人教A版2019必修第二册 同步备课试题 6-3-1 平面向量基本定理 （含解析）

6.3.1 平面向量基本定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·北京·高一期末）在△中，点为中点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·山东济宁·高一统考期末）在△ABC中，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·山东滨州·高一统考期末）在中，点P满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·高一课时练习）在中，D在上，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高一专题练习）如图，在△ABC中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·四川南充·高一统考期末）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（ ）
A．1 B．－1 C． D．
9．（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
12．（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
13．（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022秋·安徽合肥·高一合肥市第六中学校联考期中）下列命题中，正确的有（ ）
A．若与是共线向量，则、、、四点共线
B．若，则，，三点共线
C．对非零向量，若，则
D．平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示
三、填空题
15．（2022秋·广西梧州·高一统考期末）已知是平面内所有向量的一组基，且，若，则________．
16．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）已知中，点D满足，若，则___________.
四、解答题
17．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用，表示；
(2)若，，求的值．
18．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
19．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）如图，在中，，为边的中点．设向量，向量，求：
(1)；
(2)求．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考阶段练习）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．（2022·全国·高一专题练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
3．（2022·全国·高一假期作业）如图，中，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·高一课时练习）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·甘肃定西·高一校考期中）如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021秋·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
7．（2022秋·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
三、填空题
8．（2021秋·山西朔州·高一统考期中）下列有关向量命题，不正确的是__________.
①若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底
②均为非零向量，若则
③若，则存在唯一的实数，使得
④.若，则的取值范围
四、解答题
9．（2022·全国·高一假期作业）如图，在梯形中，，且，设.
(1)试用和表示；
(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.
10．（2022秋·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）在如图所示的平面图形中，，，求：
(1)设，求的值；
(2)若且，求的最小值.
11．（2022·高一课时练习）如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若，求的值．
12．（2022·高一单元测试）如图，若D是内的一点，且，用向量的方法证明：．
13．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）设G为的重心，过点G作直线分别交AB AC于P，Q.已知，，求的值.
14．（2022·高一课时练习）若是所在平面内一点且满足
(1)求与的面积之比；
(2)若___________，与交于点，设，求与的值；
请先从下列条件中选一个条件将题目补充完整再解答.
①；②；③.
15．（2022秋·山东潍坊·高一统考期中）在中，设，P为内任意动点记取最小值时的点P为．过作直线交线段CA于M．交线段CB于N，试求的值．
6.3.1 平面向量基本定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】根据向量是否成倍数关系可判断是否共线,即可确定是否可作为基底向量.
【详解】∵，是平面内的一组基底，∴，不共线，而，
则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.
其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.
故选:D.
2．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算的几何表示结合条件即得.
【详解】∵，
∴，又
∴.
故选：B.
3．（2022秋·北京·高一期末）在△中，点为中点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量线性运算的几何表示即得.
【详解】因为点为中点，，，
所以.
故选：C.
4．（2022秋·山东济宁·高一统考期末）在△ABC中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算即可得出答案.
【详解】解：.
故选：D.
5．（2022秋·山东滨州·高一统考期末）在中，点P满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】
故选：A
6．（2022·高一课时练习）在中，D在上，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算法则，计算即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
则.
故选：D.
7．（2022·全国·高一专题练习）如图，在△ABC中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的加法法则，即可求解.
【详解】解：由题意得：，
故选：D.
8．（2022秋·四川南充·高一统考期末）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】D
【分析】以为基底表示出，即可确定参数.
【详解】因为E为AO的中点，所以，
所以，
即，所以，，所以D正确.
故选：D.
9．（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量线性运算得到，再利用向量共线定理的推论得到方程，求出m的值.
【详解】因为，所以，故，
因为三点共线，故，解得：.
故选：C
10．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答.
【详解】平行四边形的对角线与交于点，如图，
则，而点为的中点，
有，由得：，
则有，
所以.
故选：C
11．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.
【详解】是平面内两个不共线的向量，
对于A，，即向量共线，A不是；
对于B，，即向量共线，B不是；
对于D，，即向量共线，D不是；
对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.
故选：C
二、多选题
12．（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
【答案】AB
【分析】根据基底的定义逐项判断即可.
【详解】解：根据基底的定义知AB正确；
对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；
对于D，m，n是唯一的，故D错误.
故选:AB.
13．（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的向量表示得解.
【详解】设，，由，可得，．
因为C，P，M共线，所以，解得．因为N，P，B共线，所以，解得．
故，，即，．
故选：AD．
14．（2022秋·安徽合肥·高一合肥市第六中学校联考期中）下列命题中，正确的有（ ）
A．若与是共线向量，则、、、四点共线
B．若，则，，三点共线
C．对非零向量，若，则
D．平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示
【答案】CD
【分析】可以举反例说明选项AB错误，可以利用数乘向量的性质和平面向量基本定理判断选项CD正确.
【详解】对A，因为共线向量所在直线可以平行，所以选项A错误；
对B，，，可以组成三角形，所以选项B错误；
对C，因为，，所以，即，所以选项C正确；
对D，根据平面向量基本定理，可以判断该选项正确，所以选项D正确.
故选：CD.
三、填空题
15．（2022秋·广西梧州·高一统考期末）已知是平面内所有向量的一组基，且，若，则________．
【答案】##2.4
【分析】由题意可得，于是有，求出的值即可.
【详解】解：因为，
又因为，
所以，解得，
所以
故答案为：
16．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）已知中，点D满足，若，则___________.
【答案】
【分析】利用平面向量基本定理将用表示，即可得解.
【详解】解：，
又，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用，表示；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)3.
【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，
根据三点共线找出等量关系；
【详解】（1）在中，由,
又，
所以，
所以
（2）因为，
又，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，
即.
18．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知得到，进而求解结论，
（2）根据向量共线得到，进而求解结论．
【详解】（1）证明：，，，
，，且有公共点，
故，，三点共线；
（2）解：和共线，
存在实数，使得，
且，可得．
19．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）如图，在中，，为边的中点．设向量，向量，求：
(1)；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的运算律计算出即可.
（2）变形，然后利用数量级的运算率计算即可.
【详解】（1），
.
（2）.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考阶段练习）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案.
【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，
都可作为平面向量的基底，
而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底.
故选:D.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】根据基底不共线原则判断即可.
【详解】解：只要两向量不共线便可作为基底，
故对于A选项，，共线，不满足；
对于B选项，，共线，不满足；
对于C选项，共线，不满足；
对于D选项，与不共线，故满足.
故选：D.
3．（2022·全国·高一假期作业）如图，中，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算可得，进而得到，根据平面向量基本定理可求得结果.
【详解】由题意得：，
，，，
三点共线，，即.
故选：B.
4．（2022·高一课时练习）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.
【详解】.
设，
则,
又，且三点共线，则共线，
即，使得，即，
又不共线，则有，解得，
所以，.
故选：D.
5．（2022秋·甘肃定西·高一校考期中）如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由得，利用向量运算法则可得，化简即可求得结果
【详解】由得，则，故，即.
故选：A
6．（2021秋·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由，可得为中点，，又由G是的重心，可得，代入，求得，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以为中点，
又因为G是的重心，
所以，
又因为为中点，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A
二、多选题
7．（2022秋·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【答案】ABD
【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.
【详解】对A，给定向量，总存在向量，使，
即，显然存在，所以A正确.
对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确．
对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，
当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.
对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.
故选：ABD
三、填空题
8．（2021秋·山西朔州·高一统考期中）下列有关向量命题，不正确的是__________.
①若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底
②均为非零向量，若则
③若，则存在唯一的实数，使得
④.若，则的取值范围
【答案】①③
【分析】根据基底，向量平行的定义可判断①②；根据向量共线的充要条件可判断③；根据向量模的几何意义可判断④.
【详解】解：由基底向量的概念，因为，则两向量平行，不能做基底，故①错误；
由于均为非零向量，所以，则一定有，故②正确；
若，则存在唯一的实数，使得，要强调，故③错误；
由，则，
因为，故，
所以的取值范围，故④正确.
故答案为：①③.
四、解答题
9．（2022·全国·高一假期作业）如图，在梯形中，，且，设.
(1)试用和表示；
(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出；
（2）由，，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出．
【详解】（1）解：，，，
，
则整理得：．
（2）解：，，三点共线，
．
，，
，
又．
．
，解得，．
．
10．（2022秋·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）在如图所示的平面图形中，，，求：
(1)设，求的值；
(2)若且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量减法得，再根据向量共线可得，进而得答案；
（2）由题知，设设，进而得，再结合二次函数与三角函数求范围即可得答案.
（1）
解：因为，
所以，
所以，即
（2）
解：因为，所以记
因为，所以，
设，
则
所以，，
所以
所以，当时，取得最小值，最小值为，
又因为，所以，
所以，即的最小值为
11．（2022·高一课时练习）如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若，求的值．
【答案】
【分析】设，，由向量线性运算得，
由此可构造方程组求得，由可求得，由此可得结果.
【详解】设，又，则；
设，
，
又，，，
，解得：，，，
，
，，即.
12．（2022·高一单元测试）如图，若D是内的一点，且，用向量的方法证明：．
【答案】证明见解析
【分析】根据向量的加法，得到向量之间的表示，代入题目中的平方运算，得出向量之间新的等量关系，根据数量积的性质，可得答案.
【详解】设．则．
所以．
由题知，所以，即，
因为，所以，从面．
即．
13．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）设G为的重心，过点G作直线分别交AB AC于P，Q.已知，，求的值.
【答案】3
【分析】连接AG并延长交BC于M，，化简得到，根据三点共线得到答案.
【详解】连接AG并延长交BC于M，因为G是重心，所以M为BC的中点.
，，
因为，，所以，
又因为P，G，Q三点共线，所以，所以.
14．（2022·高一课时练习）若是所在平面内一点且满足
(1)求与的面积之比；
(2)若___________，与交于点，设，求与的值；
请先从下列条件中选一个条件将题目补充完整再解答.
①；②；③.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知三点共线，且，进而得答案；
（2）①②③对应的条件都是N为AB的中点，进而结合O，M，A与O，N，C三点分别共线列方程求解即可.
（1）
解：由，可知三点共线.
设.
则.
所以，即为靠近点的四等分点，
所以，.
（2）
解：①②③对应的条件都是为的中点，
由，得.
因为与三点分别共线，
所以，，解得.
故
15．（2022秋·山东潍坊·高一统考期中）在中，设，P为内任意动点记取最小值时的点P为．过作直线交线段CA于M．交线段CB于N，试求的值．
【答案】．
【分析】设，利用向量数量积的运算律及二次函数性质确定最小值时的位置，应用平面向量基本定理用表示，进而根据，M，N共线求结果.
【详解】设，则，
所以 ，
当时上式取得最小值，此时为的重心，
设，则
由，M，N三点共线得：，即，
又，代入上式可得．