吉林省长春市部分中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题（含答案）

长春市部分中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，（i为虚数单位）则在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．“x＞y＞0”的一个充要条件是
A．lnx＞lny B．x2＞y2 C．x3＞y3 D．
3．设集合，，则
A．A＝B B．A B C．A∩B＝B D．A∪B＝B
4．为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点（x，y）：
x 4 5.5 6 7 7.5
y 9 8 6 4 3
若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是
A．（5.5，8） B．（6，6） C．（7，4） D．（7.5，3）
5．若随机变量，且，则的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知，，，则的大小关系为
A. B. C. D.
7．过双曲线的左焦点F作圆x2+y2＝a2的切线，设切点为A，直线FA交直线bx﹣ay＝0于点B．若，则双曲线C的渐近线方程为
A．y＝±x B．y＝x C．y＝±x D．y＝±x
8．已知函数的定义域为R，且，。若的图像关于直线对称，且，则不正确的是
A． B．的图像关于点对称
C．是周期函数，且最小正周期为8 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知一组数据a,b,c,d,e是公差不为0的等差数列，若去掉数据c，则（　　）
A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小
10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）＝2sin（2x﹣）
B．f（x）＝2sin（2x+ ）
C．函数g（x）为奇函数
D．函数g（x）在区间[，]上单调递增
11．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上、下顶点分别为A1、A2，点P是C上异于A1、A2的一点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线PA1与PA2的斜率之积为定值
B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为
C．若C上不存在点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的范围是
D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的范围是
12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），PB1∥平面，，点R到平面ABB1A1的距离等于它到点D的距离，则（　　）
A．点P的轨迹的长度为 B．点Q的轨迹的长度为
C．PQ长度的最小值为 D．PR长度的最小值为
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13．已知向量满足，，，则的夹角为 　 　．
14．的展开式中的常数项为 　 　．（用数字作答）
15．已知直线l1：kx+y＝0过定点A，直线l2：x﹣ky+2+2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC||BC|的最大值为 　 　．
16.已知，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前n项和为，求
18.为研究某种疫苗A的效果，现对100名志愿者进行了实验，得到如下数据：
　 　未感染病毒B 　感染病毒B 　合计
接种疫苗A　 40　 10　 50
　未接种疫苗A 20　 30　 50　
合计　 60　 40 100　
（1）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析疫苗A是否有效？
（2）现从接种疫苗A的50名志愿者中按分层随机抽样方法（各层按比例分配）取出10人，再从这10人中随机抽取2人，求这2人中感染病毒B的人数X的分布列和数学期望．
参考公式：χ 2＝，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：P（χ2 10.828）＝0.001．
19．（12分）在中，角所对的边分别是，若，且
（1）求A的大小；
（2）设的面积为S，若，求S的值.
20.（12分）如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
21．（12分） 已知函数，若函数在处的切线与直线平行．
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）已知，若函数与函数的图像在没有交点，求实数的取值范围．
22．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（4，m）在抛物线E上，且△OMF的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，过A、B分别作垂直于l的直线AC、BD，分别交抛物线于C、D两点，求|AC|+|BD|的最小值．
选择：
CACBBADC
AC 10.AD 11.ACD 12.ACD
填空
13. 14.160 15.6 16.
16
【答案】
【解析】
【分析】求导得到函数在的单调区间和极大值，画出函数图像，将零点转化为交点，根据图像得到答案.
【详解】当时，，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
在时的极大值为，当时，
画出函数图像，如图所示：
.
16【详解】，∴，
构造函数，显然在上单调递增，
故等价于，即任意的实数恒成立，．
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，，得．
故答案为：
17【小问1详解】
由，可得，
，又，
故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知，故.
18【解答】解：（1）∵χ 2＝，其中n＝a+b+c+d，
∴χ 2＝≈16.7＞10.828，
∴疫苗A有效；
（2）接种疫苗A未感染病毒B的志愿者取40×＝8人，
接种疫苗A感染病毒B的志愿者取10×＝2人，
X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝，
P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）＝
19.(1)A=(2)c=4,b=2 S=
20.（12分）
解：（1）连接交于点，连接
为平行四边形，点为的中点
又为的中点
又平面平面
平面.
（2）
面
面
，
即
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
面，则平面的一个法向量为
设平面的法向量为，则即
令
设平面与平面所成夹角为，
平面与平面所成夹角的余弦值是.
21. 已知函数，若函数在处的切线与直线平行．
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）已知，若函数与函数的图像在有交点，求实数的取值范围．
【答案】（1），函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出切线的斜率可得，分别令、可得答案；
（2）可化为方程在有解，即，转化为在有解，利用的单调性得，构造函数，再利用的单调性可得答案.
【详解】（1）由，切线的斜率，得，
则，，，得，
小于0 等于0 大于0
单调递减 单调递增
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2若方程在有解，
由，得，
所以，有在有解，
由于，，所以，
由得，由（1）可知，
在单调递增，则在有解，
由得，所以，
即在有解，
令，，由，
当时，，
则在单调递增，
由，则，
则，所以.
所以时函数与函数的图像在没有交点
22.【分析】（1）根据面积及抛物线上的点可求解；
（2）利用直线与抛物线的位置关系分别求得，再通过导数求最值即可．
【解答】解：（1）由题意可得，解得p＝2，
故抛物线E的方程为y2＝4x；
（2）由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为x＝ty+1，t≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
由，消去x得，y2﹣4ty﹣4＝0，
所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，
由AC垂直于l，直线AC的方程为y﹣y1＝﹣t（x﹣x1），
由，消去x得，ty2+4y﹣4tx1﹣4y1＝0，
所以，
∴＝
＝＝＝，
同理可得，
所以，
令，则，
所以当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝2时，f（x）取得最小值，
即当时，|AC|+|BD|最小值为．