第13 讲 第三章变量之间的关系（讲解+练习）（含答案）

第十三讲第三章变量之间的关系
自变量
　变量的概念
因变量
变量之间的关系 表格法
关系式法
　变量的表达方法 速度时间图象
图象法
路程时间图象
一、变量、自变量、因变量、常量。
1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量（可以取不同数值的量叫做变量）。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。（
3、在某个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量。
4、自变量与因变量的确定：
（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
（4）对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就是说x是自变量y是应变量。
二、表格
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；
（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；
（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系
（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；
（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；
（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
三、关系式
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：
（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；
（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：
（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；
（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
四、图象
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。
4、图象上的点：
（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；
（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可 ( http: / / www.21cnjy.com )在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。
（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
5、图象理解
（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；
（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
五、速度图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。
六、路程图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
七、三种变量之间关系的表达方法与特点：
表达方法 特　　点
表格法 多个变量可以同时出现在同一张表格中
关系式法 准确地反映了因变量与自变量的数值关系
图象法 直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势
【典型例题】
例1、圆周长公式C=2πr 中，下列说法错误的是（ ）
A．C、π、r是变量，2是常量 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．C、r是变量，2π是常量
C．r是自变量，C是r的函数 D．当自变量r=2时，函数值C=4π
列2、某超市的销售量随商品的价格的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（ ）
A. 销售量 B. 顾客 C. 商品 D. 商品的价格
例3、（2013佛山）某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与时间 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的关系的大致图象是( )
例4、如图所示，打开洗衣机 ( http: / / www.21cnjy.com )开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水的过程其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
列5、2012 吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两
个情境：
( http: / / www.21cnjy.com / )
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
（1）情境a，b所对应的函数图象分别是 3 1 （填写序号）；
（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家
练习
一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！
1．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校到他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校．下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（　　）
2．已知变量x，y满足下面的关系
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … 1 1.5 3 －3 －1.5 －1 …
则x，y之间用关系式表示为( )
A.y= ( http: / / www.21cnjy.com / ) B.y=－ ( http: / / www.21cnjy.com / ) C.y=－ ( http: / / www.21cnjy.com / ) D.y= ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．某同学从学校走回家，在路上遇到两个同学，一块儿去文化宫玩了会儿，然后回家，下列象能刻画这位同学所剩路程与时间的变化关系的是（　　）
4．地表以下的岩层温度 ( http: / / www.21cnjy.com / )随着所处深度 ( http: / / www.21cnjy.com / )的变化而变化，在某个地点 ( http: / / www.21cnjy.com / )与 ( http: / / www.21cnjy.com / )的关系可以由公式 ( http: / / www.21cnjy.com / )来表示，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )随 ( http: / / www.21cnjy.com / )的增大而（ ）
A、增大 B、减小 C、不变 D、以上答案都不对
5．某校办工厂今年前5个月生产某种产品 ( http: / / www.21cnjy.com )总量（件）与时间（月）的关系如图1所示，则对于该厂生产这种产品的说法正确的是 （　 　）
Ａ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月生产总量逐月减少
Ｂ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月均产总量与3月持平
Ｃ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月均停止生产
Ｄ．1月至3月生产总量不变，4，5两月均停止生产
6．如图2是反映两个变量关系的图，下列的四个情境比较合适该图的是（　　）
Ａ．一杯热水放在桌子上，它的水温与时间的关系
Ｂ．一辆汽车从起动到匀速行驶，速度与时间的关系
Ｃ．一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系
Ｄ．踢出的足球的速度与时间的关系
7．如图3，射线 ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与
时间的关系，则图中显示的他们行进的速度关系是（　　）
Ａ．甲比乙快 Ｂ．乙比甲快
Ｃ．甲、乙同速 Ｄ．不一定
8．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而
变化，这个问题中因变量是（ ）
A.太阳光强弱 B.水的温度 C.所晒时间 D.热水器
9．长方形的周长为24厘米，其中一边为 ( http: / / www.21cnjy.com / )（其中 ( http: / / www.21cnjy.com / )），面积为 ( http: / / www.21cnjy.com / )平方厘米，则这样的长方形中 ( http: / / www.21cnjy.com / )与
( http: / / www.21cnjy.com / )的关系可以写为（ ）
A、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
10如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y
与x之间的关系应该是（ ）
（A）y=12x （B）y=18x （C）y= ( http: / / www.21cnjy.com / )x （D）y= ( http: / / www.21cnjy.com / )x
二、填一填，要相信自己的能力！
1．某种储蓄的月利率是 ( http: / / www.21cnjy.com / )，存入 ( http: / / www.21cnjy.com / )元本金后，则本息和 ( http: / / www.21cnjy.com / )（元）与所存月数 ( http: / / www.21cnjy.com / )之间的关系
式为 （不考虑利息税）．
2．如果一个三角形的底边固定，高发生变化时，面积也随之发生改变．现已知底边长为 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则高从 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变化到 ( http: / / www.21cnjy.com / )时，三角形的面积变化范围是 ．
3．汽车开始行驶时，油箱中有油 ( http: / / www.21cnjy.com / )升，如果每小时耗油 ( http: / / www.21cnjy.com / )升，则油箱内余油量 ( http: / / www.21cnjy.com / )（升）与行驶时间 ( http: / / www.21cnjy.com / )（小时）的关系式为 ，该汽车最多可行驶 小时．
4．某公司销售部门发现，该公司的销 ( http: / / www.21cnjy.com )售收入随销售量的变化而变化，其中 是自变量， 是因变量。
5．地面温度为15 C，如果高度每升高1千米，气温下降6 C，则高
度h(千米)与气t( C)之间的关系式为 。
6．汽车以60千米/时速度匀速行驶，随着时间t（时）的变化，汽车
的行驶路程s也随着变化，则它们之间的关系式为 。
8．小雨拿5元钱去邮局买面值为80 ( http: / / www.21cnjy.com )分的邮票，小雨买邮票后所剩钱数y（元）与买邮票的枚数x（枚）之间的关系式为
9．拖拉机工作时，油箱中的余油量 ( http: / / www.21cnjy.com / )（升）与工作时间 ( http: / / www.21cnjy.com / )（时）的关系式为 ( http: / / www.21cnjy.com / )．当 ( http: / / www.21cnjy.com / )时，
( http: / / www.21cnjy.com / )_________，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作_________小时．
10．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少.下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势
年 份 2006 2007 2008 …
入学儿童人数 2 520 2 330 2 140 …
(1)上表中 是自变量， 是因变量.
(2)你预计该地区从 年起入学儿童的人数不超过1 000人.
三、做一做，要注意认真审题呀！
1．某校办工厂现在年产值是15万元，计划以后每年增加2万元.
（1）写出年产值 ( http: / / www.21cnjy.com / )（万元）与年数 ( http: / / www.21cnjy.com / )之间的关系式.
（2）用表格表示当 ( http: / / www.21cnjy.com / )从0变化到6（每次增加1） ( http: / / www.21cnjy.com / )的对应值.
（3）求5年后的年产值.
2．如图5，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图.
（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？
（2）小明到达超市用了多少时间？小明往返花了多少时间？
（3）小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？
（4）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？
3．如图6，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。到十点时，甲大约走了13千米。根据图象回答：
（1）甲是几点钟出发？
（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少千米？
（3）到十点为止，哪个人的速度快？
（4）两人最终在几点钟相遇？
（5）你能将图象中得到信息，编个故事吗？
4．某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为 ( http: / / www.21cnjy.com / )元和 ( http: / / www.21cnjy.com / )元．
（1）写出 ( http: / / www.21cnjy.com / )、 ( http: / / www.21cnjy.com / )与x之间的关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？
（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？
四、拓广探索！
1．小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8 ( http: / / www.21cnjy.com )元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图7所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：
（1）求降价前销售金额 ( http: / / www.21cnjy.com / )（元）与售出西瓜 ( http: / / www.21cnjy.com / )（千克）之间的关系式；
（2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？
（3）小明这次卖瓜赚子多少钱？
参考答案：
一、1~10 ＣＣＢＡＣ ＢＡBＣD．
二、1、 ( http: / / www.21cnjy.com / )；2、三角形的面积由 ( http: / / www.21cnjy.com / )变为 ( http: / / www.21cnjy.com / )；3、 ( http: / / www.21cnjy.com / )，8；
4、销售量，销售收入；5、t=15-6h；6、s=60t；7、10，l2，20；8、y=5 -0.8x
9、 ( http: / / www.21cnjy.com / )； ( http: / / www.21cnjy.com / )
10、 (1)年份，入学儿童人数；(2)2014；
三、1、（1）y=15+2x；（2）略；（3）25；
2、（1）时间与距离之间的关系；900米；
（2）20分钟；35分钟；
（3）休息；
（4）45米/分钟；60米/分钟；
3、（1）8点；（2）9点；13米；（3）乙；（4）10点；（5）答案不惟一，略；
4、（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )；
（2）由 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，即 ( http: / / www.21cnjy.com / )，解得x=250，当每个月通话250分钟时，两种移动通讯费用相同．
（3）当x=300时， ( http: / / www.21cnjy.com / )=170， ( http: / / www.21cnjy.com / )=180， ( http: / / www.21cnjy.com / )＜ ( http: / / www.21cnjy.com / )，所以使用“全球通”合算．
四、1．（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )；（2）70千克；（3）48元．
x
y
O
A．
x
y
O
B．
x
y
O
C．
x
y
O
D．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7