人教A版2019必修第二册 同步备课试题 6-2-1向量的加法运算（含解析）

6.2.1向量的加法运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）化简等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·高一课时练习）（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新疆·高一克拉玛依市高级中学校考阶段练习）等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·高一课时练习）已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部 B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部
5．（2022秋·安徽芜湖·高一统考期末）如图，正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·高一课时练习）在中，已知为上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·高一单元测试）已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C． D．3
二、多选题
8．（2022·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2022秋·河南·高一校联考期中）下列四个等式：
①； ②； ③； ④．
其中正确的是______．（填序号）
11．（2022·高一课时练习）已知长方形一边长为，相邻边长边为，，，，则________.
12．（2022秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量与共线，且，则______．
13．（2022·高一课时练习）在中，点满足，则与的面积比为___________．
14．（2022·高一课时练习）在中，是边上的点且，若则______．
15．（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，_________．
四、解答题
16．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
17．（2022秋·广东湛江·高一校考阶段练习）已知菱形的边长为2，
(1)化简向量；
(2)求向量的模.
18．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量；
(4)写出与相反的向量．
19．（2022·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
21．（2022·高一课时练习）已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，．
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）若非零不共线的向量满足，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022秋·四川·高一四川省科学城第一中学校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF中，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·高一课时练习）若非零向量满足，则( )
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高一专题练习）如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·黑龙江大庆·高一铁人中学校考阶段练习）已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
7．（2022秋·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）如图所示，为的外心，为垂心，其中，则下列说法成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏·高一专题练习）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·福建厦门·高一厦门市松柏中学校考阶段练习）下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
D．若向量与满足关系，则与共线
三、填空题
10．（2022·高一单元测试）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.
11．（2022·全国·高一专题练习）化简以下各式：
①；
②；
③；
④.
结果为零向量的是________.（填序号）
12．（2022·高一课时练习）如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为 _____.
13．（2022·高一课时练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______
四、解答题
14．（2022·高一单元测试）如图所示，在中，与相交于点.
(1)用和分别表示和；
(2)若，求实数和的值.
15．（2022·高一课时练习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.
16．（2022·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
17．（2022·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
18．（2022·高一单元测试）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
19．（2022·高一课前预习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）化简等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加法运算求解即可.
【详解】
.
故选:C.
2．（2022·高一课时练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】由向量的运算法则，可得
．
故选：A.
3．（2022·新疆·高一克拉玛依市高级中学校考阶段练习）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得；
【详解】解：
故选：B
4．（2022·高一课时练习）已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部 B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部
【答案】D
【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．
故选：D
5．（2022秋·安徽芜湖·高一统考期末）如图，正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正六边形的性质及向量加法的运算法则即可求解.
【详解】解：正六边形ABCDEF中，因为，
所以，
故选：B.
6．（2022·高一课时练习）在中，已知为上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】因为，
所以
.
故选：B.
7．（2022·高一单元测试）已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】由向量加法的平行四边形法则可知，只需求线段长度即可得出结论.
【详解】如图所示：
设点是的中点，
由题可知：
.
故选：C.
二、多选题
8．（2022·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用平面向量平行四边形加法和三角形加法法则进行计算.
【详解】由平行四边形加法法则可得：，A正确；
由三角形加法法则，B错误；
，C正确；
，D正确.
故选：ACD
9．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据向量的加法法则判断逐一判断即可.
【详解】解：由向量的加法法则可得：，故正确，错误；
当点在线段上时，，否则,故错误，D正确．
故选：AD.
三、填空题
10．（2022秋·河南·高一校联考期中）下列四个等式：
①； ②； ③； ④．
其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可.
【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误，
故答案为：①②③
11．（2022·高一课时练习）已知长方形一边长为，相邻边长边为，，，，则________.
【答案】
【分析】计算出，再结合平面向量的加法可求得结果.
【详解】由勾股定理可得，所以，.
故答案为：.
12．（2022秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量与共线，且，则______．
【答案】0或2
【分析】由题可知与相等或互为相反向量，据此即可求
【详解】向量与共线，且，∴与相等或互为相反向量，
当与相等时，，
当与互为相反向量时，．
故答案为：0或2．
13．（2022·高一课时练习）在中，点满足，则与的面积比为___________．
【答案】##
【分析】由平面向量的加法法则可得到点的位置，再用面积公示，即可得到面积的比值.
【详解】取边的中点，连接，如图所示，
因为，即，所以，即点为的中点，所以.
故答案为：
14．（2022·高一课时练习）在中，是边上的点且，若则______．
【答案】##
【分析】由题知，再根据求解即可.
【详解】解：因为在中，是边上的点且，
所以，即，
所以，，即
故答案为：
15．（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，_________．
【答案】##
【分析】先用平行四边形法则，再用三角形法则．
【详解】平行四边形ABCD中，.
故答案为：.
四、解答题
16．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
17．（2022秋·广东湛江·高一校考阶段练习）已知菱形的边长为2，
(1)化简向量；
(2)求向量的模.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解即可；
（2）根据平面向量的平行四边形法则与三角形法则化简求解即可
【详解】（1）
（2）由向量的平行四边形法则与三角形法则，
18．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量；
(4)写出与相反的向量．
【答案】(1)，，，，，，
(2)，，，，
(3)与
(4)，，
【分析】（1）根据共线向量的定义结合已知条件求解即可，
（2）根据已知条件求出与长度相等的向量即可，
（3）根据相等向量的定义结合已知条件求解即可，
（4）根据相反向量的定义结合已知条件求解即可，
【详解】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EFBC，且EF＝BC.
因为D是BC的中点，所以，
所以与共线的向量有，，，，，，.
（2）由（1）可知与的模相等的向量有，，，，.
（3）由（1）可知与相等的向量有与.
（4）因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
所以，∥，
所以与相反的向量有，，.
19．（2022·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.
（1）
；
（2）
.
20．（2022·高一课时练习）化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量加法和减法的运算法则即可求解；
（2）根据向量加法和减法的运算法则即可求解；
【详解】（1）解：；
（2）解：.
21．（2022·高一课时练习）已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，．
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量加法运算法则，代入即可.
（2）根据向量的数乘定义可知，且，从而可证出为梯形.
（1）
．
（2）
因为，所以根据数乘向量的定义知与同向，且，
所以在四边形中，，且，
所以四边形为梯形．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可.
【详解】解：对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
2．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）若非零不共线的向量满足，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断
【详解】
（2）
由非零向量，满足
当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, ,
则. 在图（1）中, ,
不能比较与的大小;
在图（2）中, 由, 得,
所以 为的直角三角形.
易知,
由三角形中大角对大边, 得.
故选：C
3．（2022秋·四川·高一四川省科学城第一中学校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，根据正六边形的特征，得到，,带入到要求的式子中，利用向量线性运算加法法则即可直接求解.
【详解】由已知，ABCDEF为正六边形，所以，,
所以.
故选：D.
4．（2022·高一课时练习）若非零向量满足，则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量加法的性质即可判断：.
【详解】因为，
∴.
若与共线，由则中有一个必为零向量，
与不共线，即，
.
同理知无法判断之间的大小关系.
故选：C.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD．
【详解】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
6．（2022秋·黑龙江大庆·高一铁人中学校考阶段练习）已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件判断出当何时取得最小值，并解直角三角形求得这个最小值.
【详解】设，由于，所以以为邻边的平行四边形是菱形，对角线相互垂直平分，设对角线相交与，则，画出图像如下图所示.，而与同向，所以与同向，所以的最小值为，在中，，所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二、多选题
7．（2022秋·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）如图所示，为的外心，为垂心，其中，则下列说法成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】作直径，连接、，则可得四边形是平行四边形，有，然后利用向量的加法法则可求出，从而得，进而逐个分析判断即可
【详解】作直径，连接、，
则，，，，．
，，故四边形是平行四边形．
，又，
．
∵，
对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B正确，
对于C，，所以C错误，
对于D，，所以D正确，
故选：ABD
8．（2022·江苏·高一专题练习）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.
【详解】解：如图所示：
对A，，
又，
即，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，设为与的交点，
由题意可得：是的重心，
故，
，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：AC.
9．（2022秋·福建厦门·高一厦门市松柏中学校考阶段练习）下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
D．若向量与满足关系，则与共线
【答案】ABD
【分析】由相反向量、单位向量、共线向量的定义以及性质判断即可.
【详解】解：A向量的相反向量是，正确：
B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：
C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则，不正确，因为与可能方向相反；
D.若向量与满足关系，∴，则与共线，正确.
故选：ABD
三、填空题
10．（2022·高一单元测试）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.
【答案】##
【分析】根据题意，利用余弦定理，计算出的值，根据向量运算，把化成，计算其长度得答案.
【详解】在中，设，，
则，所以，
所以.
故答案为：
11．（2022·全国·高一专题练习）化简以下各式：
①；
②；
③；
④.
结果为零向量的是________.（填序号）
【答案】①②③④；
【分析】根据向量加法的三角形法则：首尾相连，起点指终点；向量减法的三角形法则：共起点，连终点，指向被减向量，即可求解.
【详解】对于①；
对于②；
对于③；
对于④.
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查向量的加减法运算，考查运算求解能力，属于基础题.
12．（2022·高一课时练习）如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为 _____.
【答案】4
【分析】以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，属于难题
【详解】设，以，为一组基底，则.
∵点与点分别共线，
∴存在实数和，使.
又∵，
∴解得
∴，
∴.
【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解
13．（2022·高一课时练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______
【答案】
【分析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）,求出端点G,H对应的即可求解.
【详解】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：
则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）
当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题.
四、解答题
14．（2022·高一单元测试）如图所示，在中，与相交于点.
(1)用和分别表示和；
(2)若，求实数和的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案；
（2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案.
【详解】（1）由，可得.
（2）（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即.
15．（2022·高一课时练习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.
【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处
【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解.
【详解】如图所示，
设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即.
在中，.
在中，，，
即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.
16．（2022·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
【答案】
【分析】根据向量加法的平行四边形法则及正切函数的定义即可求解.
【详解】如图所示，
表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向.
所以
在中，.
所以船实际行进的方向的正切值为.
17．（2022·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为
【分析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案.
【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，
则四边形为平行四边形.
所以，，
因为，于是，
所以，，
故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.
18．（2022·高一单元测试）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由平面向量基本定理即可写出答案；
（2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明三点共线.
（1）
∵，，
∴，
；
（2）
证明：∵，
∴与平行，
又∵与有公共点，
∴三点共线.
19．（2022·高一课前预习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
【答案】①；② ；③
【解析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.
【详解】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题