
因为
展开化简可得,
因为,代入化简可得
设与的夹角为
则由上式可得
而
代入上式化简可得
令,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得
,而
所以
由余弦函数的值域可得,即
将不等式化简可得,解不等式可得
综上可得,即
而由平面向量数量积的运算可知,设与夹角为,
则
当分母越大时,的值越小;当的值越小时,分母的值越大
所以当时, 的值最小
代入可得
所以与夹角余弦值的最小值等于
故答案为:
【点睛】本题考查平面向量数量积的综合应用,根据向量的模求得向量夹角的表示形式,三角函数值域的有界性,由函数解析式及性质求最值,综合性强,属于难题.
四、解答题
14．（2022·高一课时练习）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点.若，，试以为基底表示，.
【答案】；.
【分析】根据给定的平行四边形，结合向量加法法则及共线向量求解作答.
【详解】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，则，
所以：，
.
15．（2022·高一单元测试）如图，O为内一点，，，.求作：
(1)+-；
(2)--.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象.
（2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象.
(1)
设是的中点，连接并延长，使.
+-.
(2)
--=-（+）.
16．（2022·全国·高一专题练习）已知，.求的最大值和最小值.
【答案】最大值是3，最小值是1.
【分析】根据得到最大值，得到最小值.
【详解】因为，，
所以，当且仅当与，即与的方向相同时取等号.
，当且仅当与，即与的方向相反时取等号.
所以的最大值是3，最小值是1.
17．（2022·高一课时练习）已知点是的重心，点在边上，
（1）用和表示；
（2）用和表示．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设的中点为，可得出，利用重心性质得出，由此可得结果；
（2）由，得出，再由，即可得出结果.
【详解】（1）设的中点为，则，
为的重心，可知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，
．
（2），，
因此，.
【点睛】方法点睛：本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于一般题.
18．（2022·高一课时练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）见解析（2）或.（3）（4）
【解析】（1）根据条件计算，即可证明；
（2）由可得，计算即可求出的值；
（3）由可得，计算可得的值；
（4）先计算，再计算，，代入向量夹角公式计算即可.
【详解】（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，即.
因为，，
所以，，
所以，
即.所以或.
（3）由知，即，即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，
所以.
因为，
由得，
化简得，
所以或.
经检验知不成立，故.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，夹角公式，模的运算，考查了计算能力，属于中档题.