湖北省襄阳市樊城区2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省襄阳市樊城区2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 731.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-26 22:30:09 | ||
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文档简介
襄阳市樊城区2022-2023学年高二下学期开学考试
数学考试
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.或
2.等比数列的前项和为，则为（ ）
A.28 B.32 C.21 D.28或21
3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.设不同直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在等差数列中，其前项和为，若，则中最大的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.法国数学家 化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心 以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，分别与圆交于两点，直线与椭圆交于两点，则下列结论不正确的是（ ）
A.椭圆C的离心率为
B.M到C的右焦点的距离的最大值为
C.若动点在上，记直线的斜率分别为，则
D.面积的最大值为
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知等差数列为递减数列，且，则下列结论中正确的有（ ）
A.数列的公差为
B.
C.数列是公差为的等差数列
D.
10.已知圆，直线，则下列命题中正确的有（ ）
A.直线恒过定点
B.圆被轴截得的弦长为4
C.直线与圆恒相离
D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
11.抛物线的焦点为，直线过点，斜率为，且交抛物线于A 两点（点在轴的下方），抛物线的准线为交于交于，点为抛物线上任一点，则下列结论中正确的有（ ）
A.若，则
B.的最小值为
C.若，则
D.
12.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）
A.平面平面
B.平面
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.三棱锥的体积不变
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.圆与圆的公切线共有__________条.
14.设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式__________.
15.已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为__________.
16.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为__________.
四 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.在中，已知点.
（1）求边上中线的方程.
（2）若某一直线过点，且轴上截距是轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程.
18.已知圆的方程为.
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程.
19.数列的前项和满足.
（1）求；
（2）设的前项和为，求.
20.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点轴是的角平分线，为垂足，是否存在定点，使得为定值，说明理由.
21.如图①，已知矩形的长为4，宽为，点是边上的点，且.如图②，将沿折起到的位置，使得平面平面，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）在线段（不包含端点）上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
22.已知分别是椭圆的左 右焦点，是的右顶点，，是椭圆上一点，分别为线段的中点，是坐标原点，四边形的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点的直线与椭圆C交于两点，且，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
数学答案
1-8DACACCBD
9.ABC 10.AD 11.ABD 12.ABD
13.4 14. 15. 16.
17.解：在中，已知点.
（1）线段的中点为，即，
故边上中线的方程为，即；
（2）直线过点且轴上截距是轴上截距的2倍，
（i）若直线过原点，则直线方程为，即；
（ii）若直线不过原点，设轴上截距为，则直线方程为，
代入B点解得，故直线方程为，即；
故该直线的一般式方程为或.
18.解：（1）当直线斜率不存在时，，显然与相切；
当直线斜率存在时，可设，
由几何关系可得，解得，
故，即，
故过点且与圆相切的直线的方程为或；
（2）设，可设中点为，
因为是等腰直角三角形，
所以，
即圆心到直线距离，
解得或7，
故直线或，
即或.
19.解：（1）①当时，，
②当且时，，
（2）由（1），
①当时，；当时，，
②当且时，，，
由①②得，
20.解：（1）设动圆圆心为点，
则由勾股定理得，
化简即得圆心的轨迹的方程为；
（2）证明：由题意可设直线的方程为，
联立得，
由，得，
设点，则，
因为轴是的角平分线，所以，
即
，
所以，即，所以I的方程为，
故直线|恒过定点，
于是为定值且为直角三角形且为斜边，
所以中点满足为定值此时点的坐标为.
21.（1）证明，又平面平面平面.
又平面，平面平面，
平面平面，
平面.
（2）解：假设存在点，
由题意知，
又由勾股定理可得，
，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
过点作垂直于平面BMDC的直线，以点为原点，分别以，所在直线为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
则，
设为平面的法向量，，
，则，令，则，
为平面的一个法向量，
设，由题意，知，
则，
设为平面的法向量，，
，，令，则，
则为平面的一个法向量，
由得，
解得，
在线段（不包含端点）上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时点为线段的中点.
22.解：（1）分别为线段的中点，是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆的标准方程为.
（2）设，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入，整理得，
则，
.
易知，
化简得，
或（舍去），
直线的方程为，即，直线过定点.
当直线的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或（舍去），
此时直线过点.
综上，直线过定点.
数学考试
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.或
2.等比数列的前项和为，则为（ ）
A.28 B.32 C.21 D.28或21
3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.设不同直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在等差数列中，其前项和为，若，则中最大的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.法国数学家 化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心 以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，分别与圆交于两点，直线与椭圆交于两点，则下列结论不正确的是（ ）
A.椭圆C的离心率为
B.M到C的右焦点的距离的最大值为
C.若动点在上，记直线的斜率分别为，则
D.面积的最大值为
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知等差数列为递减数列，且，则下列结论中正确的有（ ）
A.数列的公差为
B.
C.数列是公差为的等差数列
D.
10.已知圆，直线，则下列命题中正确的有（ ）
A.直线恒过定点
B.圆被轴截得的弦长为4
C.直线与圆恒相离
D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
11.抛物线的焦点为，直线过点，斜率为，且交抛物线于A 两点（点在轴的下方），抛物线的准线为交于交于，点为抛物线上任一点，则下列结论中正确的有（ ）
A.若，则
B.的最小值为
C.若，则
D.
12.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）
A.平面平面
B.平面
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.三棱锥的体积不变
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.圆与圆的公切线共有__________条.
14.设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式__________.
15.已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为__________.
16.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为__________.
四 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.在中，已知点.
（1）求边上中线的方程.
（2）若某一直线过点，且轴上截距是轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程.
18.已知圆的方程为.
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程.
19.数列的前项和满足.
（1）求；
（2）设的前项和为，求.
20.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点轴是的角平分线，为垂足，是否存在定点，使得为定值，说明理由.
21.如图①，已知矩形的长为4，宽为，点是边上的点，且.如图②，将沿折起到的位置，使得平面平面，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）在线段（不包含端点）上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
22.已知分别是椭圆的左 右焦点，是的右顶点，，是椭圆上一点，分别为线段的中点，是坐标原点，四边形的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点的直线与椭圆C交于两点，且，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
数学答案
1-8DACACCBD
9.ABC 10.AD 11.ABD 12.ABD
13.4 14. 15. 16.
17.解：在中，已知点.
（1）线段的中点为，即，
故边上中线的方程为，即；
（2）直线过点且轴上截距是轴上截距的2倍，
（i）若直线过原点，则直线方程为，即；
（ii）若直线不过原点，设轴上截距为，则直线方程为，
代入B点解得，故直线方程为，即；
故该直线的一般式方程为或.
18.解：（1）当直线斜率不存在时，，显然与相切；
当直线斜率存在时，可设，
由几何关系可得，解得，
故，即，
故过点且与圆相切的直线的方程为或；
（2）设，可设中点为，
因为是等腰直角三角形，
所以，
即圆心到直线距离，
解得或7，
故直线或，
即或.
19.解：（1）①当时，，
②当且时，，
（2）由（1），
①当时，；当时，，
②当且时，，，
由①②得，
20.解：（1）设动圆圆心为点，
则由勾股定理得，
化简即得圆心的轨迹的方程为；
（2）证明：由题意可设直线的方程为，
联立得，
由，得，
设点，则，
因为轴是的角平分线，所以，
即
，
所以，即，所以I的方程为，
故直线|恒过定点，
于是为定值且为直角三角形且为斜边，
所以中点满足为定值此时点的坐标为.
21.（1）证明，又平面平面平面.
又平面，平面平面，
平面平面，
平面.
（2）解：假设存在点，
由题意知，
又由勾股定理可得，
，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
过点作垂直于平面BMDC的直线，以点为原点，分别以，所在直线为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
则，
设为平面的法向量，，
，则，令，则，
为平面的一个法向量，
设，由题意，知，
则，
设为平面的法向量，，
，，令，则，
则为平面的一个法向量，
由得，
解得，
在线段（不包含端点）上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时点为线段的中点.
22.解：（1）分别为线段的中点，是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆的标准方程为.
（2）设，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入，整理得，
则，
.
易知，
化简得，
或（舍去），
直线的方程为，即，直线过定点.
当直线的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或（舍去），
此时直线过点.
综上，直线过定点.
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